2020-2021学年江苏省南京市江浦高级中学文昌校区等五校高一（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省南京市江浦高级中学文昌校区等五校高一（下）期末数学试卷，共26页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年江苏省南京市江浦高级中学文昌校区等五校高一（下）期末数学试卷
一、单选题(本题包括8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题意.)
1．（5分）若为纯虚数，则实数的值为　　
A． B． C． D．
2．（5分）已知，则　　
A． B． C． D．
3．（5分）已知、为两条不同直线，、为两个不同平面．下列命题中正确的是　　
A．若，，则与共面 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
4．（5分）测量河对岸某一高层建筑物的高度时，可以选择与建筑物的最低点在同一水平面内的两个观测点和，如图，测得，，，并在处测得建筑物顶端的仰角为，则建筑物的高度为　　

A． B． C． D．
5．（5分）已知某地、、三个村的人口户数及贫困情况分别如图（1）和图（2）所示，为了解该地三个村的贫困原因，当地政府决定采用分层抽样的方法抽取户数进行调查，则样本容量和抽取村贫困户的户数分别是　　

A．100，20 B．100，10 C．200，20 D．200，10
6．（5分）皮埃尔德费马，法国律师和业余数学家，被誉为“业余数学家之王”，对数学作出了重大贡献，其中在1636年发现了：若是质数，且，互质，那么的次方除以的余数恒等于1，后来人们称该定理为费马小定理．依此定理，若在数集，3，5，6，中任取两个数，其中一个作为，另一个作为，则所取两个数符合费马小定理的概率为　　
A． B． C． D．
7．（5分）如图，在三棱锥中，，，则异面直线与所成角的余弦值是　　

A． B． C． D．
8．（5分）赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的），类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，则　　

A． B．
C． D．
二、多选题(本题包括4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.)
9．（5分）从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是　　
A．2个球都是红球的概率为
B．2个球中恰有1个红球的概率为
C．至少有1个红球的概率为
D．2个球不都是红球的概率为
10．（5分）在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则下列结论正确的是　　
A． B． C． D．
11．（5分）关于函数的描述正确的是　　
A．其图象可由的图象向左平移个单位得到
B．在单调递增
C．在，有2个零点
D．在的最小值为
12．（5分）已知在三棱锥中，，，两两互相垂直，，，，点为三棱锥的外接球的球心，点为的外接圆的圆心，下列说法正确的是　　
A．三棱锥的体积为
B．直线与平面所成角的正切值为
C．球的表面积为
D．
三、填空题（本题包括4小题，每小题5分，共20分.）
13．（5分）已知样本9，10，11，，的平均数是10，方差是2，则　 　．
14．（5分）若，则　　．
15．（5分）圆锥的母线长为4，为圆锥顶点，点为母线的中点，从点处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周达到点，这条绳子的长度最短值为，则此圆锥的表面积为 　　．
16．（5分）在中，若，且，则的值为　　
四、解答题（本题包括6小题，17题10分，其余每小题10分，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（10分）已知向量，．
（1）若，求实数的值；
（2）若，，求向量与的夹角．
18．（12分）某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取50名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成六组：第1组，，第2组，，第3组，，第4组，，第5组，，第6组，，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：
（1）求分数在，内的频率，并补全这个频率分布直方图；
（2）从频率分布直方图中，利用组中值估计本次考试成绩的平均数；
（3）已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级，若从第5组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少一人成绩优秀的概率．

