2023高考复习专项练习二轮数学 高考原生态满分练4 立体几何
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高考原生态满分练4 立体几何
(本题满分12分)(2021·全国甲,理19)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1B1B为正方形,AB=BC=2,E,F分别为AC和CC1的中点,D为棱A1B1上的点,BF⊥A1B1.
(1)证明:BF⊥DE;
(2)当B1D为何值时,平面BB1C1C与平面DFE所成的二面角的正弦值最小?
学生解答 | 教师批阅 |
分析1:在利用几何法证明(1)时,需要先运用线面垂直的判定定理来证明线面垂直,关键是证明BF⊥MB1,因此这一过程不能省略,应根据平面几何中的三角形全等证得. 分析2:A1B1与MB1两条相交直线所确定的平面是A1B1M,也就是平面A1B1ME,但应根据确定平面的依据加以说明,即应证明A1,B1,M,E四点是共面的,缺少这个步骤时证明过程就是不严密的. 分析3:建立空间直角坐标系时,应首先说明三条直线两两互相垂直,此处没有证明BA,BC,BB1两两互相垂直显然是不完整的. 分析4:设参数时,一定要注明参数的取值范围,缺少范围时,容易导致后续结论出错.此处由于D在A1B1上,所以0≤t≤2. 分析5:由于二面角的大小与其两个面的法向量的夹角不是完全相等的关系,也可能互补,即它们的余弦值的绝对值是相等的,因此应有|cos θ|=|cos<n1,n2>|.由于法向量不唯一,有时由于法向量取的巧合,不加绝对值与加绝对值时得到的式子是相同的,但理论上应该加绝对值,否则有时候就会出现错误. 分析6:解题结束时,一定要对照原问题的要求作出相应的完整的结论. | |
满分答题 |
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高考原生态满分练4 立体几何
解 ∵四边形AA1B1B为正方形,∴A1B1⊥BB1.
又BF⊥A1B1,BB1∩BF=B,∴A1B1⊥平面BB1C1C.
又AB∥A1B1,∴AB⊥平面BB1C1C.∴AB⊥BC.
又BB1⊥平面ABC,∴AB,BC,BB1两两互相垂直.
以B为原点,BA,BC,BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示. 2分
则B(0,0,0),E(1,1,0),F(0,2,1),得=(0,2,1),=(-1,1,1).
设D(λ,0,2)(0≤λ≤2),则=(1-λ,1,-2). 4分
(1)证明:=0+2-2=0,
,∴BF⊥DE. 6分
(2)∵AB⊥平面BB1C1C,∴n=(1,0,0)为平面BB1C1C的一个法向量.
设平面DFE的法向量为m=(x,y,z),
则
取x=3,则y=1+λ,z=2-λ.
∴m=(3,1+λ,2-λ)为平面DFE的一个法向量. 8分
∴cos<m,n>= .
设平面BB1C1C与平面DFE所成的二面角的平面角为θ,
则sin θ= 10分
要使sin θ最小,只需最大,又0≤λ≤2,
∴当λ=时,最大,即sin θ最小,此时B1D=
故当B1D=时,平面BB1C1C与平面DFE所成的二面角的正弦值最小. 12分
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