专题16 函数与导数的综合问题- 2022届高考数学二模试题分类汇编（新高考卷）（解析版）

《专题16 函数与导数的综合问题- 2022届高考数学二模试题分类汇编（新高考卷）》

1．【利用导数研究极值问题】（2022·河南焦作·二模）已知函数.

(1)求的极值；

(2)若函数在区间上没有极值，求实数k的取值范围.

【解析】 (1)由题意，函数，可得，

令，解得，

当时，，当时，，

所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以当时，函数取得的极小值为，无极大值.

(2)由，可得，

因为在区间上没有极值，所以在上单调递增或单调递减，

当时，或恒成立，即或恒成立，

即或在恒成立，

设，则，

当时，，所以在上单调递增，

要使或恒成立，则或，

即实数的取值范围是.

2．【利用导数研究极值问题】（2022·四川泸州·三模）已知函数，．

(1)讨论函数的单调性；

(2)若有且只有一个极值点，求a的取值范围．

【解析】 (1)由题意知：，

当时，因为，所以在上恒成立，所以在上是减函数；

当时，由得：，所以，所以在

上是增函数，在上是减函数.

(2)

，，因为有且只有一个极值点，即图象只穿过轴一次，即为单调减函数或者的极值同号；

（i）为单调减函数，在上恒成立，则，解得；

（ii）的极值同号时，设为极值点，则，有两个不同的解，则，且有，

所以，同理，

所以，化简得：，即；

当，，，有且只有一个极值点.

综上：a的取值范围是.

3．【利用导数研究最值问题】（2022·甘肃兰州·模拟预测）已知函数，为自然对数的底数．

(1)求在处的切线方程；

(2)当时，，求实数a的最大值．

【解析】 (1)由，得，则

，，

所以在处的切线方程为，

(2)

由，得，

即，

当时，上式成立，

当时，由，得，

令，

则，

当时，，当时，，

所以在上递减，在上递增，

所以当时，，

所以，

所以实数a的最大值为

4．【利用导数研究最值问题】（2022·北京·一模）已知函数．

(1)若曲线在点处的切线斜率为，求的值；

(2)若在上有最大值，求的取值范围.

【解析】 (1)函数的定义域为，

，

由已知可得，解得.

(2)因为，令.

①当时，对任意的，恒成立，则，

此时函数在上单调递减，没有最大值；

②当时，在上单调递减，则，则，

此时函数在上单调递减，没有最大值；

③当时，方程的两根分别为，，

由可知，列表如下：

所以函数在处取得最大值，

综上所述，实数的取值范围是.

5．【利用导数证明不等式】（2022·湖北·二模）已知函数．

(1)若不等式恒成立，求正实数a的值；

(2)证明：．

【解析】 (1)令，

则，

设，则对任意恒成立，

所以在上单调递增，

又，存在唯一实数，

所以当时，单调递减；

当时，单调递增；

所以．

因为，所以，且．

所以，设，

因为，所以在上单调递增，上单调递减

所以，而依题意必有，所以，此时，

所以若不等式恒成立，则正实数的值为1．

(2)

方法一：借助第（1）问结论

由（1）得，当时，对任意恒成立．

所以，（当且仅当时等号成立），

则．

所以要证明，只需证，

即证．

设，则在上单调递增，上单调递减．

所以，即．

所以只需证，即证．

①当时，，不等式成立．

②当时，，不等式成立．

所以，证毕，

方法二：分别放缩

设，则恒成立，在上单调递增，

，所以．

设，则在上单调递增，上单调递增，

，所以，所以，即．

所以当时，

又因为，

所以

6．【利用导数证明不等式】（2022·四川省泸县第四中学模拟预测）设函数，其中，曲线在点处的切线经过点.

(1)求函数的极值；

(2)证明：.

【解析】 (1)，则，，

故在处的切线方程，

把点代入切线方程可得，，

，，

易得，当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增，

故当时，函数取得极小值，没有极大值.

(2)

证明：等价于，

由（1）可得(当且仅当时等号成立)①，

所以，

故只要证明即可，(需验证等号不同时成立)

设，则，

当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，

所以，当且仅当时等号成立，②

因为①②等号不同时成立，

所以当时，.

