2022-2023学年安徽省安庆市九校联盟九年级（下）第二次月考数学试卷（含解析）

2022-2023学年安徽省安庆市九校联盟九年级（下）第二次月考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  我国天然林保护修复工程建设开展以来，截至年月日，天然林面积增加亿亩、蓄积增加亿立方米数据“亿”用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列运算结果正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  如图所示的几何体的俯视图是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  如图，在平面直角坐标系中，函数的图象大致是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  如图，在矩形中，、交于点，于点，，则大小是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  关于的一元二次方程根的情况，下列说法正确的是(    )

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根 D. 无法确定

8.  某校安排三辆车，组织九年级学生团员到“夕阳红”敬老院参加三月学雷锋活动，其中小王与小明都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，则小王与小明同车的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，点、为反比例函数图象上的点，过点，分别作轴，轴，垂足分别为、，连接、、，线段交于点，点恰好为的中点，当的面积为时，的值为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，四边形为矩形，，，点是线段上一动点，点为线段上一点，，则的最小值为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

11.  用“”或“”填空：若，则______

12.  因式分解的结果是        ．

13.  如图，中，，为的角平分线，以点为圆心，为半径作与边交于点，若，，则 ______ ．

14.  如图，在矩形中，，，点在边上，以每秒的速度从点向终点运动，连接，以为顶点，为一边作，另一边交边于点，过点作于点．
经过秒，点的路径长是______ ；
在运动过程中，线段长度的最小值是______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
已知，，求代数式的值．

16.  本小题分
如图，在边长为的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，点、的坐标分别是，绕点逆时针旋转后得到．
画出旋转后的图形．
求线段在旋转过程中所扫过的图形面积．

17.  本小题分
如图，设四边形是边长为的正方形，以正方形的对角线为边长作第个正方形，再以第个正方形的对角线为边长作第个正方形，如此进行下去，
记正方形的边长为，依上述方法
所作的正方形的边长依次记为、、，则______，______，______；
据上述规律写出第个正方形的边长的表达式，______．

18.  本小题分
九章算术中“盈不足”一章中记载：“今有大器五小器一容三斛古代的一种容量单位，大器一小器五容二斛，”译文：“已知个大桶加上个小桶可以盛酒斛，个大桶加上个小桶可以盛酒斛，”问：个大桶和个小桶分别盛酒多少斛？

19.  本小题分
如图，长方形沿着对角线翻折，点落在点处，与相交于点，若，，求的长．

20.  本小题分
为了解某学校九年级学生每周平均课外阅读时间的情况，随机抽查了该学校九年级部分同学，对其每周平均课外阅读时间进行统计，绘制了如下的统计图和图请根据相关信息，解答下列问题：
该校抽查九年级学生的人数为______ ，图中的值为______ ；
求统计的这组数据的众数、中位数和平均数．
根据统计的样本数据，估计该校九年级名学生中，每周平均课外阅读时间大于的学生人数．

 

21.  本小题分
已知，分别与相切于点，，，为上一点．
Ⅰ如图，求的大小；
Ⅱ如图，为的直径，与相交于点若，求的大小．

 

22.  本小题分
在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，两点是抛物线上一点，且在直线的上方．
求抛物线的表达式；
若面积是面积的倍，求点的坐标；
如图，交于点，交于点记，的面积分别为，，判断是否存在最大值若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．

23.  本小题分
如图，纸片中，，过点作，垂足为，沿剪下，将它平移至的位置，拼成四边形，则四边形的形状为        从以下选项中选取
A.正方形
B.菱形
C.矩形
如图，在中的四边形纸片中，在上取一点，使，剪下，将它平移至的位置，拼成四边形．
求证：四边形是菱形；
连接，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为，
所以的倒数是．
故选：．
根据倒数的定义进行解答即可．
本题考查的是倒数，熟知乘积是的两数互为倒数是解答此题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：亿．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：，故选项A错误，不符合题意；
，故选项B错误，不符合题意；
，故选项C正确，符合题意；
，故选项D错误，不符合题意；
故选：．
根据单项式乘单项式可以判断；根据积的乘方可以判断；根据单项式的除法可以判断；根据完全平方公式可以判断．
本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：从上往下看，得到三个长方形．
故选：．
根据俯视图是从上面看得到的图形，可得答案．
本题考查三视图的知识，解决此类图的关键是由三视图得到相应的立体图形．从正面看到的图是主视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图，能看到的线画实线，被遮挡的线画虚线．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
一次函数图象过点，随的增大而增大，
故选项B符合题意．
故选：．
根据一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可．
本题考查的是一次函数图象，解答此题的关键是掌握一次函数的性质．
 

