2020-2021学年江西省赣州市南康中学高一上学期第一次大考数学试题(解析版)
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这是一份2020-2021学年江西省赣州市南康中学高一上学期第一次大考数学试题(解析版),共13页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2020-2021学年江西省赣州市南康中学高一上学期第一次大考数学试题 一、单选题1.已知全集,集合,集合,则集合( )A. B. C. D.【答案】B【解析】,,则,故选B.【考点】本题主要考查集合的交集与补集运算. 2.下面各组函数中表示同一函数的是( )A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】B【解析】对于A:两函数的值域不同; 对于B:两函数的三要素完全相同,故为同一函数; 对于C:两函数与的定义域不同; 对于D:两函数的定义域不同;故选项为B.3.已知集合,则满足条件的集合的个数为( )A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【详解】求解一元二次方程,得,易知.因为,所以根据子集的定义,集合必须含有元素1,2,且可能含有元素3,4,原题即求集合的子集个数,即有个,故选D.【点评】本题考查子集的概念,不等式,解一元二次方程.本题在求集合个数时,也可采用列举法.列出集合的所有可能情况,再数个数即可.来年要注意集合的交集运算,考查频度极高.4.在映射,,; ,则N中元素(4,5)的原像为( )A.(4,1) B.(20,1) C.(7,1) D.(1,4)或(4,1)【答案】A【解析】由可得:或 ;又,则,所以原像为(4,1),故选A.5.已知集合,集合,则与的关系是( )A. B. C. D.且【答案】C【解析】用列举法分别列举两个集合中的元素,观察规律可知,集合S是集合T的子集.【详解】集合S=,集合T=,故选:C.【点睛】本题考查两集合间的基本关系以及集合的表示方法,属于基础题目.6.下列函数中,在上为增函数的是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】求出各选项中函数的单调区间,从而可得正确的选项.【详解】对于A,因为在上单调递增,在上单调递减,故A错.对于B,因为在上单调递增,在上单调递减,故B对.对于C,因为在上单调递减,在上单调递减,故C错.对于D,因为在上单调递减,在上单调递增,故D错.故选:B.【点睛】本题考查具体函数的单调性,此类问题一般根据函数解析式的具体形式求出单调区间即可,本题属于基础题.7.设,则( )A.10 B.8 C.12 D.13【答案】B【解析】直接根据分段函数的解析式代入即可得结果.【详解】因为,所以,故选:B.【点睛】本题主要考查了分段函数中函数值的求法,属于基础题.8.是定义在上是减函数,则的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】根据题意可知,在每一段区间上都要单调递减,并且在分段处,应有,据此列式求解即可.【详解】因为是定义在上是减函数,所以,求得,故选:A.【点睛】本题考查已知函数的单调性求参数问题,在分段函数中,除了每一段区间上都要单调递减外,在分段处也应满足递减的条件.9.已知函数,如果且,则它的图象可能是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】根据且即可判断出与的符号,结合图像即可得选项.【详解】因为且则所以对应二次函数图像开口向上,与y轴交点在原点下方对比函数图像,D选项符合要求所以选D【点睛】本题考查了二次函数图像与的关系,根据条件选择函数图像,关键是根据所给条件分析出的符号,属于基础题.10.设M={a,b,c},N={﹣2,0,2},从M到N的映射满足f(a)>f(b)≥f(c),这样的映射f的个数为( )A.1 B.2 C.4 D.5【答案】C【解析】由题意及映射概念逐一写出满足条件的映射后可得答案.【详解】∵,∴a对应2时,b对应0,c对应0或−2,有2个映射;a对应2时,b对应−2,c对应−2,有1个映射;a对应0时,b对应−2,c对应−2,有1个映射.综上,满足条件的映射个数为4个.故选C.【点睛】本题考查映射的概念,考查理解和运用的能力,解题的关键是根据定义确定出各种对应的情况,通过列举得到结果.11.已知函数对任意两个不相等的实数,都有不等式成立,则实数的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】根据为上的增函数可得参数的取值范围.【详解】因为对任意两个不相等的实数,都有不等式成立,故在上为增函数,令,则该函数在上为增函数且在上恒成立,当时,,因为在,不合题意,舍;当时,则,解得,故选:D.【点睛】本题考查复合函数的单调性,此类问题,一般利用“同增异减”的原则来处理,注意外函数定义域的要求,如本题中需在上恒成立,本题属于中档题.12.对于实数x,符号[x]表示不超过x的最大整数,例如[π]=3,[﹣1.08]=﹣2,定义函数f(x)=x﹣[x],则下列命题中正确的是 ①函数f(x)的最大值为1; ②函数f(x)的最小值为0;③方程有无数个根; ④函数f(x)是增函数.A.②③ B.①②③ C.② D.③④【答案】A【解析】本题考查取整函数问题,在解答时要先充分理解[x]的含义,根据解析式画出函数的图象,结合图象进行分析可得结果.