2020-2021学年江苏省南京市建邺区中华中学高一（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省南京市建邺区中华中学高一（下）期末数学试卷，共25页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年江苏省南京市建邺区中华中学高一（下）期末数学试卷
一、单项选择题
1．若复数满足，则的虚部是　　
A． B．4 C． D．
2．连续抛掷同一颗骰子2次，向上的点数之和正好等于8的概率为　　
A． B． C． D．
3．如图，已知，用，表示，则等于　　

A． B． C． D．
4．求值：　　
A． B． C． D．
5．在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为　　
A． B． C． D．
6．江西省重点中学协作体于2020年进行了一次校际数学竞赛，共有100名同学参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在，之间，其得分的频率分布直方图如图，则下列结论错误的是　　

A．得分在，之间的共有40人
B．从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在，的概率为0.5
C．这100名参赛者得分的中位数为65
D．可求得
7．已知的内角，，的对边分别为，，．且，则的取值范围为　　
A．， B．， C．， D．，
8．如图，四棱锥的底面为矩形，底面，，，点是的中点，过，，三点的平面与平面的交线为，则下列说法错误的是　　

A．平面
B．
C．直线与所成角的正切值为
D．平面截四棱锥所得的上下两部分几何体的体积之比为
二、多项选择题
9．从甲袋中摸出一个红球的概率为，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球．下列结论正确的是　　
A．2个球都是红球的概率为
B．2个球不都是红球的概率为
C．至少有1个红球的概率为
D．2个球中恰有1个红球的概率为
10．函数，下列结论正确的是　　
A．在区间，上单调递增
B．的图象关于直线对称
C．将的图象向左平移个单位后与的图象重合
D．若，则
11．三棱锥中，已知平面，，且，则下列说法正确的有　　
A． B．平面
C．二面角的大小为 D．三棱锥的外接球表面积为
12．《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边，，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即．现有满足，且，请运用上述公式判断下列命题正确的是　　
A．周长为 B．
C．的外接圆半径为 D．中线的长为
三、填空题
13．在一次机器人比赛中，有供选择的型机器人和型机器人若干，从中选择一个机器人参加比赛，型机器人被选中的概率为，若型机器人比型机器人多4个，则型机器人的个数为 　　．
14．为了了解高一、高二、高三年级学生的身体状况，现用分层随机抽样的方法抽取一个容量为1200的样本，三个年级学生人数之比依次为．已知高一年级共抽取了200人，则高三年级抽取的人数为 　　．
15．已知，，两两垂直且，，，则过、、、四点的球的体积为 　　．
16．已知的内角，，的对边分别为，，，面积为，满足，．若，则的周长为 　　．
四、解答题
17．设复数，满足．
（1）若在复平面内对应的点位于第一象限，且实部为，计算：；
（2）若，是纯虚数，求．
18．“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员，面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态，紧跟时代脉搏的热门．某市宣传部门为了解全民使用“学习强国”了解国家动态的情况，从全市抽取2000名人员进行调查，统计他们每周使用“学习强国”的时长．如图是根据调查结果绘制的频率分布直方图．
（1）宣传部为了了解大家使用“学习强国”的具体情况，准备采用分层抽样的方法从使用时长为，和，的两组中抽取6人参加一个座谈会．
①这两组分别抽取的人数；
②从上述参加座谈会的6人中随机抽取两人发言，求使用时长为，的小组中至少有1人发言的概率；
（2）根据如图，估计所有被调查人员使用“学习强国”的平均时长（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．

19．（1）已知，，求；
（2）已知，，求的值．
20．如图，在棱长都为2的正三棱柱中，点为的中点，点为的中点，平面平面．
（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）求证：．

21．的内角，，的对边分别为，，，，．
（1）若，求角；
（2）求的最大值．
22．在中，．
（1）若，求的值；
（2）设向量，，且，求的值．

2020-2021学年江苏省南京市建邺区中华中学高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题
1．若复数满足，则的虚部是　　
A． B．4 C． D．
【分析】利用复数的运算法则直接求解．
【解答】解：复数满足，
，
的虚部是4．
故选：．
【点评】本题考查复数的运算，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．连续抛掷同一颗骰子2次，向上的点数之和正好等于8的概率为　　
A． B． C． D．
【分析】先求出基本事件总数，再求出向上的点数之和为8包含的基本事件个数，即可求解．
【解答】解：连续抛掷同一颗骰子2次，基本事件总数，
向上的点数之和为8包含的基本事件有，，，，共5个，
向上的点数之和正好等于8的概率为．
故选：．
【点评】本题考查了用列举法求古典概型的概率问题，解题是要认真审题，注意列举法的合理应用，属于基础题．
3．如图，已知，用，表示，则等于　　

