专题11 圆锥曲线的定义、方程与性质- 2022届高考数学二模试题分类汇编（新高考卷）（解析版）

《专题11 圆锥曲线的定义、方程与性质- 2022届高考数学二模试题分类汇编（新高考卷）》

1．（2022·贵州·遵义航天高级中学高二阶段练习）已知a为实数，则“”是“方程表示的曲线为椭圆”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】由方程表示的曲线为椭圆，则

，解得且，

所以“”是“且”的充分不必要条件，即

“”是“方程表示的曲线为椭圆”的充分不必要条件.故选：A.

2．（2022·北京二中高三阶段练习）已知为抛物线上一点，点P到抛物线C的焦点的距离与它到y轴的距离之比为，则（       ）

A． B．2 C． D．3

【答案】A

【解析】由题意知：抛物线的准线为，则P到抛物线C的焦点的距离为，P到y轴的距离为，故，又，解得.故选：A.

3．（2022·四川师范大学附属中学高二阶段练习）已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于点、，为坐标原点，若双曲线的离心率为2，三角形的面积为，则（       ）

A．1 B． C．2 D．3

【答案】C

【解析】由双曲线的离心率为2知，，渐近线方程为，

又抛物线的准线方程为，

则设渐近线与准线的交点为，，

三角形的面积为，（）

解得，故选：C

4．（河北省九师联盟2022届高三4月联考数学试题）已知椭圆的上顶点，左右焦点分别为，连接，并延长交椭圆于另一点P，若，则椭圆C的离心率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意得，

所以，则，

由椭圆的定义可得，

所以，

因为，

所以，解得，，

在中，，

在中，，

因为，

所以，即，

所以

所以.

故选：C

5．（2022·贵州·遵义航天高级中学高二阶段练习）已知抛物线的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若，则（       ）

A． B．2 C． D．

【答案】D

【解析】，设，，

，则，得，

由抛物线定义得故选：D

6．（2022·安徽·巢湖市第一中学高三期中）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与C交于M，N两点，若，则线段的中点到y轴的距离为（       ）

A．8 B．6 C．4 D．2

【答案】C

【解析】

由图，中点为，分别垂直准线于，交轴于，易得为直角梯形的中位线，则，

由椭圆定义易得，，，又准线为，，

故线段的中点到y轴的距离，故选：C

7．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市第一中学校一模）在平面直角坐标系中，双曲线过点，且其两条渐近线的方程分别为和，则双曲线的标准方程为（       ）

A． B．

C．或 D．

【答案】B

【解析】若双曲线焦点在轴上，则可设其标准方程为，

可列解得，其标准方程为

若双曲线焦点在轴上，则可设其标准方程为

此时无解，综上，双曲线方程为故选：B

8．（2022·四川·威远中学校高二阶段练习）设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】依题意，所以，又，所以，所以双曲线方程为，所以双曲线的渐近线方程为；故选：C

9．（2022·湖北·宜昌英杰学校高三阶段练习）过抛物线的焦点且斜率为的直线交抛物线于、两点，抛物线的准线为，于，于，则四边形的面积为（       ）

A．32 B． C．64 D．

【答案】D

【解析】由抛物线得其焦点，设直线AB的方程为，

与抛物线的方程联立，整理得，即，解得，

所以，

所以，，，

所以四边形的面积为，

故选：D.

10．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）如图为陕西博物馆收藏的国宝-唐-金筐宝钿团化纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐朝金银细作的典范之作.该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C：的右支与直线，，围成的曲边四边形绕轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底外直径为，则此双曲线C的离心率为（       ）

A．2 B． C． D．3

【答案】C

【解析】由题意上口外直径为，下底外直径为，

由题意可知点，点，

将点，点的坐标代入双曲线的方程可得，

解得，，所以双曲线C的离心率为.故选：C.

11．（2022·江苏南通·高二期中）如图所示，一只装有半杯水的圆柱形水杯，将其倾斜使杯底与水平桌面成，此时杯内水面成椭圆形，此椭圆的离心率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】如图，由题意得：∠BAC=30°，，，且AC=DE，则在直角三角形ABC中，，所以，所以此椭圆的离心率.