19．（12分）如图，在五面体中，已知平面，，，，．
（1）求证：；
（2）求三棱锥的体积．

20．（12分）如图，在四面体中，平面平面，，，，．
（1）求和平面所成角的正弦值：
（2）求二面角的正切值．

21．（12分）杭州市为迎接2022的亚运会，规划公路自行车比赛赛道，该赛道的平面示意图为如图的五边形，运动员的公路自行车比赛中如出现故障，可以从本队的器材车、公共器材车上或收容车上获得帮助．比赛期间，修理或更换车轮或赛车等，也可在固定修车点上进行．还需要运送一些补给物品，例如食物、饮料、工具和配件．所以项目设计需要预留出，为赛道内的两条服务通道（不考虑宽度），，，，，为赛道，，，，．
（1）从以下两个条件中任选一个条件，求服务通道的长度；
①；②．
（2）在（1）的条件下，应该如何设计，才能使折线赛道最长（即最大），最长值为多少？

22．（12分）如图，在直三棱柱中，点是线段上的动点．
（1）线段上是否存在点，使得平面？若存在，请写出值，并证明此时，平面；若不存在，请说明理由；
（2）已知平面平面，求证：．


2020-2021学年江苏省南京市江浦高级中学文昌校区等五校高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题(本题包括8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题意.)
1．（5分）若为纯虚数，则实数的值为　　
A． B． C． D．
【分析】化简，根据纯虚数的定义列方程求出的值．
【解答】解：因为，
由纯虚数的定义知，，
解得．
故选：．
【点评】本题考查了复数的化简与运算问题，是基础题．
2．（5分）已知，则　　
A． B． C． D．
【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系求得的值，再利用二倍角公式求得要求式子的值．
【解答】解：，，解得，或（舍去），
则，
故选：．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，属于基础题．
3．（5分）已知、为两条不同直线，、为两个不同平面．下列命题中正确的是　　
A．若，，则与共面 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【分析】由空间中直线与直线、直线与平面的位置关系判定；由直线与平面垂直的性质判断．
【解答】解：若，，则或与相交或与异面，故错误；
若，，则或，故错误；
若，，由直线与平面垂直的性质，可得，故正确；
若，，则或与相交，故错误．
故选：．
【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．
4．（5分）测量河对岸某一高层建筑物的高度时，可以选择与建筑物的最低点在同一水平面内的两个观测点和，如图，测得，，，并在处测得建筑物顶端的仰角为，则建筑物的高度为　　

A． B． C． D．
【分析】在中利用正弦定理求得的值，在中利用直角三角形的边角关系求得的值．
【解答】解：由题意，在中，，，
，
又，
由正弦定理得，
；
在中，，，
；
则建筑物高为．
故选：．
【点评】本题考查了正弦定理与直角三角形的边角关系应用问题，是中档题．
5．（5分）已知某地、、三个村的人口户数及贫困情况分别如图（1）和图（2）所示，为了解该地三个村的贫困原因，当地政府决定采用分层抽样的方法抽取户数进行调查，则样本容量和抽取村贫困户的户数分别是　　

A．100，20 B．100，10 C．200，20 D．200，10
【分析】利用分层抽样、扇形统计图和条形统计图直接求解．
【解答】解：由题意得，样本容量为：，
抽取村贫困户的户数为：．
故选：．
【点评】本题考查频数的求法，考查分层抽样、扇形统计图和条形统计图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6．（5分）皮埃尔德费马，法国律师和业余数学家，被誉为“业余数学家之王”，对数学作出了重大贡献，其中在1636年发现了：若是质数，且，互质，那么的次方除以的余数恒等于1，后来人们称该定理为费马小定理．依此定理，若在数集，3，5，6，中任取两个数，其中一个作为，另一个作为，则所取两个数符合费马小定理的概率为　　
A． B． C． D．
【分析】基本事件总数，利用列举法求出所取两个数符合费马小定理包含的基本事件有9个，由此能求出所取两个数符合费马小定理的概率．
【解答】解：在数集，3，5，6，中任取两个数，其中一个作为，另一个作为，
基本事件总数，
所取两个数符合费马小定理包含的基本事件有：
，，，，，，，，，共9个，
所取两个数符合费马小定理的概率为．
故选：．
【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．
7．（5分）如图，在三棱锥中，，，则异面直线与所成角的余弦值是　　

