2020-2021学年山东省新泰市第一中学老校区（新泰中学）高一上学期第一次月考数学试题（解析版）

2020-2021学年山东省新泰市第一中学老校区（新泰中学）高一上学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．下列关系式中，正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据元素与集合的关系、集合与集合的关系即可作出判断.

【详解】

对于A，，故错误；

对于B，，故错误；

显然C正确，D错误.

故选C

【点睛】

本题主要考查元素与集合的关系、集合与集合的关系，属于基础题．

2．已知集合,.若,则实数的值是（ ）

A． B．或

C． D．或或

【答案】B

【解析】试题分析：由于，所以，又因为，以及集合中元素的互异性知或，故选B.

【考点】集合的子集.

3．若，则下列不等关系正确的是（ ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】试题分析：，．故A正确．

【考点】不等式的性质．

4．不等式的解集为（　　）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】把不等式左边的二次三项式因式分解后求出二次不等式对应方程的两根，结合二次函数的图象可得二次不等式的解集．

【详解】

由,得(x−1)(x+3)>0，解得x<−3或x>1.

所以原不等式的解为，

故选：B.

【点睛】

本题考查一元二次不等式的解法，求出二次方程的根结合二次函数的图象可得解集，属于基础题.

5．函数定义域是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】根据解析式直接列出满足函数有意义的不等式，解出即可.

【详解】

要使函数有意义，

则，解得，

所以函数定义域是.

故选：A.

【点睛】

本题考查具体函数定义域的求法，其中涉及一元二次不等式的求解，属于基础题.

6．已知定义域为，则的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】先根据定义域求出的定义域，再求出的定义域即可.

【详解】

定义域为，

在中，，则，

的定义域为，

则在中，，解得，

故的定义域为.

故选：B.

【点睛】

本题考查抽象函数定义域的求法，属于基础题.

7．    设a＞0，b＞0, a＋4b＝1，则使不等式t≤ 恒成立的实数t的取值范围是

A．t≤8 B．t≥8 C．t≤9 D．t≥9

【答案】C

【解析】【详解】

因为a＞0，b＞0，所以t≤等价于t≤，

只需t≤而＝()(a＋4b)＝＋5≥2＋5＝9，

当且仅当，即a＝2b＝时取“＝”．∴t≤9 ，

故答案选C.

点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.

8．已知命题p：“，”，命题q：“，”．若命题和命题q都是真命题，则实数a的取值范围是（    ）

A．或 B．或 C． D．

【答案】D

【解析】先考虑均为真命题得到的取值范围，然后根据的真假性得到关于的不等式，即可求解出的取值范围.

【详解】

若，，则，

∴．

若，，

则，

解得或．

∵命题和命题q都是真命题，

∴或，

∴．

故选D．

【点睛】

本题考查根据全称命题、特称命题的真假求解参数范围，难度一般.利用命题的真假求解参数范围时，可先考虑命题都为真的情况下对应的参数范围，然后再根据实际的命题真假得到关于参数的不等式（注：若命题为假，只需对为真时参数范围取补集），由此求解出参数范围.

二、多选题

9．（多选题）给出下列四个对应，其中构成函数的是 (      )

A． B．

C． D．

【答案】AD

【解析】根据函数的定义，需非空数集上的自变量，经过一个对应关系后，都有唯一的一个元素与之对应，逐一验证可得选项.

【详解】

根据函数的定义，对于B选项，自变量3没有元素与之对应，因此，B选项不能构成函数；

对于C选项，自变量元素2有2个元素4和5与之对应，因此，C选项不能构成函数；

对于A、D选项，所有自变量都有唯一的一个元素与之对应，所以AD选项能构成函数，

故选：AD.

【点睛】

本题考查函数的定义，需考虑是否满足定义域中的每一个元素是否通过这个对应关系都有唯一的一个元素与之对应，属于基础题.