7．【利用导数解决恒成立问题】（2022·吉林·延边州教育学院一模）已知函数．

(1)讨论函数的极值点个数；

(2)若对任意的恒成立，求实数a的取值范围．

【解析】 (1)，

①当时，，所以在上单调递增，无极值．

②当时，令，得，

当时，；当时，，

即函数在上单调递减，在上单调递增，

此时只有一个极值点，

综上所述，当时，在上无极值点；

当时，函数在上只有一个极值点．

(2)

若时， ，即．（*）

令，则，

令 ，则，

∴函数 在区间上单调递增，，

（1）若，，

∴，∴．

函数 在区间上单调递增．

∴．∴（*）式成立．

（2）若，

∴由于，．

（ 时， ，故 ）

故，使得，

则当时，，即 ．

∴函数在区间上单调递减，

∴，即（*）式不恒成立．

综上所述，实数的取值范围是 ．

8．【利用导数解决恒成立问题】（2022·云南·二模）己知e是自然对数的底数，，常数a是实数.

(1)设，求曲线在点处的切线方程；

(2)，都有，求a的取值范围.

【解析】 (1)设，则，

∴，，

∴，

∴曲线在点处的切线方程头，即．

∴曲线在点处的切线方程为．

(2)

设,

则．

设，则．

∴函数在单调递增．

当时，．

∴，故在单调递增．

又∵，故对任意都成立．

即当时，，都有,即．

当时，，

，

∴，使．

∵函数在单调递增，

∴，都有．

∴在单调递减．

∴，使，即，使，与，都有矛盾．

综上所述，a的取值范围为．

9．【利用导数解决能成立问题】（2022·辽宁·一模）已知函数，

(1)讨论函数的单调性；

(2)证明：存在，使得不等式 有解（e是自然对数的底）.

【解析】 (1) 的定义域为R，，

，

①当时， ，有两个不等实数根为：，

时，，单调递增，

时，

 ，单调递减，

时，，单调递增，

②当时， ，，

所以在上单调递增；

(2)

不等式 等价于 ，

所以只需证 的最大值大于1，

因为，，

又，所以，时等号成立，

所以 ，

设函数 ， ，

，，单调递增，，，单调递减，

因为 ，所以存在，使不等式 有解.

10．【利用导数解决能成立问题】（2022·广西广西·模拟预测）已知函数.

(1)若在区间上是单调函数，求实数的取值范围；

(2)函数，若使得成立.求实数的取值范围.

【解析】 (1)

，当导函数的零点落在区间内时，

所以函数在区间上就不是单调函数，

所以实数a的取值范围是或.

(2)

由题意知，不等式在区间上有解，

即在区间上有解.

令，，则，

∴在上单调递增，

∴，∴

在区间上有解

令，则

∵，，

，单调递增，

∴时，

，

所以实数a的取值范围是

11．【利用导数解决零点问题】（2022·广西南宁·二模）设函数，．

(1)当时，讨论的单调性；

(2)若有两个零点，求实数的取值范围．

【解析】 (1)当时，，．

则．

由得，，（舍去）．

当时，成立，则在、上单调递增；

当时，成立，则在上单调递减．

综上，当时，函数的增区间为、，减区间为．

(2)

解：因

求导得，．

①当时，由，可得，函数只有一个零点，不符合题意；

②当时，由可得，由可得，

所以，函数在上递增，在上递减，

由，取，

令，，

则在内成立，

故在上单调递增．

则．

则．

由此得有两个零点等价于，

得，则．

③当时，，

（ⅰ）当时，对任意的恒成立，

在上单调递增，至多只有一个零点，不符合题意；

（ⅱ）当且时，由得，，（舍去），

若，即当时，由可得，由可得或，

此时，函数的递增区间为、，单调递减区间为，

此时，函数有两个极值点；

同理，当时，函数的递增区间为、，单调递减区间为，

此时，函数也有两个极值点；

因为，．

令，，

令，其中，，

当或时，；当时，.

