2020-2021学年江苏省南京师大附中高一（下）期末数学检测试卷（2）

这是一份2020-2021学年江苏省南京师大附中高一（下）期末数学检测试卷（2），共30页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年江苏省南京师大附中高一（下）期末数学检测试卷（2）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
1．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某五面体的三视图，则该四面体的外接球表面积为　　

A． B． C． D．
2．（5分）定义一种运算：．已知函数，为了得到函数的图象，只需要把函数的图象上所有的点　　
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向上平移个单位长度 D．向下平移个单位长度
3．（5分）称为两个向量、间的“距离”．若向量、满足：①；②；③对任意的，恒有，，，则　　
A． B． C． D．
4．（5分）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感．为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某研究人员每隔测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图．观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度随时间变化的规律　　

A． B．
C． D．，，
5．（5分）2020年11月24日4时30分，我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射嫦娥五号，12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆，使得“绕、落、回”三步探月规划完美收官，这为我国未来月球与行星探测奠定了坚实基础．若在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度，其中是喷流相对速度，是火箭（除推进剂外）的质量，是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”．若型火箭的喷流相对速度为，当总质比为500时，型火箭的最大速度约为　　，
A． B． C． D．
6．（5分）在中，，，，为所在平面内一点，并且满足，记，，，则　　
A． B． C． D．
7．（5分）如图，在三棱柱中，与相交于点，，，，，则线段的长度为　　

A． B． C． D．
8．（5分）在中，设角，，对应的边分别为，，，记的面积为，且，则的最大值为　　
A． B． C． D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的的得0分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
9．（5分）下列说法正确的是　　
A．若，，则
B．若，，则
C．若，则
D．函数的最小值是2
10．（5分）将函数图象上的各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位，得到的图象，下列说法正确的是　　
A．点，是函数图象的对称中心
B．函数在上单调递减
C．函数的图象与函数的图象相同
D．若，是函数的零点，则是的整数倍
11．（5分）在中，是的中点．若，，则　　
A． B．
C． D．
12．（5分）如图，在正方体中，是棱的中点，是线段（不含端点）上的一个动点，那么在点的运动过程中，下列说法中正确的有　　

A．存在某一位置，使得直线和直线相交
B．存在某一位置，使得平面
C．点与点到平面的距离总相等
D．三棱锥的体积不变
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
13．（5分）在中，，，与的交点为，过作动直线分别交线段、于、两点，若，，、，则的最小值为　 　．
14．（5分）已知的内角，，的对边分别为，，，若，则（其中为的倒数）的最小值为　　．
15．（5分）一个组合体由上下两部分组成，上部是一个半球，下部是一个圆柱，半球的底面与圆柱的上底面重合．若该组合体的体积为定值，则当圆柱底面半径　　时，该组合体的表面积最小．
16．（5分）已知函数．若存在使得不等式成立，则实数的取值范围是　　．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，请把答案填写在答题卡相应位置上．
17．（10分）在中，，，为边上的中点．
（1）求的值；
（2）若，求．

18．（12分）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，．
（1）若，求直线与平面所成角的正弦值；
（2）设二面角的大小为，若，求的值．

19．（12分）如图多面体中，面面，为等边三角形，四边形为正方形，，且，，分别为，的中点．
（1）求二面角的余弦值；
（2）作平面与平面的交线，记该交线与直线交点为，写出的值（不需要说明理由，保留作图痕迹）．

20．（12分）在①；②；③的面积三个条件中任选一个（填序号），补充在下面的问题中，并解答该问题．
已知的内角、、的对边分别为，，，______，是边上的一点，，且，，求线段的长．
21．（12分）已知正三角形，某同学从点开始，用掷骰子的方法移动棋子，规定：①每掷一次骰子，把一枚棋子从三角形的一个顶点移动到另一个顶点；②棋子移动的方向由掷骰子决定，若掷出骰子的点数大于3，则按逆时针方向移动：若掷出骰子的点数不大于3，则按顺时针方向移动．设掷骰子次时，棋子移动到，，处的概率分别为：（A），（B），（C），例如：掷骰子一次时，棋子移动到，，处的概率分别为（A），，．
（1）掷骰子三次时，求棋子分别移动到，，处的概率（A），（B），（C）；
（2）记（A），（B），（C），其中，，求．
22．（12分）已知函数，．
（1）若，记的解集为，求函数为自然对数的底数）的值域；
（2）当时，讨论函数的零点个数．