A． B． C． D．
【分析】由已知可得，然后利用三角形法则化简即可求解．
【解答】解：由已知可得，
则
，
故选：．
【点评】本题考查了平面向量基本定理的应用，考查了学生的运算转化能力，属于基础题．
4．求值：　　
A． B． C． D．
【分析】根据已知条件，结合三角函数的诱导公式和余弦函数的两角差公式，即可求解．
【解答】解：，，
．
故选：．
【点评】本题主要考查了三角函数的诱导公式，以及余弦函数的两角差公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
5．在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为　　
A． B． C． D．
【分析】由，得是直线与所成的角（或所成角的补角），由此利用余弦定理，求出直线与所成的角．
【解答】解，是直线与所成的角（或所成角的补角），
设正方体的棱长为2，
则，，，
，
，
直线与所成的角为．
故选：．

【点评】本题考查异面直线所成角和余弦定理，考查运算求解能力，是基础题．
6．江西省重点中学协作体于2020年进行了一次校际数学竞赛，共有100名同学参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在，之间，其得分的频率分布直方图如图，则下列结论错误的是　　

A．得分在，之间的共有40人
B．从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在，的概率为0.5
C．这100名参赛者得分的中位数为65
D．可求得
【分析】利用频率分布直方图的性质直接求解．
【解答】解：由频率分布直方图得：
对于，得分在，之间有：人，故正确；
对于，从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在，的概率为：
，故正确；
对于，，解得，故正确；
对于，，的频率为，
，的频率为，
这100名参赛者得分的中位数为：，故错误．
故选：．
【点评】本题考查频数、概率、中位数、频率的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力、数据分析能力、数学应用意识等核心素养，是基础题．
7．已知的内角，，的对边分别为，，．且，则的取值范围为　　
A．， B．， C．， D．，
【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．
【解答】解：由于，，
所以，
故，
所以，
由于，
所以，
则，
故．
故选：．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
8．如图，四棱锥的底面为矩形，底面，，，点是的中点，过，，三点的平面与平面的交线为，则下列说法错误的是　　

A．平面
B．
C．直线与所成角的正切值为
D．平面截四棱锥所得的上下两部分几何体的体积之比为
【分析】对于，取中点，连接、，推导出与重合，从而，进而平面；
对于，由，且，得；
对于，由知，是直线与所成角（或所成角的补角），由此能求出直线与所成角的余弦值；
对于，截面就是平面，先分别求出，，由此能求出平面截四棱锥所得的上、下两部分几何体的体积之比．
【解答】解：对于，取中点，连接、，点是的中点，，
过，，三点的平面与平面的交线为，
与重合，，平面，平面，平面，故正确；
对于，由知，底面，，则，故正确；
对于，由知，是直线与所成角（或所成角的补角），
四棱锥的底面为矩形，底面，，，
，
直线与所成角的余弦值为：，故错误；
对于，由知截面就是平面，下半部分分为四棱锥和三棱锥．
所以下部分体积为：，所以上部分，上下之比就是．故正确．
故选：．

【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力等数学核心素养，是中档题．
二、多项选择题
9．从甲袋中摸出一个红球的概率为，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球．下列结论正确的是　　
A．2个球都是红球的概率为
B．2个球不都是红球的概率为
C．至少有1个红球的概率为
D．2个球中恰有1个红球的概率为
【分析】根据题意，依次分析选项中概率计算是否正确，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于，2个球都是红球的概率，正确；
对于，2个球不都是红球的概率，错误；
对于，2个球都不是红球的概率为，至少有1个红球的概率，正确；
对于，2个球中恰有1个红球的概率，正确；
故选：．
【点评】本题考查互斥事件和相互独立事件概率的计算，注意分析事件之间的关系，属于基础题．
10．函数，下列结论正确的是　　
A．在区间，上单调递增
B．的图象关于直线对称
C．将的图象向左平移个单位后与的图象重合
D．若，则
【分析】利用二倍角公式化简得，然后对四个选项逐一分析可得答案．
【解答】解：，
对于，，，，，因此在区间，上单调递增，故正确；
对于，当时，，为最大值，故正确；
对于，因为，即将的图象向左平移个单位后不与的图象重合，故错误；
对于，若，则，，故正确；
综上所述，结论正确的为，
故选：．
【点评】本题考查三角函数的恒等变换的应用，考查正弦函数的单调性、对称性及平移变换，考查运算求解能力，属于中档题．
11．三棱锥中，已知平面，，且，则下列说法正确的有　　
A． B．平面
C．二面角的大小为 D．三棱锥的外接球表面积为
【分析】对于，反证法判断错误；
对于，线面垂直的判定定理判断正确；
对于，建系，求法向量，根据向量夹角公式来求二面角的大小；
对于，为外接球的直径，进而利用球的表面积公式求出外接球表面积．
【解答】解：对于，若，又，，
则平面，所以，与矛盾，故错误；
对于，，平面，所以平面平面，故 正确；
对于，过点作，
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，
则，0，，，1，，，0，，
所以．
设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，
则，即，取；
，即，取，，
所以，于是，故正确；
对于，三棱锥外接球的直径为，
所以表面积为，故 正确．
故选：．

