易错点18 抛物线（解析版）-备战2022年高考数学考试易错题

这是一份易错点18 抛物线（解析版）-备战2022年高考数学考试易错题，共11页。试卷主要包含了设抛物线，已知F是抛物线，设抛物线C， 已知抛物线，已知抛物线等内容，欢迎下载使用。
易错点18   抛物线易错点1：主观认为抛物线的顶点就是原点;易错点2：忽视抛物线的变化趋势,只从图形的局部,乱下结论;易错点3：在使用抛物线的焦半径公式时,错把纵坐标写成横坐标;易错点4：解决直线与抛物线综合题时,忽略对直线斜率不存在情况的讨论;易错点5：在解有关直线与抛物线的位置关系的问题必记结论直线AB过抛物线的焦点，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如图：（1）y1y2＝－p2，x1x2＝.（2）|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥＝p，即当x1＝x2时，弦长最短为2p. （3）＋为定值.（4）弦长AB＝(α为AB的倾斜角)．（5）以AB为直径的圆与准线相切。（6）以AF为直径的圆与y轴相切．（7）焦点F对A，B在准线上射影的张角为90°.题组一：定义和标准方程1.（2021新高考2卷）抛物线的焦点到直线的距离为，则（  ）A.1 B.2 C. D.4【答案】B【解析】抛物线的焦点坐标为，其到直线的距离：，解得：(舍去).故选：B.2.(2019年高考全国Ⅱ卷理数)若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则p=(　）A．2  B．3  C．4  D．8 【解析】由题意可得：，解得．故选D．3．（2021北京）已知抛物线，的焦点为，点在曲线上，且，则的横坐标是________；作轴于，=________．【答案】；【解析】根据抛物线定义，抛物线准线为，到准线距离等于到焦点距离6，横坐标为，根据抛物线方程到轴距离为，三角形底为，所以面积为．4．（2021新高考1卷）已知为坐标原点，抛物线的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且．若，则的准线方程为            .【答案】【解析】由已知可设，所以，，因此直线的方程为：，令得，因此．所以的准线方程为． 题组二：抛物线的简单几何性质及其应用5．【2020全国Ⅰ卷】已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为，到轴的距离为，则（   ）A． B． C． D．【答案】C【解析】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得，故选C．6．（2020北京卷）设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（    ）A．经过点 B．经过点C．平行于直线 D．垂直于直线【答案】B【解析】如图所示，因为线段的垂直平分线上的点到的距离相等，又点在抛物线上，根据定义可知，，所以线段的垂直平分线经过点．7.(2018全国1卷)设抛物线：的焦点为，过点且斜率为的直线与交于，两点，则=(   )A．5     B．6     C．7      D．8【答案】D【解析】通解  过点且斜率为的直线的方程为，由，得，解得或，所以，或，不妨设，，易知，所以，，所以．故选D．8.（2017新课标Ⅱ）已知F是抛物线：的焦点，M是上一点，FM的延长线交轴于点N．若M为FN的中点，则     ．【答案】6【解析】如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，作与点，与点，由抛物线的解析式可得准线方程为，则，在直角梯形中，中位线，由抛物线的定义有：，结合题意，有，故． 题组三：焦点弦问题9.（2018全国2卷）设抛物线C:y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8．则的方程是______________.【答案】【解析】由题意得，的方程为．设，由得．，故．所以．由题设知，解得（舍去），．因此的方程为． 10.（2019全国1卷）已知抛物线的焦点为，斜率为 的直线与 的交点为，，与轴的交点为,，则的方程是_______________.【答案】【解析】由题意得，的方程为．设，由焦半径公式知由得．，故．所以．所以的方程是，即. 11．（2018全国3卷）已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点．若∠AMB=900，则k=________．【答案】2【解析】法1: 由题意知抛物线的焦点为，则过的焦点且斜率为的直线方程为，由，消去得，即，设，，则，．由，消去得，即，则，，由，得，将，与，代入，得．法2: 设抛物线的焦点为，，，则，所以，则，取的中点，分别过点，做准线的垂线，垂足分别为，，又，点在准线上，所以．又为的中点，所以平行于轴，且，所以，所以． 12.（2014全国2卷）设F为抛物线C:的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则的面积为______.【答案】【解析】法1：易知抛物线中，焦点，直线的斜率，故直线的方程为，代人抛物线方程，整理得．设，则，由物线的定义可得弦长，结合图象可得到直线的距离，所以的面积．