A． B． C． D．
【分析】分别取、、的中点、、，连接、、、和，则，，所以即为异面直线与所成角．然后借助中位线定理、勾股定理分别求出、和的长，再在中，由余弦定理即可求出，进而得解．
【解答】解：如图所示，分别取、、的中点、、，连接、、、和，
则，，所以即为异面直线与所成角．

由题可知，和均为正三角形，所以，即为等边三角形，
因为为的中点，所以，
而，，
在中，由余弦定理知，．
因为异面直线夹角的取值范围为，，所以异面直线与所成角的余弦值是．
故选：．
【点评】本题考查异面直线的夹角问题，通过平移的思想，将两条异面直线平移在一个平面内是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
8．（5分）赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的），类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，则　　

A． B．
C． D．
【分析】先设，根据题意可知，求出的长，延长交于，求出，的长，再由平面向量基本定理即可得出结果．
【解答】解：设，因此，
又由题意可得，
所以，
因此；
延长交于，
记，，
则，
所以；
又由题意易知，则，
在三角形中，由正弦定理可得：，
即，
因此，
，
所以，
因为，即，
整理得，
所以．
故选：．

【点评】本题主要考查解三角形以及平面向量基本定理，熟记正弦定理和余弦定理、以及平面向量基本定理即可，属于常考题型．
二、多选题(本题包括4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.)
9．（5分）从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是　　
A．2个球都是红球的概率为
B．2个球中恰有1个红球的概率为
C．至少有1个红球的概率为
D．2个球不都是红球的概率为
【分析】设从甲袋中摸出一个红球为事件，从乙袋中摸出一个红球为事件分别根据概率公式计算即可．
【解答】解：设从甲袋中摸出一个红球为事件，从乙袋中摸出一个红球为事件，
则2个球都是红球的概率为，故正确，
2个球中恰有1个红球的概率为，故正确，
至少有1个红球的概率为，故正确，
2个球不都是红球的概率为，故不正确．
故选：．
【点评】本题考查相互独立事件概率的计算，关键是明确事件之间的关系，其次灵活运用对立事件、互斥事件的概率性质．
10．（5分）在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则下列结论正确的是　　
A． B． C． D．
【分析】直接利用已知条件，利用正弦定理和余弦定理及三角形的面积公式求出结果．
【解答】解：由于，
则：，解得：．
由于：，，
利用正弦定理：，则：，整理得：，解得：，故正确；
由于，，可得，
解得：，或3，
若，则，可得，可得，矛盾，故错误，
可得，
可得，可得，故错误；
因为若，可得，可得，，由于，矛盾，
所以，
又因为，
则由，故正确．
故选：．
【点评】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理的应用，三角形面积公式的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
11．（5分）关于函数的描述正确的是　　
A．其图象可由的图象向左平移个单位得到
B．在单调递增
C．在，有2个零点
D．在的最小值为
【分析】利用三角函数的倍角公式以及辅助角公式进行化简，结合三角函数的性质分别进行判断即可．
【解答】解：，
的图象向左平移个单位得到，，故正确，
．当，则，，此时函数不单调，故错误，
．由，得，
当时，，当时，，当时，，当时，，即在，有2个零点，，，故正确，
．，则，，则当时，函数取得最小值，最小值为，故正确
故选：．
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式先进行化简，结合三角函数的单调性，最值性以及图象变换关系是解决本题的关键，难度不大．
12．（5分）已知在三棱锥中，，，两两互相垂直，，，，点为三棱锥的外接球的球心，点为的外接圆的圆心，下列说法正确的是　　
A．三棱锥的体积为
B．直线与平面所成角的正切值为
C．球的表面积为
D．
【分析】计算棱锥的体积判断，计算判断，计算外接球半径，再计算球的表面积判断，根据线面垂直的性质判断．
【解答】解：对于，，，，平面，
，故正确；
对于，，，，平面，
为与平面所成角，而，故正确；
对于，由于，，两两垂直，故三棱锥的外接球也是棱长分别为3，4，5的长方体的外接球，
设外接球半径为，则，，
外接球的表面积为，故正确；
对于，若点为的外接圆的圆心，则平面，又平面，
，故错误．
故选：．