【详解】画出函数f(x)=x−[x]的图象,如下图所示.由图象得,函数f(x)的最大值小于1,故①不正确;函数f(x)的最小值为0,故②正确;函数每隔一个单位重复一次,所以函数有无数个零点,故③正确;函数f(x)有增有减,故④不正确.故答案为②③.【点睛】本题难度较大,解题的关键是正确理解所给函数的意义,然后借助函数的图象利用数形结合的方法进行求解. 二、填空题13.设集合,.若,则__________.【答案】【解析】因为,所以为方程的解,则,解得,所以,,集合.14.已知集合,则__________.【答案】【解析】由集合,得出,,进而得出结果.【详解】由集合,得出,,解得,,当,时, ,满足题意,此时;当,时, ,满足题意,此时.故答案为: .【点睛】本题考查集合相等,属于基础题.15.函数的单调递增区间是_________.【答案】【解析】【详解】函数,有:解得或.令,开口向上,对称轴为,所以在上单减,单增,所以增区间是.答案为:.16.已知函数.记,.则________.【答案】42【解析】根据函数的特点先得到,然后将两式相加可得到的值.【详解】由题意得,∴.故答案为42. 三、解答题17.设函数的定义域为集合,已知集合,,全集为.(1)求;(2)若,求实数的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】(1)利用偶次根式下被开方数大于等于零、分式分母不为零,求解出的定义域,然后根据补集和交集的概念与运算求解出;(2)先计算出的结果,然后根据写出的取值范围.【详解】(1)或 ; (2)即实数的取值范围为.【点睛】本题考查集合的交、并、补运算以及根据集合的运算结果求解参数范围,其中涉及到具体函数求解定义域的问题,难度较易.18.已知集合,或.(1)当时,集合的元素中整数有多少个?(2)若,求实数的取值范围.【答案】(1)3个;(2).【解析】(1)时,求出集合,从而求出,由此能求出中的整数的个数.(2),当时,,当时,或,由此能求出的取值范围.【详解】解:(1),集合,或,.故中的整数元素有,共3个.(2)因为,所以则,即则或或综上,的取值范围为【点睛】本题考查交集的求法,考查交集定义、不等式性质等基础知识,考查运算求解能力,属于基础题.19.已知二次函数满足 试求:(1)求 的解析式; (2)若,试求函数的值域.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析:(1) 设,则有 ,对任意实数恒成立,根据对应项系数相等可得方程组,解方程组即可得结果;(2) 由(1)可得在 上递减,在递增,又,,比较大小即可得结果.试题解析:(1)设,则有,对任意实数恒成立,,解之得,.(2)由(1)可得在 上递减,在递增,又,,所以,函数的值域为.20.某企业生产A,B两种产品,根据市场调查与预测,A产品的利润与投资成正比,其关系如图①;B产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图②.(注:利润和投资单位:万元)(1)分别将A,B两种产品的利润表示为投资的函数关系式;(2)已知该企业已筹集到18万元资金,并将全部投入A,B两种产品的生产,怎样分配这18万元投资,才能使该企业获得最大利润?其最大利润约为多少万元?【答案】(1);(2)当A,B两种产品分别投入2万元、16万元时,可使该企业获得最大利润,约为8.5万元.【解析】试题分析:⑴设出函数解析式,根据图象,即可求得答案;⑵确定总利润函数,换元,利用配方法可求最值;解析:(1)根据题意可设,.则f(x)=0.25x(x≥0),g(x)=2 (x≥0). (2)设B产品投入x万元,A产品投入(18-x)万元,该企业可获总利润为y万元.则y= (18-x)+2,0≤x≤18令=t,t∈[0,3],则y= (-t2+8t+18)=- (t-4)2+. 所以当t=4时,ymax==8.5, 此时x=16,18-x=2.所以当A,B两种产品分别投入2万元、16万元时,可使该企业获得最大利润,约为8.5万元.21.已知函数(1)若,试判断并用定义证明的单调性;(2)若,求的值域.【答案】(1)增函数,证明见解析;(2).【解析】(1)代入,然后利用定义法证明函数的单调性即可;(2)利用(1)得出的单调性求出值域即可.【详解】(1)当时,且, 在是单调递增函数,证明如下:任取且则=,因为且,所以,,,在上是单调递增函数.(2)由(1)知在上是单调递增函数, 的值域为.【点睛】本题考查了用定义法证明函数的单调性及利用单调性求函数的值域,属于基础题.22.设定义在上的函数对于任意实数,都有成立,且,当时,.(1)证明:在上是单调递减的函数;(2)试问:当时,是否有最值?如果有,求出最值;如果没有,说明理由;(3)解关于的不等式.【答案】(1)证明详见解析;(2)有最值,最大值是3,最小值是0;(3).【解析】(1)任意实数,且,不妨设,利用差比较法,计算,可得函数为减函数;(2)在上单调递减,所以有最大值,有最小值.利用赋值法求出;(3)化简不等式得,利用单调性可求得答案.【详解】(1)对任意实数,且,不妨设,其中, 则,∴,故在上单调递减.(2)∵在上单调递减,∴时,有最大值,时,有最小值.在中,令,得,故,,所以.故当时,的最大值是3,最小值是0.(3)由原不等式,得,即,由得.∵在上单调递减,∴,的解集是【点晴】本题主要考查抽象函数单调性的证明.证明出单调性后利用单调性求解最值和利用单调性解不等式.
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