法2：秒杀公式的应用小结：设F为抛物线C:y2=4x的焦点，过F且倾斜角为θ的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，. 题组四：抛物线中的最值问题13.（2017全国1卷）已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，直线 与交于A、B两点，直线与交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（  ）A．16    B．14    C．12     D．10【答案】16【解析】由已知垂直于轴是不符合题意，所以的斜率存在设为，的斜率为，由题意有，设，，，此时直线方程为，取方程，得，∴同理得  由抛物线定义可知当且仅当（或）时，取得等号．14.（2021全国乙卷理）已知抛物线的焦点为，且与圆上的点的最短距离为4.（1）求；（2）若点在上，为的切线，切点为，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】(1)因为到圆上点的最短距离为，所以（2）解法一：由（1）知抛物线所以设切点，则易得，从而得.设，联立抛物线消去得，所以，且,，因为，，所以，    又在圆，所以，代入得,而，所以时，面积最大值.解法二：由（1）知抛物线所以设切点，圆上任意一点， 则易得，联立可得，所以，又线段中点，所以. 又在圆，所以，代入得，而，所以时，面积最大值.15. （2021全国乙卷文）已知抛物线:的焦点到准线的距离为2.（1）求的方程；（2）已知为坐标原点，点在上，点满足，求直线斜率的最大值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）在抛物线中，焦点到准线的距离为，故，（2）设点，，则，因为，所以，那么，又因为点在抛物线上，，所以，则点的轨迹方程，设直线方程为，当直线和曲线相切时，斜率最大，联立直线与曲线方程，此时，得，相切时，，，解得，所以直线斜率的最大值为.    1.设抛物线的焦点为，点M在C上，｜MF｜＝5，若以MF为直径的圆过点（0,2），则C的方程为（     ）A. 或     B. 或C. 或    D. 或【答案】C【解析】设点M的坐标为(x0，y0)，由抛物线的定义，得|MF|＝x0＋＝5，则x0＝5－.又点F的坐标为，所以以MF为直径的圆的方程为(x－x0)＋(y－y0)y＝0.将x＝0，y＝2代入得px0＋8－4y0＝0，即－4y0＋8＝0，所以y0＝4.由＝2px0，得，解之得p＝2，或p＝8.所以C的方程为y2＝4x或y2＝16x.故选C.2.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点.已知|AB|=，|DE|=，则C的焦点到准线的距离为（   ）.A．2               B．4             C．6               D．8【答案】B【解析】由题意，不妨设抛物线方程为，由，，可取，，设为坐标原点，由，得，得，所以选B． 3.已知直线过抛物线的焦点，且与的对称轴垂直，与交于，两点，，为的准线上一点，则的面积为（    ）A．18         B．24        C．36        D．48【答案】C【解析】设抛物线的方程为，易知，即，∵点在准线上，∴到的距离为，所以面积为36，故选C．4．过抛物线的焦点，且斜率为的直线交于点（在的轴上方），为的准线，点在上且，则到直线的距离为  A．     B．     C．     D．【答案】C【解析】由题知，与抛物线联立得，解得，所以，因为，所以，因为，所以．所以到直线的距离为．故选C．5．已知，抛物线：的焦点为，与抛物线在第一象限的交点为，且，则（   ）．A．1        B．2        C．3        D．4【答案】A【解析】抛物线：的准线方程是，焦点为F(2p,0),由，所以，解得 小结：P为抛物线的任意一点，F为焦点，以PF为直径的圆与y轴相切． 6.已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则=_______.A．1        B．2        C．3        D．4【答案】C【解析】过点作交于点，因为，所以，又焦点到准线的距离为4，所以．故选C．7.设抛物线的焦点为，准线为，，已知以为圆心，为半径的圆交于两点；若，的面积为；则的值为________.【答案】2【解析】由对称性知：是等腰直角，斜边点到准线的距离  8．斜率为的直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，则__________．【答案】【解析】由题抛物线，可知其焦点为，准线为，如图所示．作，，直线准线交于点，由，∴倾斜角，∴，由抛物线定义知：，，又∵，∴为中点，∵，∴，∵，∴，∴，∴．9.已知A、B是抛物线上的两点，直线AB垂直于轴，F为抛物线的焦点，射线BF交抛物线的准线于点C，且的面积为，则p的值为____. 【答案】2【解析】法1：设A点的坐标为(m,n),且点A在第一象限内， 则B(m,-n),所以①，由所以因为所以②因为的面积为，又所以所以③，联立①②③解得p=2.  法2：如图，过A作AH垂直准线于H，作CG垂直AB于G，根据抛物线的定义，|AH|=|A|F,CE//AB,因此|DE|=|AH|=|CG|=|AF|,由  `    因为|EF|正好是焦点到准线的距离，即p=2.10.已知点及抛物线上的动点,则的最小值是___.【解析】动点P到准线的距离为，所以，又所以