易错点09 平面向量（解析版）-备战2022年高考数学考试易错题

易错点09   平面向量

平面向量是高中数学的重要内容，是解决实际问题强有力的工具，是近年来高考的热点之一．对向量问题的考查，往往与不等式、解析几何、数列、平面几何等知识结合起来．本文通过对近十年全国新课标卷试题进行分析、汇总，希望同学们能够对平面向量的考向、考法、考试题型、难易程度有更加清晰的认识，避免走弯路，错路，以提高复习的效率．

易错点1：忽略零向量；

易错点2：利用向量的数量积计算时，要认真区别向量与实数a·b；

易错点3：利用向量的数量积计算时，判断向量夹角的大小时要牢记“起点相同”；

(1)求夹角的大小：若a，b为非零向量，则由平面向量的数量积公式得(夹角公式)，所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题．

（2）确定夹角的范围：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.

易错点4：向量数量积的几何意义中的叫做在方向上的正射影的数量，它是一个数量，它可正，可负，也可以为0，要注意区分.

易错点5：向量数量积>0并不等价于向量与的夹角为锐角；

易错点6：三点共线问题

1.若A、B、C三点共线，且,则

2.中确定方法

（1）在几何图形中通过三点共线即可考虑使用“爪”字型图完成向量的表示，进而确定

（2）若题目中某些向量的数量积已知，则对于向量方程，可考虑两边对同一向量作数量积运算，从而得到关于的方程，再进行求解

（3）若所给图形比较特殊（矩形，特殊梯形等），则可通过建系将向量坐标化，从而得到关于的方程，再进行求解

3.(1)证明向量共线：对于非零向量a，b，若存在实数λ，使a=λb，则a与b共线．

(2)证明三点共线：若存在实数λ，使，则A，B，C三点共线．

【注】证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点.

易错点7：向量与三角形的综合

(1)进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．

(2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用．

(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果.

题组1：线性运算

1（2018年新课标1卷）在ΔABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=(    )

A． -   B．  -  C． +   D．  +

【答案】A

【解析】

故选A

2．(2015高考数学新课标1理科)设D为ABC所在平面内一点，则 (　　)

A． B．

C． D．

【答案】A

解析：由题知=，故选A．

3.（2014新课标1）设分别为的三边的中点，

则

A．        B．       C．          D．

【答案】A

【解析】,故选A

4.(2013新课标2理科)已知正方形的边长为,为的中点,则   ．

【答案】2

【解析】在正方形中，,,

所以

题组2：共线定理的应用

5．（2021新高考1卷）在正三棱柱中，，点满足，其中，，则

A．当时，的周长为定值

B．当时，三棱锥的体积为定值

C．当时，有且仅有一个点，使得

D．当时，有且仅有一个点，使得平面

【答案】BD

【解析】由点满足，可知点在正方形内．

A选项，当时，可知点在线段（包括端点）上运动．

中，，，，因此周长不为定值，所以选项A错误；

B选项，当时，可知点在线段（包括端点）上运动．

由图可知，线段//平面，即点到平面的距离处处相等，的面积是定值，所以三棱锥的体积为定值，所以选项B正确；

C选项，当时，分别取线段，中点为， ，可知点在线段（包括端点）上运动．很显然若点与或重合时，均满足题意，所以选项C错误．

D选项，当时，分别取线段，中点为，，可知点在线段（包括端点）上运动．此时，有且只有点与点重合时，满足题意. 所以选项D正确．

因此，答案为BD.

6．（2020年江苏卷）在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP＝9，若（m为常数），则CD的长度是________．

【答案】0或.

【解析】∵三点共线，∴可设，∵，

∴，即，

若且，则三点共线，∴，即，

∵，∴，∵,,，∴，

设，，则，.

∴根据余弦定理可得，，

∵，∴，解得，∴的长度为.

当时， ，重合，此时的长度为，

当时，，重合，此时，不合题意，舍去.故答案为：0或.

7．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为              (　　)

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】法一：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如下图

则，，，，连结，过点作于点

在中，有

即

所以圆的方程为

可设

由可得

所以，所以

其中，

所以的最大值为，故选A．

法二：通过点作于点，由，，可求得

又由，可求得

由等和线定理可知，当点的切线（即）与平行时，取得最大值

又点到的距离与点到直线的距离相等，均为

而此时点到直线的距离为

所以，所以的最大值为，故选A．

另一种表达：如图，由“等和线”相关知识知，当点在如图所示位置时，最大，且此时若，则有，由三角形全等可得，知，所以选A．

法三：如图，建立平面直角坐标系

设

根据等面积公式可得圆的半径是，即圆的方程是

，若满足

即 ， ，所以，设 ，即，点在圆上，所以圆心到直线的距离，即 ，解得，所以的最大值是，即的最大值是，故选A．

法四：由题意，画出右图．

设与切于点，连接．以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴建立直角坐标系

则点坐标为．∵，．∴．切于点．

∴⊥．∴是中斜边上的高．

即的半径为．∵在上．∴点的轨迹方程为．

设点坐标，可以设出点坐标满足的参数方程如下：

而，，．

∵

∴，．

两式相加得：

 (其中，)