10．若“”为真命题，“”为假命题，则集合可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【解析】根据假命题的否定为真命题可知，又，求出命题成立的条件，求交集即可知M满足的条件.

【详解】

为假命题,

为真命题，

可得，

又为真命题，

可得，

所以，

故选：AB

【点睛】

本题主要考查了含量词命题的真假，集合的包含关系，属于中档题.

11．（多选）设，且，那么（    ）

A．有最小值 B．有最大值

C．ab有最大值 D．ab有最小值

【答案】AD

【解析】先利用可求出有最小值，再可得有最小值.

【详解】

由得：（当且仅当时取等号），

即且，解得：，

有最小值，知A正确；

由得：（当且仅当时取等号），

即且，解得：，

有最小值，知正确.

故选：AD.

【点睛】

本题考查基本基本不等式的应用，属于中档题.

12．下列说法正确的有（    ）

A．不等式的解集是

B．“”是“”成立的充分条件

C．命题，，则

D．“”是“”的必要条件

【答案】ABD

【解析】解分式不等式可知A正确；由充分条件和必要条件的定义，可得B，D正确；含有全称量词命题得否定，，故C错误.

【详解】

由，，，A正确；

时一定有，但时不一定有成立,因此“”是“”成立的充分条件，B正确；

命题，则，C错误；

不能推出，但时一定有成立，所以“”是“”的必要条件，D正确．

故选：ABD．

【点睛】

本题考查了分式不等式的解法、充分条件和必要条件的定义、含有量词的命题的否定形式等基本数学知识，考查了计算能力和逻辑推理能力，属于一般题目.

三、填空题

13．命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是　   　．

【答案】∀x∈R，x2﹣x≤0

【解析】试题分析：命题P的否定就是把存在性的量词改成全称性的量词，并把量词作用范围进行否定即可．

解：含存在性量词的否定就是将“∃”改成“∀”，将x2﹣x＞0改成x2﹣x≤0

故答案为∀x∈R，x2﹣x≤0

【考点】命题的否定．

14．设函数，则的值为________.

【答案】4

【解析】根据分段函数的解析式，先求出的值，再计算的值即可.

【详解】

，

，

.

故答案为：4.

【点睛】

本题考查分段函数的函数值的计算，属于基础题.

15．函数的值域为           ．

【答案】

【解析】分离常数后可求函数的值域．

【详解】

因为，所以，

因为，故，故的值域为，填．

【点睛】

本题考查函数值域的求法，属于基础题．

16．某小型雨衣厂生产某种雨衣,售价P(元/件)与月销售量x(件)之间的关系为P＝160－2x,生产x件的成本R＝500＋30x.若每月获得的利润y不少于1300元,则该厂的月销售量x的取值范围为______.

【答案】

【解析】利润单件售价P销售量;建立与之间的函数关系式;令,解关于的一元二次不等式,得的取值范围.

【详解】

由题意,得:

,令,得,

,.

【点睛】

分析利润y、销售收入单件售价P销售量x、成本R三者之间的关系，利润单件售价P销售量；建立与之间的函数关系式是解题的关键.

四、解答题

17．已知集合A={x|4≤x＜8}，B={x|5＜x＜10}，C={x|x＞a}

（1）求A∪B；（∁RA）∩B；  

（2）若A∩C≠，求a的取值范围．

【答案】（1）{x|8≤x＜10}（2）a＜8

【解析】(1)根据数轴集合并集、交集以及补集定义求解，（2）集合数轴，确定A∩C≠满足的条件，解得a的取值范围．

【详解】

解：（1）A∪B={x|4≤x＜10}，

∵（CRA）={x|x＜4或x≥8}，

∴（CRA）∩B={x|8≤x＜10}

（2）要使得A∩C≠，则a＜8

【点睛】

在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．

18．求下列不等式的解集：

（1）

（2）

（3）

（4）

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）

【解析】（1）根据一元二次不等式的解法，求得不等式的解集.

