专题07 立体几何的向量方法- 2022届高考数学二模试题分类汇编（新高考卷）（原卷版）

《专题7 立体几何的向量方法- 2022届高考数学二模试题分类汇编（新高考卷）》

1．【利用空间向量判定位置关系】（2022·陕西宝鸡·一模）如图，四棱锥的底面为正方形，平面，是的中点，．

(1)求证：平面；

(2)设直线与平面交于，求证：．

2．【利用空间向量判定位置关系】（2022·江苏·高三模拟）如图，在正三棱柱（侧棱垂直于底面，且底面三角形是等边三角形）中，，、、分别是，，的中点．

(1)求证：平面平面；

(2)在线段上是否存在一点使平面？若存在，确定点的位置；若不存在，也请说明理由．

3．【利用空间向量求线面角】（2022·江苏南通·模拟预测）如图所示的几何体中，平面ABC，平面ABC，，，点M在棱AB上，且．

(1)求证：平面平面ABDE；

(2)求直线CD与平面MCE所成角的正弦值．

4．【利用空间向量求线面角】（2022·浙江嘉兴·二模）如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，，且.

(1)证明：；

(2)若E为中点，求直线与平面所成角的正弦值.

5．【利用空间向量求二面角】（2022·广东茂名·二模）如图所示的圆柱中，AB是圆O的直径，，为圆柱的母线，四边形ABCD是底面圆O的内接等腰梯形，且，E，F分别为，的中点．

(1)证明：而ABCD；

(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

6．【利用空间向量求二面角】（2022·内蒙古赤峰·模拟预测）已知四棱锥中，底面为正方形，平面，，，、分别为、的中点.

(1)求证：；

(2)求二面角的余弦值.

7．【利用空间向量求距离】（2022·天津市新华中学模拟预测）在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，，平面平面，且.

(1)求证：平面；

(2)求平面与平面所成角的大小；

(3)已知点在棱上，且异面直线与所成角的余弦值为，求点到平面的距离.

8．【利用空间向量求距离】（2022·北京·一模）如图，在三棱柱中，平面，，，为线段上一点.

(1)求证：；

(2)若直线与平面所成角为，求点到平面的距离.

9．【空间立体几何中的结构不良问题】（2022·四川泸州·三模）已知直三棱柱中，D为的中点．

(1)从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立；

①；②；③．

(2)若，，，求直线与平面ABD所成角的正弦值．

10．【空间立体几何中的结构不良问题】（2022·山东青岛·一模）如图①，在梯形中，，，，为的中点，以为折痕把折起，连接，，得到如图②的几何体，在图②的几何体中解答下列两个问题．

(1)证明：；

(2)请从以下两个条件中选择一个作为已知条件，求二面角的余弦值．

①四棱锥的体积为2；

②直线与所成角的余弦值为．

注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．

11．【空间立体几何中的折叠问题】（2022·重庆·模拟预测）在直角梯形ABCD中，，E，F分别为AD，BC的中点，沿EF将四边形EFCD折起，使得（如图2）．

(1)求证：平面平面EFCD；

(2)若直线AC与平面ABFE所成角的正切值为，求二面角的余弦值．

12．【空间立体几何中的折叠问题】（2022·黑龙江·哈尔滨三中二模）如图1，矩形ABCD，点E，F分别是线段AB，CD的中点，，将矩形ABCD沿EF翻折.

(1)若所成二面角的大小为（如图2），求证：直线面DBF；

(2)若所成二面角的大小为（如图3），点M在线段AD上，当直线BE与面EMC所成角为时，求二面角的余弦值.

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13．【空间立体几何中的探索性问题】（2022·广西桂林·二模（理））如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点.

(1)求证：平面AEF⊥平面PBC；

(2)试确定点F的位置，使平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30°.

14．【空间立体几何中的探索问题】（2022·江苏连云港·二模）如图，在三棱锥中，是正三角形，平面平面，，点，分别是，的中点.

(1)证明：平面平面；

(2)若，点是线段上的动点，问：点运动到何处时，平面与平面所成的锐二面角最小.

15．【空间立体几何中的探索问题】（2022·陕西·模拟预测（理））如图，正方体的棱长为2，E，F分别为和的中点，P为棱上的动点．

(1)是否存在点P使平面？若存在，求出满足条件时的长度并证明；若不存在，请说明理由；

(2)当为何值时，平面与平面所成锐二面角的正弦值最小．

16．【空间立体几何中的探索问题】（2022·重庆·西南大学附中模拟预测）如图，在三棱柱中，，，，，，D为AC中点，．

(1)求证：；

(2)线段上是否存在一点E，使得AE与面的夹角的正弦值为？若存在，求出E点的位置；若不存在，请说明理由．