2020-2021学年江苏省南京师大附中高一（下）期末数学检测试卷（2）
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
1．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某五面体的三视图，则该四面体的外接球表面积为　　

A． B． C． D．
【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出外接球的半径，最后求出表面积．
【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为三棱锥体
如图所示：

设外接球的半径为，
则：，解得，
所以：．
故选：．
【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积和表面积公式的应用，球的体积公式和表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
2．（5分）定义一种运算：．已知函数，为了得到函数的图象，只需要把函数的图象上所有的点　　
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向上平移个单位长度 D．向下平移个单位长度
【分析】首先化简函数，再根据三角函数图象变换性质即可解决此题．
【解答】解：，
其图象是由函数的图象向右平移个单位长度得到，
故选：．
【点评】本题考查行列式计算、三角函数图象变换，考查数学运算能力及直观想象能力，属于基础题．
3．（5分）称为两个向量、间的“距离”．若向量、满足：①；②；③对任意的，恒有，，，则　　
A． B． C． D．
【分析】先作向量，从而，容易判断向量的终点在直线上，并设，连接，则有．从而根据向量距离的定义，可说明，从而得到．
【解答】解：如图，作，则，，
向量的终点在直线上，设其终点为，则：
根据向量距离的定义，对任意都有；
；
．
故选：．

【点评】考查有向线段可表示向量，以及对向量距离的理解，向量减法的几何意义，共线向量基本定理．
4．（5分）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感．为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某研究人员每隔测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图．观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度随时间变化的规律　　

A． B．
C． D．，，
【分析】由题意知随的增大而减小，在，上是单调减函数，判断选项中的函数是否满足题意即可．
【解答】解：由题意知茶水温度随时间的增大而减小，在，上是单调减函数，
所以中的函数都不满足题意，只有选项满足题意．
故选：．
【点评】本题考查了基本初等函数的图象与性质的应用问题，是基础题．
5．（5分）2020年11月24日4时30分，我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射嫦娥五号，12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆，使得“绕、落、回”三步探月规划完美收官，这为我国未来月球与行星探测奠定了坚实基础．若在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度，其中是喷流相对速度，是火箭（除推进剂外）的质量，是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”．若型火箭的喷流相对速度为，当总质比为500时，型火箭的最大速度约为　　，
A． B． C． D．
【分析】根据题意，由函数的解析式代入数据计算可得答案．
【解答】解：根据题意，，
故选：．
【点评】本题考查函数值的计算，涉及对数的运算性质，属于基础题．
6．（5分）在中，，，，为所在平面内一点，并且满足，记，，，则　　
A． B． C． D．
【分析】分别令，的中点为，，则可化简式子得，于是为线段的靠近的三等分点，再分别计算3个数量积即可得出结论．
【解答】解：，，，，
，，
设的中点为，的中点为，则，，
，
为线段的靠近的三等分点，
以为原点，以，为坐标轴建立平面直角坐标系，则，，，，，
，，，，，，
，，．
．
故选：．

【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，确定点位置是解题关键，属于中档题．
7．（5分）如图，在三棱柱中，与相交于点，，，，，则线段的长度为　　