6.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，，，
，
，
，
，，
，
，
；
故选：．
由矩形的性质得出，得出，由直角三角形的性质求出，即可得出答案．
本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：将原方程变形为一般形式得，
，，，
，
原方程有两个不相等的实数根．
故选：．
将原方程变形为一般形式，利用根的判别式，可得出，进而可得出原方程有两个不相等的实数根．
本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：设辆车分别为，，，

共有种情况，在同一辆车的情况数有种，
所以坐同一辆车的概率为，
故选：．
列举出所有情况，看在同一辆车的情况数占总情况数的多少即可．
考查概率的求法；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．得到在同一辆车的情况数是解决本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：点为的中点，
的面积的面积，
点，为函数图象上的两点，
，
，
轴，轴，
，
∽，
，
，
，
，
，
．
故选：．
根据三角形的中线的性质求出的面积，根据相似三角形的性质求出，根据反比例函数系数的几何意义解答即可．
本题考查的是反比例函数系数的几何意义、相似三角形的性质，掌握反比例函数系数的几何意义、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，取的中点，连接，．

四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
点的运动轨迹是以为圆心，为半径的．
，
，
的最小值为．
故选：．
如图，取的中点，连接，证明，推出，点的运动轨迹是以为圆心，为半径的利用勾股定理求出，可得结论．
本题考查矩形的性质，轨迹，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，
，
故答案为：．
由解不等式的方法求解．
考查了不等式的性质注意：移项要变号，不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等式的符号要改变．
 

12.【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：．
运用平方差公式即可得答案．
此题考查了公式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：过作于，

，
，
为的角平分线，，
，
即为的半径，
设的半径为，则，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
在中，，
，
，
故答案为：．
过作于，根据角平分线的性质得到，设的半径为，则，在解直角三角形即可得到结论．
此题考查了解直角三角形，熟记锐角三角函数定义并作辅助线构建直角三角形是解题的关键．
 

14.【答案】  

【解析】解：如图，当点与点重合时，作出，过点作于点，作轴于点，

，
则有，
是等腰直角三角形，以为原点作平面直角坐标系，
，
，
，
经过秒，则，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
设，则，
，
在中，，
或不合题意，舍去，
，
，
经过秒，点的路径长即为的长，
点的路径长为：．
故答案为：．
设当点运动秒时，有最小值，
在中，，
在等腰中，，
结合的结论有：，即可得四边形是正方形，
，
，
，，
即，
，，
直线的解析式为，
由题可知，点在直线上且其纵坐标为，
，
当且仅当时取等号，即时取等号，符合题意，
线段长度的最小值是．
故答案为：．
当点与点重合时，当点与点重合时，作出，过点作于点，作轴于点，根据勾股定理可得答案；
设当点运动秒时，有最小值，由等腰直角三角形性质及勾股定理得、的长，求出点的坐标，再利用不等式的变形可得答案．
此题考查的是矩形的性质，掌握等腰直角三角形的性质与勾股定理是解决此题关键．
 

15.【答案】解：，，
，
． 

【解析】根据二次根式的加法法则求出，根据完全平方公式把原式变形，把的值代入计算即可．
本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的加法法则、完全平方公式是解题的关键．
 

16.【答案】解：如图所示，即为所求；

，，
线段在旋转过程中所扫过的图形面积为． 

【解析】将点，分别绕点逆时针旋转后得到对应点，再与点首尾顺次连接即可得；
根据扇形的面积公式计算可得．
本题考查的是作图旋转变换，掌握旋转的性质与扇形的面积公式是解答此题的关键．
 