【点评】本题考查了棱锥与外接球的位置关系，考查线面垂直的判断与线面角计算，属于基础题．
三、填空题（本题包括4小题，每小题5分，共20分.）
13．（5分）已知样本9，10，11，，的平均数是10，方差是2，则　96　．
【分析】根据平均数与方差的定义，求出与的值，即可得出的值．
【解答】解：，10，11，，的平均数是10，
，
即①；
又方差是2，
，
即②；
由①②联立，
解得或；
．
故答案为：96．
【点评】本题考查了数据的平均数与方差的应用问题，解题时应根据平均数与方差的计算公式进行解答，是基础题．
14．（5分）若，则　　．
【分析】由题意利用诱导公式、二倍角公式、两角和差的三角公式，计算求得的值．
【解答】解：若，，
平方可得，则，
故答案为：．
【点评】本题主要考查诱导公式、二倍角公式、两角和差的三角公式，属于基础题．
15．（5分）圆锥的母线长为4，为圆锥顶点，点为母线的中点，从点处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周达到点，这条绳子的长度最短值为，则此圆锥的表面积为 　　．
【分析】设底面圆半径为，由母线长求出侧面展开扇形的圆心角，利用余弦定理求出从点拉一绳子围绕圆锥侧面转到点的最短距离，列方程求出的值，再计算圆锥的表面积．
【解答】解：设底面圆半径为，由母线长为4，
所以侧面展开扇形的圆心角为；
将圆锥侧面展开成一个扇形，从点拉一绳子围绕圆锥侧面转到点，
最短距离为，如图所示：在中，
，解得，
所以，所以圆锥的表面积为．
故答案为：．

【点评】本题考查了圆锥的侧面展开图应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
16．（5分）在中，若，且，则的值为　　
【分析】由同角三角函数的基本关系式及两角和的正弦公式，二倍角公式化简可得，进而根据正弦定理即可计算得解．
【解答】解：因为，
又因为，
所以，可得，
所以由正弦定理可得，即的值为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了同角三角函数的基本关系式及两角和的正弦公式，二倍角公式以及正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
四、解答题（本题包括6小题，17题10分，其余每小题10分，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（10分）已知向量，．
（1）若，求实数的值；
（2）若，，求向量与的夹角．
【分析】（1）由已知结合向量数量积的性质的坐标表示即可求解；
（2）由已知结合向量夹角公式的坐标表示即可求解．
【解答】解：（1）因为，
所以，
所以，
所以，
（2）由题意可得，，，
，
，

【点评】本题主要考查了向量数量积的性质的简单应用，属于基础试题．
18．（12分）某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取50名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成六组：第1组，，第2组，，第3组，，第4组，，第5组，，第6组，，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：
（1）求分数在，内的频率，并补全这个频率分布直方图；
（2）从频率分布直方图中，利用组中值估计本次考试成绩的平均数；
（3）已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级，若从第5组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少一人成绩优秀的概率．

【分析】（1）由频率分布直方图求出分数在内的频率值，补全频率分布直方图即可；
（2）利用组中值即可计算这组数据的平均数；
（3）利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．
【解答】解：（1）由频率分布直方图求出分数在内的频率为
，
且，
补全这个频率分布直方图，如图所示
（2）利用组中值估计本次考试成绩的平均数为
；
（3）第5组人数为，记为、、、；
第6组两组人数为，记为、、；
从这7人中随机抽取2人，基本事件是：
、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、共21种，
求所抽取的2人中至少一人成绩优秀的基本事件是：
、、、、、、、、、、、、、、共15种，
故所求的概率为．