A． B． C． D．
【分析】用表示出，计算，开方得出的长度．
【解答】解：四边形是平行四边形，
，
，，，，
，，，，
，
，即．
故选：．

【点评】本题考查了空间向量在求空间距离中的应用，属于中档题．
8．（5分）在中，设角，，对应的边分别为，，，记的面积为，且，则的最大值为　　
A． B． C． D．
【分析】利用余弦定理，求出，结合函数的单调性即可求解的最大值．
【解答】解：因为，，
所以，
所以，
令，
则，
令，可得，
所以在递增，，递减，
所以，
所以的最大值为，当且仅当时，取等号，
故选：．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了构造函数法求最值，考查了导数的性质及其应用，属于中档题．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的的得0分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
9．（5分）下列说法正确的是　　
A．若，，则
B．若，，则
C．若，则
D．函数的最小值是2
【分析】．若，则与的大小关系不确定，即可判断出正误；
．由，根据在上单调递增，结合不等式的基本性质即可判断出正误；
．若，根据不等式的基本性质即可判断出正误；
．利用基本不等式即可判断出正误．
【解答】解：．若，则与的大小关系不确定，因此不正确；
．若，根据在上单调递增，则，又，则，正确；
．若，则，正确；
．函数，但是等号取不到，因此不正确．
故选：．
【点评】本题考查了不等式的基本性质、基本不等式、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
10．（5分）将函数图象上的各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位，得到的图象，下列说法正确的是　　
A．点，是函数图象的对称中心
B．函数在上单调递减
C．函数的图象与函数的图象相同
D．若，是函数的零点，则是的整数倍
【分析】由题意利用函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论．
【解答】解：将函数图象上的各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，
可得的图象；
再向左平移个单位，得到 的图象．
令，求得，故排除．
在上，，，故 单调递减．故正确．
，
显然，的周期为，
故正确．
若，是函数的零点，则，
则是或的整数倍，故不正确，
故选：．
【点评】本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于基础题．
11．（5分）在中，是的中点．若，，则　　
A． B．
C． D．
【分析】根据题意，由向量线性运算可得，据此分析选项，即可得答案．
【解答】解：根据题意，在中，是的中点．
则，
故，则错误，正确；
对于，，正确，
对于，，错误；
故选：．
【点评】本题考查向量模的计算，涉及向量的线性运算，属于基础题．
12．（5分）如图，在正方体中，是棱的中点，是线段（不含端点）上的一个动点，那么在点的运动过程中，下列说法中正确的有　　

A．存在某一位置，使得直线和直线相交
B．存在某一位置，使得平面
C．点与点到平面的距离总相等
D．三棱锥的体积不变
【分析】选项，可证与直线异面，从而可判定；选项，连接交于点，可证平面，从而可判定选项；选项，过点与点作平面的垂线，垂足分布为，，有△△，从而可得结论；选项，，为定值，结合平面，所以到平面的距离为定值，从而可得结论．
【解答】解：选项是线段（不含端点）上的一个动点，平面，
而，由异面直线的判定定理可知与直线异面，
所以不存在某一位置，使得直线和直线相交，故选项不正确；
选项，连接交于点，面即为面，此时，
而平面，面，所以平面，即平面，故选项正确；
选项：如图过点与点作平面的垂线，垂足分布为，，有△△，
所以，即点与点到平面的距离总相等，故选项正确；
选项：因为，为定值，连接交于点，连接，
而，平面，平面，
所以平面，所以到平面的距离为定值，
所以三棱锥的体积不变，故选项正确．
故选：．

【点评】本题主要考查了异面直线的判定，以及三棱锥的体积和点面距离，同时考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
13．（5分）在中，，，与的交点为，过作动直线分别交线段、于、两点，若，，、，则的最小值为　　．
【分析】由已知可得，若过作动直线分别交线段，于，两点，若，，，则，再由基本不等式可得答案．
【解答】解：由，，三点共线可得存在实数，使得，
同理由，，三点共线可得存在实数，使得，
，解得：，
，设，
，可得：，即：，
，即的最小值为．
故答案为：．