所以，，所以，，故．

又，所以，至多只有一个零点，不符合题意．

综上，实数的取值范围为．

12．【利用导数解决零点问题】（2022·山东枣庄·一模）已知函数．

(1)若，，求的取值范围；

(2)当时，试讨论在内零点的个数，并说明理由．

【解析】 (1)

①若，当时，，，，

当且仅当时取等号，可见，符合题意.

②若，当时，；

当时，，.

可见，当时，，当且仅当，且时取等号.

所以在上单调递增，所以，.

所以符合题意.

③若，因为在上单调递增，在上单调递增，所以，在上单调递增，又，，由零点存在定理及的单调性，存在唯一的，使得.

当时，，单调递减，所以，.

可见，不符合题意.

综上，的取值范围是

(2)

①若，由(1)，时，，在内无零点.

当时，，，，又由单调递增，

则.

可见，若，在内无零点.

②若，由(1)，时，，在内无零点.

当时，，.

可见，若，在内无零点.

③若，由(1)，存在唯一的，当时，.

单调递减；当时，，单调递增.

又，所以.

又，由零点存在定理及的单调性，存在唯一的，使得.可见，在内存在唯一的零点.

当时，，所以，，所以，在内没有零点，可见，在有且仅有1个零点.

综上所述，若，在内无零点；若，在内有且仅有1个零点.

13．【利用导数解决方程的根问题】（2022·宁夏·固原一中一模）设函数.

（1）求函数的极小值；

（2）若关于x的方程在区间上有唯一实数解，求实数的取值范围.

【解析】（1）依题意知的定义域为，

∵，

∴，

令解得或

则单调递增，

，单调递减．

∴所以当时函数取得极小值，且极小值为．

（2）

，

所以，

只需．

令，则，

由，得；由，得

∴ 在区间上是增函数，在区间上是减函数.

∴当时函数有最大值，且最大值为，

又，

∴ 当或时，在区间上有唯一解，

∴实数m的取值范围为．

14．【利用导数解决方程的根问题】（2022湖北襄阳五中高三模拟）已知函数，是自然对数的底数．

（1）求曲线在处的切线方程；

（2）若，证明：曲线不落在图像的下方．

【解析】（1）解：由题意知，，故，而，

故所求切线方程为，即．

（2）证明：要证曲线不落在图像的下方，

即证，即证．

令，，．，

令，得；令，得或，

所以当时，取得极大值，且极大值为2．而，

易知在上单调递增，且．

令，得，令，得，故．

故当时，．设，

则．设，则．

设，则，易知在上单调递增，

则，则在上单调递增，

从而，则在上单调递增，

则，从而在上单调递增，

所以当时，，故当时，．

综上所述，当时，曲线不落在图像的下方．

15．【利用导数解决双变量问题】（2022·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知函数.

(1)求函数的单调区间；

(2)若函数有两个极值点，且（e为自然对数底数，且），求的取值范围.

【解析】 (1)由题知，函数的定义域为，，

当时，对任意的，且不恒为零，故在上单调递减；

当时，令，解得，

所以当时，；当时，；

此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.

综上，当时，的单调递减区间为，无单调递增区间；

当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.

(2)

解：由题知，，函数的定义域为，，

当时，对任意的，且不恒为零，故在上单调递增，没有极值点；

当时，，且不恒为零，故在上单调递增，没有极值点；

当时，令，解得，，则，

当时，；当时，；当时，，

此时，函数的单调递增区间为、，单调递减区间为.

综上，当时，有两极值点，且，，

所以

，

设，，其中，

所以，，

又因为，可知，所以在上单调递减．

∴，即，所以的取值范围为.

16．【利用导数解决双变量问题】（2022·河南·汝州市第一高级中学模拟预测）已知函数.

(1)当时，证明：；

(2)若的两个零点分别为，证明：.

【解析】 (1)令，则在上恒成立，

所以在，上单调递增，所以，即在上恒成立.

当时，要证，即证，

又，所以只需证，即.

令，则.

令，解得，令，解得，

故在上单调递增，在上单调递减，故.

所以.

(2)

由题意知，

两式相加得，

两式相减得，即.

所以，

即.

显然，记，

令，则.

所以在上单调递增，则，

所以，则，即.

所以，

所以，

所以，即.

令，则时，，

所以在上单调递增，又，故.

所以，

所以，则，即