17.【答案】     
 

【解析】解：为边长为的正方形的对角线，
为边长为的正方形的对角线，
又因为正方形中对角线长为边长的倍，
所以，
，
；
故答案为：，，；
根据、、、的大小可以推断与的关系，
．
故答案为：．
找到正方形对角线为正方形边长的倍的关系，根据即可求，进而可以求，；
由发现的规律可求与的关系．
本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了正方形各边长相等、各内角为的性质，考查了学生找规律的能力，本题中找到与的关系是解题的关键．
 

18.【答案】解：设个大桶和个小桶分别盛酒斛、斛，
，
，
答：个大桶和个小桶分别盛酒斛、斛． 

【解析】根据题意列出二元一次方程组求解即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是理解题意，列出方程组．
 

19.【答案】解：四边形是矩形，
，，
长方形沿着对角线翻折，点落在点处，
，，
，，
在与中，
，
≌，
，
，
，
． 

【解析】根据矩形的性质得到，，根据折叠的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了翻折变换折叠问题，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
 

20.【答案】解：； 
在这组数据中小时出现次数最多，有次，
众数为小时；
在这个数据中，中位数为第、个数据的平均数，即中位数为小时；
平均数是：小时；

根据题意得：
人，
答：根据统计的样本数据，估计该校九年级名学生中，每周平均课外阅读时间大于的约有人． 

【解析】解：该校抽查九年级学生的人数为：人，
，
，
故答案为：，；
见答案；
见答案．

由小时的人数及其占总人数的百分比可得总人数，用小时的人数除以总人数即可求出；
根据众数、中位数及加权平均数的定义可得答案；
用总人数乘以每周平均课外阅读时间大于的学生人数所占的百分比即可．
本题考查了众数、中位数、平均数及扇形统计图和条形统计图的知识，解题的关键是能够结合两个统计图并找到进一步解题的有关信息．
 

21.【答案】解：Ⅰ连接、，

，是的切线，
，
，
由圆周角定理得，；
Ⅱ连接，

为的直径，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
Ⅰ连接、，根据切线的性质得到，根据四边形内角和等于计算；
Ⅱ连接，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质计算．
 

22.【答案】解：将，代入得，
解得：，
抛物线的解析式为：；

设直线的解析式为：，
将，代入得，
解得：，
直线的解析式为：，
，，
，
，
即，
过点作轴于点，与交于点，过点作于点，如图，

，
．
设点的横坐标为，
，，
．
解得：或；
或；

存在最大值．理由如下：
，
，，
∽，
：：：，
，
设直线交轴于点，则，
过点作轴，垂足为，交于点，如图，

，
，
，
，
∽，
：：，
设，
由可知，，
．
，
当时，的最大值为． 

【解析】将点，的坐标代入二次函数的解析式，利用待定系数法求解即可；
利用待定系数法求出直线的解析式，过点作轴于点，与交于点，过点作于点，可分别表达和的面积，根据题意列出方程求出的长，设出点的坐标，表达的长，求出点的坐标即可；
由，可得∽，所以：：：，所以，设直线交轴于点，则，过点作轴，垂足为，交于点，易证∽，所以：：，设，由可知，，所以利用二次函数的性质可得出最值．
本题考查一次函数和二次函数的图象与性质、三角函数、三角形面积、相似三角形的判定与性质等基础知识，考查数形结合、函数与方程，函数建模等数学思想方法，考查运算能力、推理能力、空间观念与几何直观、创新意识等数学素养．
 

23.【答案】 

【解析】解：如图，纸片▱中，，，过点作，垂足为，沿剪下，将它平移至的位置，拼成四边形，则四边形的形状为矩形，
故选：；
证明：纸片▱中，，，，
，
．
如图：
，
，将它平移至，
，，
四边形是平行四边形．
在中，由勾股定理，得
，
，
四边形是菱形；
解：连接，，如图：

在中，，
，
在中，，
．
根据矩形的判定，可得答案；
根据菱形的判定，可得答案；
根据勾股定理，可得答案．
本题属于四边形综合题，考查了菱形的判定，矩形的判定，图形的剪拼等知识，利用了矩形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．