【点评】本题考查的知识点是平面向量在几何中的应用，三点共线的充要条件，基本不等式的应用，难度中档．
14．（5分）已知的内角，，的对边分别为，，，若，则（其中为的倒数）的最小值为　3　．
【分析】先运用三角函数的两角和公式、二倍角公式，将原式化简为，结合均值不等式，即可求解．
【解答】解：，
，
，，
，
，
，
，
，
，当且仅当，即，
的最小值为3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了三角函数的两角和公式，以及均值不等式，验证均值不等式等号成立时的条件，是本题解题的关键，属于中档题．
15．（5分）一个组合体由上下两部分组成，上部是一个半球，下部是一个圆柱，半球的底面与圆柱的上底面重合．若该组合体的体积为定值，则当圆柱底面半径　　时，该组合体的表面积最小．
【分析】根据题意画出图形，结合图形求出组合体的体积与表面积，再判断底面圆半径为何值时组合体的表面积最小．
【解答】解：如图所示
该组合体的体积为，①
表面积为，②
由①可得，
代入②，
当且仅当，即时最小．
所以时组合体的表面积最小．
故答案为：．

【点评】本题考查基本不等式在最值问题中的应用问题，也考查了简单组合体的表面积与体积的计算问题，是中档题．
16．（5分）已知函数．若存在使得不等式成立，则实数的取值范围是　　．
【分析】令，判断函数的奇偶性与单调性，从而将不等式转化为，分离参数可得，令，，利用对勾函数的单调性可得，结合题意即可求解的取值范围．
【解答】解：函数，若存在使得不等式成立，
令，
，
所以，为奇函数．
不等式，即，
即，
所以，
因为在上为增函数，在上为增函数，
所以在上为增函数，
由奇函数的性质可得在上为增函数，所以不等式等价于，分离参数可得，
令，，
由对勾函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增，
（1），（4），所以，，
所以由题意可得，
即实数的取值范围是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，构造函数是解题的关键，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，请把答案填写在答题卡相应位置上．
17．（10分）在中，，，为边上的中点．
（1）求的值；
（2）若，求．

【分析】（1）根据面积相等，求出即可；（2）先求出和，根据余弦定理联立解方程组，求出即可．
【解答】解：（1）在中，，，为边上的中点，
根据面积相等，，
故，
（2），得，
所以，
所以，
在三角形中，，
，
由，上式化简得，
故．

【点评】考查正余弦定理的应用，解三角形，中档题．
18．（12分）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，．
（1）若，求直线与平面所成角的正弦值；
（2）设二面角的大小为，若，求的值．

【分析】（1）建立空间坐标系，求出平面的法向量，计算和的夹角得出直线与平面所成角的大小；
（2）用表示出平面和平面的法向量，根据二面角的大小列方程计算的值．
【解答】解：（1）平面平面，平面平面，，平面，
平面，又，
，，两两垂直，
以为原点，以，，为坐标轴建立空间直角坐标系，
则，4，，，0，，，0，，，2，，
若，则为的中点，故，1，，
，，，，0，，，1，，
设平面的法向量为，，，则，
即，令可得，，，
，，
故直线与平面所成角的正弦值为．
（2），2，，，2，，，0，，，2，，
，，，
，，
，，又，
平面，
是平面的一个法向量，
设平面的法向量为，，，则，
即，令可得，，，
，
二面角的大小为，且，
，解得或（舍，
即．

【点评】本题考查空间向量与线面角、二面角的计算，属于中档题．
19．（12分）如图多面体中，面面，为等边三角形，四边形为正方形，，且，，分别为，的中点．
（1）求二面角的余弦值；
（2）作平面与平面的交线，记该交线与直线交点为，写出的值（不需要说明理由，保留作图痕迹）．

【分析】（1）取、的中点，分别记为、，连接，，，证明、、两两相互垂直，以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值即可求得二面角的余弦值；
（2）延长交的延长线于，连接并延长交于，交的延长线于，则为平面与平面的交线，再由已知结合比例关系可得．
【解答】解：（1）取、的中点，分别记为、，连接，，
为等边三角形，四边形为正方形，
，，
平面面，且平面面，
平面，平面，
平面，平面，
又，平面，故、、两两相互垂直．
以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，
则，0，，，2，，，2，，，3，，
，，，，0，，
，．
又，，且，平面，
故平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
由，取，得．
由图可知，二面角为锐二面角，记为，
则；
（2）延长交的延长线于，连接并延长交于，交的延长线于，
则为平面与平面的交线，由比例关系可得．