【点评】本题考查反证法的应用，考查线面垂直的证明，利用空间向量求二面角，考查三棱锥的外接球，考查直观想象能力和运算能力，属于中档题．
12．《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边，，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即．现有满足，且，请运用上述公式判断下列命题正确的是　　
A．周长为 B．
C．的外接圆半径为 D．中线的长为
【分析】直接利用三角函数的关系式的变换，余弦定理三角形的面积公式的应用，正弦定理的应用，中线向量的应用和向量的模的应用判断、、、的结论．
【解答】解：由于满足，且，
利用正弦定理：，
故，，，
故：
整理得，
故，，，故三角形的周长为，故错误；
利用余弦定理：，由于，故，故正确；
利用正弦定理，解得，故正确；
利用，所以，故，与矛盾，故错误；
故选：．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，余弦定理三角形的面积公式的应用，正弦定理的应用，中线向量的应用和向量的模，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
三、填空题
13．在一次机器人比赛中，有供选择的型机器人和型机器人若干，从中选择一个机器人参加比赛，型机器人被选中的概率为，若型机器人比型机器人多4个，则型机器人的个数为 　8　．
【分析】根据题意，设有型机器人个，则型机器人有个，由古典概型公式可得有，解可得的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，设有型机器人个，则型机器人有个，
则有，解可得，
即型机器人的个数为8．
故答案为：8．
【点评】本题考查古典概型的计算，注意古典概型的计算公式，属于基础题．
14．为了了解高一、高二、高三年级学生的身体状况，现用分层随机抽样的方法抽取一个容量为1200的样本，三个年级学生人数之比依次为．已知高一年级共抽取了200人，则高三年级抽取的人数为 　400　．
【分析】利用分层抽样的比例关系列式求解．
【解答】解：由条件有，解得，所以高三年级抽取的人数为人．
故答案为：400．
【点评】本题考查分层抽样，属于基础题．
15．已知，，两两垂直且，，，则过、、、四点的球的体积为 　　．
【分析】把三棱锥放置在棱长分别为，，的长方体中，求出长方体的对角线长，可得外接球的半径，代入球的体积公式得答案．
【解答】解：如图，

把三棱锥放置在棱长分别为，，的长方体中，
可得过、、、四点的球即为长方体的外接球，
外接球的半径，
则外接球的体积．
故答案为：．
【点评】本题考查多面体外接球体积的求法，训练了分割补形法，是基础题．
16．已知的内角，，的对边分别为，，，面积为，满足，．若，则的周长为 　　．
【分析】根据平面向量数量积的运算，三角形的面积公式，同角三角函数基本关系式可求的值，结合的范围可得的值，再根据正弦定理，余弦定理，求出，从而求出三角形的周长．
【解答】解：，
，
，即，
又，
，
又，
由正弦定理得：，
，
则由正弦定理得：，①，
又由余弦定理得：，
，可得，则，
代入①得：，
，
解得：，即．
故答案为：．
【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，三角恒等变换，正余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和方程思想的应用，综合性较强，属于中档题．
四、解答题
17．设复数，满足．
（1）若在复平面内对应的点位于第一象限，且实部为，计算：；
（2）若，是纯虚数，求．
【分析】（1）设，由求得，则可求，代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案；
（2）设，结合，利用为纯虚数得，结合求得与的值，则答案可求．
【解答】解：（1）设，由，得，解得，
，；
（2）设，又，
，
则，解得或，
则或．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．
18．“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员，面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态，紧跟时代脉搏的热门．某市宣传部门为了解全民使用“学习强国”了解国家动态的情况，从全市抽取2000名人员进行调查，统计他们每周使用“学习强国”的时长．如图是根据调查结果绘制的频率分布直方图．
（1）宣传部为了了解大家使用“学习强国”的具体情况，准备采用分层抽样的方法从使用时长为，和，的两组中抽取6人参加一个座谈会．
①这两组分别抽取的人数；
②从上述参加座谈会的6人中随机抽取两人发言，求使用时长为，的小组中至少有1人发言的概率；
（2）根据如图，估计所有被调查人员使用“学习强国”的平均时长（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．