（2）根据一元二次不等式的解法，求得不等式的解集.

（3）根据一元二次不等式的解法，求得不等式的解集.

（4）根据一元二次不等式的解法，求得不等式的解集.

【详解】

（1）方法一（因式分解法）因为，

所以原不等式可化为，解得，

所以原不等式的解集为．

方法二（配方法）原不等式化为，因为，

所以原不等式可化为，即，

两边开平方，得，即，所以．

所以原不等式的解集为．

（2）原不等式化为，因为，

所以原不等式可化为，即．两边开平方，得,

即或．所以或,

所以原不等式的解集为．

（3）原不等式可化为，所以原不等式的解集为．

（4）原不等式可化为，即，即，所以原不等式的解集为．

【点睛】

本小题主要考查一元二次不等式的解法，属于基础题.

19．设命题p：，命题q：，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

【答案】

【解析】分别求出关于p，q的集合A，B的范围，根据充分必要条件的定义结合集合的包含关系求出a的范围即可．

【详解】

由题意得，命题p：，命题q：，

是q的充分不必要条件，

，

且，

．

【点睛】

本题考查了充分必要条件，考查二次不等式的解法以及集合的包含关系，是一道基础题．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．

20．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a<0的解集．

【答案】或.

【解析】根据一元二次不等式的解，得出对应一元二次方程的解，进而得到关系，化简不等式，即可求解.

【详解】

法一：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}可知，a<0，

且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，

由根与系数的关系可知.

由a<0，故不等式cx2＋bx＋a<0化为，，

即，解得或，

所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为或.

法二：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}可知，

a<0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，

所以ax2＋bx＋c＝a(x－2)(x－3)＝ax2－5ax＋6a⇒b＝－5a，c＝6a，

故不等式cx2＋bx＋a<0，即6ax2－5ax＋a<0⇒6a，

故原不等式的解集为或.

【点睛】

本题考查一元二次不等式的解法，深刻理解“三个二次”的关系是解题的关键，属于中档题.

21．某建筑公司打算在一处工地修建一座简易储物间.该储物间室内地面呈矩形形状，面积为，并且一面紧靠工地现有围墙，另三面用高度一定的矩形彩钢板围成，顶部用防雨布遮盖，其平面图如图所示.已知该型号彩钢板价格为100元/米，整理地面及防雨布总费用为500元，不受地形限制，不考虑彩钢板的厚度，记与墙面平行的彩钢板的长度为米.

（1）用表示修建储物间的总造价（单位：元）；

（2）如何设计该储物间，可使总造价最低？最低总造价为多少元？

【答案】（1）（2）与墙面平行的彩钢板长度为10米，另两边长度为5米，可使储物间总造价最低，最低总造价为2500元

【解析】（1）首先求出彩钢板的长度，根据总造价彩钢长度整理地面及防雨布总费用，即可求解.

（2）利用基本不等式即可求解.

【详解】

解：（1）由题意，建造储物间所需彩钢板总长度为米，

则.

（2），.

当且仅当即时等号成立.

此时，，.

与墙面平行的彩钢板长度为10米，另两边长度为5米，

可使储物间总造价最低，最低总造价为2500元.

【点睛】

本题考查了函数模型，基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题.

22．已知，且．

（1）求的最小值；

（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）（2）

【解析】（1）根据条件“，且”，直接应用基本不等式得到，从而求得结果；

（2）将恒成立问题转化为最值处理，利用基本不等式求得，从而得到不等式，求解得答案.

【详解】

（1），且，

，

当且仅当时，取等号，故的最小值为．

（2），且，

，当且仅当，且，即，时，取等号，

即的最小值为，

，即，解得，

即实数的取值范围是．

【点睛】

该题考查的是有关不等式的问题，涉及到的知识点有利用基本不等式求和的最小值，将恒成立问题向最值转化，一元二次不等式的解法，属于简单题目.