【点评】本题考查平面的基本性质，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．
20．（12分）在①；②；③的面积三个条件中任选一个（填序号），补充在下面的问题中，并解答该问题．
已知的内角、、的对边分别为，，，______，是边上的一点，，且，，求线段的长．
【分析】若选①，利用两角和与差的正弦函数公式化简已知等式结合，可得，结合范围，可求，利用三角形内角和定理可得的值，由余弦定理可得的值，在中，由正弦定理可得，利用同角三角函数基本关系式可求，利用两角和的正弦函数公式可求的值，在中，由正弦定理即可解得的值．
若选②，由已知利用余弦定理可得，结合范围，可求，利用三角形内角和定理可得的值，由余弦定理可得的值，在中，由正弦定理可得，利用同角三角函数基本关系式可求，利用两角和的正弦函数公式可求的值，在中，由正弦定理即可解得的值．
若选③，由已知利用三角形的面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式可求，结合范围，可求，利用三角形内角和定理可得的值，由余弦定理可得的值，在中，由正弦定理可得，利用同角三角函数基本关系式可求，利用两角和的正弦函数公式可求的值，在中，由正弦定理即可解得的值．
【解答】解：若选①，可得，
可得，
因为为三角形内角，，
可得，
因为，
所以，
可得，
所以由余弦定理可得，可得，
在中，由正弦定理，可得，，
所以，
在中，由正弦定理，可得，解得．
若选②，由余弦定理可得，整理可得，
可得，
因为，
所以，
可得，
所以由余弦定理可得，可得，
在中，由正弦定理，可得，，
所以，
在中，由正弦定理，可得，解得．
若选③的面积，
可得，可得，可得，
因为，
所以，
可得，
所以由余弦定理可得，可得，
在中，由正弦定理，可得，，
所以，
在中，由正弦定理，可得，解得．

【点评】本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式，三角形内角和定理，余弦定理，正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
21．（12分）已知正三角形，某同学从点开始，用掷骰子的方法移动棋子，规定：①每掷一次骰子，把一枚棋子从三角形的一个顶点移动到另一个顶点；②棋子移动的方向由掷骰子决定，若掷出骰子的点数大于3，则按逆时针方向移动：若掷出骰子的点数不大于3，则按顺时针方向移动．设掷骰子次时，棋子移动到，，处的概率分别为：（A），（B），（C），例如：掷骰子一次时，棋子移动到，，处的概率分别为（A），，．
（1）掷骰子三次时，求棋子分别移动到，，处的概率（A），（B），（C）；
（2）记（A），（B），（C），其中，，求．
【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出（A），（B），（C）．
（2）由，即，，推导出数列是首项为公比为的等比数列，由此能求出．
【解答】解：（1）设掷骰子次时，棋子移动到，，处的概率分别为：（A），（B），（C），
，
，
．
（2），即，，
又，
时，
又，可得，
由，
可得数列是首项为，公比为的等比数列，
，即，
又，
故．
【点评】本题考查概率的运算，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是中档题．
22．（12分）已知函数，．
（1）若，记的解集为，求函数为自然对数的底数）的值域；
（2）当时，讨论函数的零点个数．
【分析】（1）当时，求出的解集，函数，在求出复合函数的值域．
（2），利用分类讨论思想，求出函数的零点个数．
【解答】解：（1）当时，的解集为，
函数，
，
当时，令，则，，
所以的值域为，．
（2），
①因为（1），
所以1为一个零点，
（1），
因为，
所以（1），
所以（1）（1），
所以1为的一个零点．
②当时，，，
所以在上无零点，
③当时，，在上无零点，
所以在上的零点个数是在上零点个数，
因为，
（1），
△，
若△，即时，函数无零点，即在上无零点，
若△，即时，函数的零点为，即在上有零点，
若△，即时，，
函数在上有两个零点，即函数在上有两个零点，
综上所述，当时，有1个零点，
当时，有2个零点，
当时，有3个零点．
【点评】本题考查函数值，函数的值域的求法，函数的零点个数的讨论，函数的性质，属于中档题．
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日期：2021/8/23 17:46:58；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394