2023高考数学二轮小题重难点专题三 导数及其应用（含解析）

专题三   导数及其应用

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一、选择题

1、已知是定义在上的非负可导函数，且满足，则　　

A．（1）（2）  B．（1）（2）    C．（1）（2）   D．（1）（2）

2、已知，则　　

A． B． C． D．

3、若函数在，上为增函数，则的取值范围为　　

A．， B．， C．， D．，

4、已知函数，则的极大值点为　　

A． B． C． D．

5、函数在，上的　　

A．最小值为0，最大值为 B．最小值为0，最大值为 

C．最小值为1，最大值为 D．最小值为1，最大值为

6、已知函数，若函数有唯一零点，则的取值范围为　　

A． B．，， 

C．，， D．，

7、已知，，，，则下列选项中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

8、已知函数在上有极值，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

9、已知函数有两个零点，则实数取值范围是（    ）

A．        B．          C．           D．

10、已知函数是定义在R上的可导函数，对于任意的实数x，都有，当时，，若，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

11、函数在上有两个零点，，且，则实数的最小值为　　

A． B． C． D．

12、设函数（，，），若函数在处取得极值，则下列图象不可能为的图象是

二、填空题

13、设函数在上存在导数，当时，．且对任意，有，若，则实数的取值范围是　       　．

14、已知函数为自然对数的底数）有两个极值点，则实数的取值范围是　　          ．

15、已知定义在上的函数满足，其中是函数的导函数.若，则实数的取值范围为_________.

16、已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则下列结论中正确的序号是____________.

①当时，；           ②函数有3个零点；

③的解集为∪；

④，都有.

答案解析

一、选择题

1、【解答】解：令，则，

在上单调递增，

（1）（2），即（1）（2），

故选：．

2、【解答】解：设，则，

令，得，

所以在上单调递增，在上单调递减．

由题意可知（e），（3），（5），

因为，所以（e）（3）（5），即．

故选：．

3、【解答】解：，

若在，递增，则在，恒成立，

则，则，

故选：．

4、【解答】解：由，

得：．

由，得：，或．

由，得：．

所以，函数的增区间为，．函数的减区间为．

所以，是函数的极大值点，是函数的极小值点．

故选：．

5、【解答】解：由，得，

函数在，上的单调递增，

则；

．

函数在，上的最小值为1，最大值为．

故选：．

6、【解答】解：因为．

令，则，

所以当时，，即在上单调递增，

又，

所以，，，当，，

所以在，上为增函数，在上为减函数，

又，所以当，，，

当，对恒成立，即当时，，

且当且仅当，，

故当时，有唯一的零点；

排除，

当时，，令，可得，有无数解，所以，不成立，排除，

故选：．

7、【答案】C

【详解】，，则，

所以为上的偶函数，

并且，则时，，当且仅当时，“”成立，

所以在上单调递增，在上单调递减，，

，

，

又，所以.

故选：C

8、【答案】B

【分析】，设，

函数在区间上有极值，

在上有变号零点，即在上有解，

令，由可得，即，

得到，解得： ．

故选：．

9、【答案】C

【分析】令．

即有两个实数根，设，

即的图象与有两个交点.

则

令单调递减.

又，当时，，则，单调递增；

当时，，则，单调递减.

．

又当时，，当时，

，

故选：C

10、【答案】B

【分析】∵，∴，

令，则，即为偶函数，

当时，

∴，即函数在上单调递增.

根据偶函数对称区间上单调性相反的性质可知在上单调递减，

∵，

∴，

∴，即，

解得，，

故选：B.

11、【解答】解：函数，变形为，

令，得，

当时，，当时，，

可得时，函数取得最小值．

又当时，，当时，，

且函数在上有两个零点，，

得．

由，可得时，取得最小值．

由，，得，

，解得．

代入，解得．

的最小值为．

故选：

12、【答案】D

【解析】，因为函数在处取得极值，所以是的一个根，整理可得，所以，对称轴为.

对于A，由图可得，适合题意；

对于B，由图可得，适合题意；

对于C，由图可得，适合题意；

对于D，由图可得，不适合题意，

故选D.

二、填空题

13、【解答】解：令，．

所以是奇函数，易知，．

当时，，，结合，在上是减函数．

，

，，．

，所以．

故的取值范围是，．

故答案为：，

14、【解答】解： ， ，

由函数有两个极值点可得和在上有两个交点，

，令 ，

则，

在上单调递减且（1），

当，时，，即，在，上单调递增，（1），

当时，，即，在上单调递减．

故（1），

而当时，，当时，；

若和的图象在上有两个交点，

只需，故．

故答案为：，．

15、【答案】

【解析】

【分析】

令，求得函数的导数，根据函数的单调性，把题设中的不等式转化为，即可求解.

【详解】

令，则，

因为，所以，所以函数在为单调递减函数，

又由，

所以，即，所以，

即，所以，解得，

综上可得，实数的取值范围为.

16、【答案】②③④

【详解】对于①，当时，，则由题意得，

∵ 函数是奇函数，

∴ ，且时，，①错；

∴ ，

对于②，当时，由得，

当时，由得，

∴ 函数有3个零点，②对；

对于③，当时，由得，

当时，由得，

∴ 的解集为，③对；

对于④，当时，由得，

由得，由得，

∴ 函数在上单调递减，在上单调递增，

∴函数在上有最小值，且，

又∵ 当时，时，函数在上只有一个零点，

∴当时，函数的值域为，

由奇函数的图象关于原点对称得函数在的值域为，

∴ 对，都有，④对.