【分析】（1）①先分别求出两组中的总人数，然后由分层抽样的特点，即按比例抽取，求解即可；
②利用古典概型的概率公式求解即可；
（2）由频率分布直方图中平均数的计算公式求解即可．
【解答】解：（1）①使用时长，的人数为人，
使用时长为，的人数为人，
由分层抽样，时长为，组中抽取人数为人，
时长为，组中抽取人数为人；
②上述参加座谈会的6人中随机抽取两人，共有种，
使用时长为，的小组中没有人发言共有种，
所以使用时长为，的小组中至少有1人发言的概率为；
（2）所有被调查人员使用“学习强国”的平均时长为：
．
【点评】本题考查了频率分布直方图的应用，古典概型概率公式的应用，分层抽样方法的应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．
19．（1）已知，，求；
（2）已知，，求的值．
【分析】（1）根据已知条件，结合三角函数的同角公式，可得，再结合余弦函数的两角差公式，即可求解．
（2）根据已知条件，结合正切函数的二倍角公式和两角和公式，即可求解．
【解答】解：（1），，
，
．
（2），
，
，
．
【点评】本题主要考查了三角函数的两角和公式与两角差公式，以及三角函数的同角公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
20．如图，在棱长都为2的正三棱柱中，点为的中点，点为的中点，平面平面．
（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）求证：．

【分析】（1）利用正三棱柱的几何性质结合线面垂直的判定定理可得，平面，从而得到即为与平面所成的角，在三角形中，利用边角关系求解即可；
（2）由正三棱柱的几何性质，先证明四边形为平行四边形，再证明四边形为平行四边形，可证明，由线面平行的判定定理证明平面，由线面平行的性质定理证明即可．
【解答】（1）解：因为三棱柱为正三棱柱，
则平面，为等边三角形，
又平面，则，
因为为的中点，则，
因为，平面，，
则平面，
故即为与平面所成的角，
因为平面，且平面，
则，
又三棱柱的棱长均为2，
则是边长为2的等边三角形，是边长为2的正方形，
则，，
故，
所以直线与平面所成角的正弦值为；
（2）证明：在正三棱柱中，四边形为矩形，，，
因为，均为中点，则，，
则四边形为平行四边形，
故，，
在正三棱柱中，，，
所以四边形为平行四边形，
则，
又平面，平面，
所以平面，
又平面，平面平面，
故．
【点评】本题考查了空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，直线与平面所成角的求解，在使用几何法求线面角时，可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得，属于中档题．
21．的内角，，的对边分别为，，，，．
（1）若，求角；
（2）求的最大值．
【分析】（1）直接利用三角函数关系式的变换的应用求出结果；
（2）利用正弦定理、余弦定理和基本不等式的应用求出结果．
【解答】解：（1）的内角，，的对边分别为，，，，．
整理得：，
故，
所以，
由于，
利用正弦定理：，
整理得，
整理得：，
故或，
故．
（2）由于，
整理得，
所以（当且仅当时等号成立）．
则的最大值为．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦定理、余弦定理的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
22．在中，．
（1）若，求的值；
（2）设向量，，且，求的值．
【分析】（1）先求出，结合题意可得，由正弦定理得，进而得，再结合即可求出答案；
（2）由可得，进而求出，再根据两角差的正弦公式即可求出的值．
【解答】解：（1），因为，所以，
所以．
因为，所以，
设三个内角，，所对的边分别为，，，
则，又，故，
由正弦定理可得，
等式两边同时除以得，
则，
解得或．
当时，，则，
又，矛盾．
所以．
（2）因为，所以，
所以，
所以，即，又，
所以或，
当时，由 1 知，由正切函数单调性可得，
所以，又，于是，矛盾．
所以，所以．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查正弦定理，考查三角恒等变换公式，考查三角函数的性质，考查数学运算和数学抽象的核心素养，属于中档题．
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日期：2021/8/23 17:51:16；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394