当且仅当，时，取得最大值3．

题组3:共线向量的坐标运算

8．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)已知向量，，，若，则         ．

【答案】

【解析】依题意可得，又，

所以，解得．

9．(2015高考数学新课标2理科)设向量，不平行，向量与平行，则实数_________．

【答案】

【解析】因为向量与平行，所以，则所以．

题组4：垂直向量

10．(2021年高考全国乙卷理科)已知向量，若，则__________．

【答案】

【解析】因为，所以由可得，

，解得．

故答案为：．

11．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________．

【答案】

【解析】由题意可得：，

由向量垂直的充分必要条件可得：，

即：，解得：．

故答案为：．

题组5：向量的数量积运算

11．（2021上海卷）如图，正方形的边长为3，求________．

【答案】9

【解析】由题意得:.

12. （2021新高考2卷）已知向量满足，，则________.

【答案】

【解析】因为，平方可得，

所以.

题组6：求夹角

13．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知向量a，b满足，，，则 (　　)

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】，，，．

，

因此，．

故选：D．

14．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)已知非零向量，满足，且，则与的夹角为 (　　)

A．    B．    C．     D．

【答案】B

【解析】：，所以，所以．

15．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知，为单位向量，且，若，则___________．

【答案】．

【解析】因为，，所以，

，所以，所以．

16．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)已知向量,,则 (　　)

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题意,得,所以,故选A.

题组6：求向量的模

17．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)设为单位向量，且，则______________．

【答案】

【解析】因为为单位向量，所以

所以

解得：

所以

故答案为：

18．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)已知向量,的夹角为,,,则__________．

【答案】

【解析】法一:

所以．

法二(秒杀解法):利用如下图形,可以判断出的模长是以为边长的菱形对角线的长度,则为．

法三:坐标法

依题意,可设,,所以

所以．

题组8：求最值

19.（2020•新全国1山东）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范用是（    ）

A.    B.     C.     D.

【答案】A

【解析】

的模为2，根据正六边形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范围是，

结合向量数量积的定义式，可知等于的模与在方向上的投影的乘积，

所以的取值范围是，故选：A.

20.（2017新课标2卷）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小是_____.

【答案】

【解析】以BC为轴，以BC边上的高为轴建立坐标系，则,设

1．在平行四边形中，，则（       ）

A．-5 B．-4 C．-3 D．-2

【答案】A

【解析】，，

，，

，

，

故选：A

2．正方形中，P，Q分别是边的中点，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意，即，解得，

∴，又，

∴，则

故选：C．

3．如图，平面四边形中，，．则（       ）

A． B． C． D．3

【答案】C

【解析】因为，所以，

所以，

因为，所以，

所以

所以

，

故选：C.

4．已知向量、满足，，若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为，则，解得.

故选：B.

5．已知向量，满足，，且与的夹角为，则（       ）

A．6 B．8 C．10 D．12

【答案】B

【解析】由题设，.故选：B.

6．如图，在中，，，若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

，

所以，，故选：D

7．已知向量，满足，，，则（       ）

A．5 B．7 C． D．

【答案】D

【解析】因为，，，，

所以.故选：D．

8．已知向量，向量，则与的夹角大小为（       ）

A．30° B．60° C．120° D．150°

【答案】D

【解析】向量，向量，

，

，且，

的夹角为.

故选：D.

9．已知，，，，则_______

【答案】

【解析】，，即，，又，

故答案为：0.

10．如图，在边长为2的正方形ABCD中，M，N分别为边BC，CD上的动点，以MN为边作等边，使得点A，P位于直线MN的两侧，则的最小值为______．

【答案】

【解析】如图，连接BN，设BN，MN中点分别为E，F，连接PE，PF，EF．

设，，

，

在中，由勾股定理得，则，

BN，MN中点分别为E，F，则EF为的中位线，

∴且，∴，

在中，由勾股定理得，

∴，

在等边中，F为MN中点，则，，

，

在中，由余弦定理得

，

当N与C重合时，，，不存在，但可验证上述等式依然成立，

当且仅当时等号成立．

∵关于b的函数在上单调递增，

∴，当且仅当时等号成立．

∴，当且仅当，时等号成立.

故答案为：．