【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
19．（12分）如图，在五面体中，已知平面，，，，．
（1）求证：；
（2）求三棱锥的体积．

【分析】（1）先证明平面，再利用线面平行的性质，证明；
（2）在平面内作于点，证明是三棱锥的高，即可求三棱锥的体积．
【解答】（1）证明：因为，平面，平面，
所以平面，（3分）
又平面，平面平面，
所以．（6分）
（2）解：在平面内作于点，
因为平面，平面，所以，
又，平面，，
所以平面，
所以是三棱锥的高．（9分）
在直角三角形中，，，所以，
因为平面，平面，所以，
又由（1）知，，且，所以，所以，（12分）
所以三棱锥的体积．（14分）

【点评】本题考查线面平行的判定与性质，考查三棱锥的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
20．（12分）如图，在四面体中，平面平面，，，，．
（1）求和平面所成角的正弦值：
（2）求二面角的正切值．

【分析】（1）取中点，连接、，推导出即为和平面所成的角．由此能求出和平面所成角的正弦值．
（2）过点作，垂足为．推导出，平面，，从而为二面角的平面角．由此能求出二面角的正切值．
【解答】解：（1）取中点，连接、，
，，
又平面平面，平面，平面平面，
平面．
即为和平面所成的角．在中，，，，
又为中点，．
，，
，，
平面，平面，
．
在中，，，，
．
，
即和平面所成角的正弦值为．
（2）过点作，垂足为．
平面，平面，，
又，平面，，
平面，
又平面，，
为二面角的平面角．
在中，，，．
在中，，
二面角的正切值为2．

【点评】本题考查线面角的正弦值、二面角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
21．（12分）杭州市为迎接2022的亚运会，规划公路自行车比赛赛道，该赛道的平面示意图为如图的五边形，运动员的公路自行车比赛中如出现故障，可以从本队的器材车、公共器材车上或收容车上获得帮助．比赛期间，修理或更换车轮或赛车等，也可在固定修车点上进行．还需要运送一些补给物品，例如食物、饮料、工具和配件．所以项目设计需要预留出，为赛道内的两条服务通道（不考虑宽度），，，，，为赛道，，，，．
（1）从以下两个条件中任选一个条件，求服务通道的长度；
①；②．
（2）在（1）的条件下，应该如何设计，才能使折线赛道最长（即最大），最长值为多少？

【分析】（1）选择①，由正弦定理求出，利用勾股定理求解角．
选择②由正弦定理求解，在中，由余弦定理求出即可．
（2）在中，由余弦定理，结合基本不等式求解即可．
【解答】（1）解：选择①，在中，由正弦定理：，
又，所以，
在中，；
选择②，在中，由正弦定理：，
在中，由余弦定理：
即：，解得（负值舍去）
（2）解：在中，由余弦定理：，，
当时取等号．故时，折线赛道最长，最长值为．
【点评】本题考查三角形的解法，正弦定理以及余弦定理的应用，勾股定理的应用，是中档题．
22．（12分）如图，在直三棱柱中，点是线段上的动点．
（1）线段上是否存在点，使得平面？若存在，请写出值，并证明此时，平面；若不存在，请说明理由；
（2）已知平面平面，求证：．

【分析】（1）连接，交于点，连接，则，由此推导出在线段上存在点，当时，平面．
（2）过作并交于点，推导出平面，．，从而平面．由此能证明．
【解答】（1）解：在线段上存在点，当时，平面．
证明如下：连接，交于点，连接，则点是的中点，
又当，即点是的中点，由中位线定理得，
平面，平面，
平面．
（2）证明：过作并交于点，
又平面平面，平面，平面平面，
平面，又平面，．
在直三棱柱中，平面，平面，
，又平面，平面，，
平面．
又平面，．

【点评】本题考查线面平行的判断与证明，考查线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
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日期：2021/8/23 17:50:56；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394