故选：C

12．（2022·山师大附中高三模拟）已知椭圆（a＞b＞0）上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且AF⊥BF，设，且，则该椭圆的离心率e的取值范围为（　　）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】如图所示，

设椭圆的左焦点为，连接，．

则四边形为矩形．

因此．．所以，．

．

，

，

，

，

其中，

．

．

故选：A．

13．（多选）（2022·广东潮州·高二期末）方程表示的曲线为C，下列正确的命题是（       ）

A．曲线C可以是圆 B．若，则曲线C为椭圆

C．若曲线C为双曲线，则或 D．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则

【答案】ACD

【解析】A. 若曲线C是圆，则，解得，故正确；

B.若曲线C为椭圆，则 ，解得且 ，故错误；

C. 若曲线C为双曲线，则，解得或，故正确；

D.若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则，解得，故正确；

故选：ACD

14．（多选）（2022·江苏·南京市第一中学高三）已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，则下列结论正确的是（       ）

A．点的坐标为

B．若直线过点，则

C．若，则的最小值为

D．若，则线段的中点到轴的距离为

【答案】ABD

【解析】对A：因为抛物线方程为，其焦点在轴上，故其焦点为，A正确；

对B：显然过点的直线斜率存在，故可设经过焦点的直线方程为，

联立抛物线方程可得：，可得，，故B正确；

对C：若，则，，三点共线，则，

由中所得可知：，故错误；

对D：，即，即，

∴，故正确.故选：.

15．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市第八中学校高三模拟）关于双曲线有下列四个说法，正确的是（       ）

A．P为双曲线上一点，，分别为左、右焦点，若，此时

B．与椭圆有相同的焦点

C．与双曲线有相同的渐近线

D．过右焦点的弦长最小值为4

【答案】ABC

【解析】因为双曲线，所以，，，

对A：因为P为双曲线上一点，，分别为左、右焦点，

由，，可得，，

所以，所以，

又，所以，故选项A正确；

对B：因为椭圆，所以，

所以椭圆的焦点坐标为，

而双曲线的焦点坐标也为，故选项B正确；

对C：因为双曲线的渐近线方程为，而双曲线，即的渐近线方程为，所以选项C正确；

对D：双曲线过右焦点的弦长最小值为左右两个顶点之间的距离，故选项D错误.故选：ABC.

16．（2022·河北保定·高三模拟）已知椭圆的右焦点是双曲线的右顶点，点是双曲线第一象限上一点，则下列结论正确的是（       ）

A．

B．双曲线的渐近线方程为

C．椭圆的左顶点是双曲线的左焦点

D．若椭圆的左、右焦点分别为、，则直线，的斜率之积为定值

【答案】BCD

【解析】A：由椭圆，得a2=25，b2=9，c2=a2-b2=16，∴椭圆的右焦点即双曲线的右顶点为（4，0），

∴a2=16，a=4．A不正确；

B：双曲线的渐近线为．B正确；

C：由上述得椭圆的左顶点是（-5，0），双曲线的左焦点是（-5，0），C正确；

D：椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，恰为双曲线的左、右顶点，设点,

∴为定值，D正确．

故选：BCD．

17．（2022湖南长沙长郡中学高三模拟）已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则____________．

【答案】6

【解析】如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，作与点，与点，由抛物线的解析式可得准线方程为，则，在直角梯形中，中位线，由抛物线的定义有：，结合题意，有，故．

18．（2022·天津·高三模拟）设是双曲线的两个焦点，P是C上一点，若且的最小内角为，则C的离心率为___．

【答案】；

【解析】不妨设，则，所以，因为，所以，所以

19．（2022山东济南一中高三模拟）已知双曲线：的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线于交、两点，若，则的离心率为__________．

【答案】

【解析】如图所示，

由题意可得|OA|=a，|AN|=|AM|=b，

∵∠MAN=60°，

∴|AP|=b，

∴|OP|=．

设双曲线C的一条渐近线y=x的倾斜角为θ，则tan θ=．

又tan θ=，

∴，解得a2=3b2，

∴e=．

答案：

20．（2021·浙江·高考真题）已知椭圆，焦点，，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且轴，则该直线的斜率是___________，椭圆的离心率是___________.

【答案】         

【解析】

如图所示：不妨假设，设切点为，

，

所以, 由，所以，，

于是，即，所以．

故答案为：；．