2022-2023学年安徽省芜湖市八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年安徽省芜湖市八年级（下）期中数学试卷（1）

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列二次根式，不能与合并的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  点为矩形对角线与的交点，若，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

4.  下列式子中，为最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  在直角三角形中，两直角边的长分别为和，则斜边上中线的长为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  在中，，的对边分别记为，，，下列条件中，能判定是直角三角形的是(    )

A.  B. ，，
C.  D. ：：：：

7.  将一个有角的三角尺的直角顶点放在一张宽为的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角尺的一边与纸带的一边所在的直线成角，如图，则三角尺的最长边的长为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等如图所示”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了海岛算经九题古证，则下列说法不一定成立的是(    )

A.  B.
C.  D.

9.  如图，在中，，点为的中点，是上的一点，且若，则的长是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，正方形中，点、、分别是、、的中点，、交于，连接、下列结论：；；；正确的有(    )

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

11.  “对顶角相等”这个命题的逆命题是______．

12.  如图所示，在四边形中，，请添加一个条件使四边形是平行四边形．可添加的条件是______只填一个即可

13.  已知实数，化简______．

14.  刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在九章算术注中指出：“勾、股幂合为弦幂，明矣”也就是说，图中直角三角形的三边、、存在的关系他在书中构造了一些基本图形来解决问题如图，分别将以为边长的正方形和为边长的正方形置于以为边长的大正方形的左下角和右上角，则图中阴影部分面积等于        用含字母的代数式表示；若，则        ．

三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）

15.  如图，折叠矩形的一边，使点落在边的点处，已知，，求的长．

四、解答题（本大题共8小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：
；
．

17.  本小题分
如图，在菱形中，，求证：．

18.  本小题分
已知，求代数式的值．

19.  本小题分
如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点叫做格点．
在图中以格点为顶点画，使的三边长分别为、、；
在图中以格点为顶点画，使的三边长分别为、、．

20.  本小题分
阅读材料：
分析探索题：细心观察如图，认真分析各式，然后解答问题．
，；
，；
，
请用含有为正整数的等式______；
推算出______；
求出的值．

21.  本小题分
如图，▱的对角线、相交于点，且．
求证：四边形为矩形；
过作于，，，求的长．

 

22.  本小题分
如图，在平行四边形中，点，，，分别在边，，，上，，，且平分．
求证：≌．
若求证：四边形是正方形．

23.  本小题分
综合与实践
【问题情境】
数学活动课上，老师出示了一个问题：如图，在正方形中，是的中点，，与正方形的外角的平分线交于点．试猜想与的数量关系，并加以证明；
【思考尝试】
同学们发现，取的中点，连接可以解决这个问题．请在图中补全图形，解答老师提出的问题．
【实践探究】
希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图，在正方形中，为边上一动点点，不重合，是等腰直角三角形，，连接，可以求出的大小，请你思考并解答这个问题．
【拓展迁移】
突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图，在正方形中，为边上一动点点，不重合，是等腰直角三角形，，连接知道正方形的边长时，可以求出周长的最小值．当时，请你求出周长的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，解得．
故选：．
根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，即可求解．
主要考查了二次根式的意义和性质．
概念：式子叫二次根式．
性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，能与合并；
B、，能与合并；
C、，不能与合并；
D、，能与合并，
故选：．
根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的定义判断即可．
本题考查的是同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
 

3.【答案】 

【解析】解：四边形为矩形，
，，
，
．
故选：．
利用矩形的对角线相等可以解决问题．
本题主要考查了矩形的对角线相等，比较简单．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的概念判断即可．
本题考查的是最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
 

5.【答案】 

【解析】解：两直角边的长分别为和，
斜边，
斜边上的中线．
故选：．
利用勾股定理列式求出斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，熟记性质是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
，
是直角三角形，故本选项符合题意；
B.，，
，
不是直角三角形，故本选项不符合题意；
C.，
是等腰三角形，不一定是直角三角形，故本选项不符合题意；
D.：：：：，，
最大角，
不是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：．
求出，根据勾股定理即可判断选项A；根据勾股定理的逆定理即可判断选项B；根据直角三角形的判定即可判断选项C；求出最大角的度数，即可判断选项D．
本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边、的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图作．
在中，，，，
，
在中，．
故选D．
在中，利用直角三角形度角性质，求出的长，再在中，求出的长即可．
本题考查直角三角形度角性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

8.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，为对角线，
面积面积．
所以选项内容正确，不符合题意；
根据作图过程可知四边形是矩形，为其对角线，
所以面积面积．
所以选项内容正确，不符合题意；
因为面积面积，面积面积，面积面积，
所以面积面积面积面积面积面积，
所以矩形面积矩形面积，选项内容正确，不符合题意；
因为面积，矩形面积，
若面积矩形面积，则，
而已知不一定，所以选项内容错误，符合题意．
故选：．
根据矩形的性质：一条对角线分成的两个三角形面积相等，可知和选项内容正确，不符合题意；
根据面积面积，面积面积，面积面积，阴影部分面积即可判断选项；
因为面积，矩形面积，若面积矩形面积，则，而已知不一定，所以选项内容错误，符合题意．
本题主要考查了矩形的性质、解决这类问题的方法是四边形转化为三角形，利用三角形面积间的和差关系进行判断．
 

9.【答案】 

【解析】解：延长至，使，连接，

，
，
为的中点，
，
是的中位线，
，
，
，
又，
是等边三角形，
，
故选：．
延长至，使，连接，证出是的中位线，得出，证明是等边三角形，由等边三角形的性质可得出答案．
本题主要考查等边三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形中位线，证明是的中位线是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，，
点、、分别是、、的中点，
，
在与中，
，
≌，
，
，
，
，
；故正确；
在中，是边的中点，
，
即；故正确；
连接，如图所示：
同理可得：，
，
，
垂直平分，
；
若，则是等边三角形，
则，，
而，
，
，
，故错误；
，
同理：≌，
，
，
，
，
；故正确；
正确的结论有个，
故选：．
连接，由四边形是正方形与点、、分别是、、的中点，易证得≌与≌，根据全等三角形的性质，易证得与，根据垂直平分线的性质，即可证得，，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得，根据等腰三角形的性质，即可得则问题得解．
此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
 

11.【答案】如果两个角相等，那么它们是对顶角 

【解析】解：“对顶角相等”的条件是：两个角是对顶角，结论是：这两个角相等，
所以逆命题是：如果两个角相等，那么它们是对顶角．
故答案为：如果两个角相等，那么它们是对顶角．
本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．把一个命题的题设和结论互换即可得到其逆命题据此解答即可．
 

12.【答案】答案不唯一 

【解析】解：添加，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
故答案为：答案不唯一．
根据平行四边形的判定定理进行解答．
此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，，
原式，
故答案为：．
根据绝对值的意义及二次根式的性质进行化简．
本题考查绝对值及二次根式的化简，理解绝对值的意义及二次根式的性质是解题关键．
 

14.【答案】   

【解析】解：图中阴影部分面积等于，
如图所示：
，，，
，
，即，
，
，
，即，
，
故答案为：，．
根据阴影面积等于边长为的正方形面积减去边长为的正方形面积即可表示；先求出，，，再根据得到，再根据，即可求出．
本题主要考查了因式分解的应用，多项式乘多项式，勾股定理，三角形三边的关系，求平方根，正确理解题意推出是解题的关键．
 

15.【答案】解：四边形为矩形，
，，，
折叠矩形的一边，使点落在边的点处
，，
在中，，
，
设，则，，
在中，
，
，解得，
的长为． 

【解析】根据矩形的性质得，，，再根据折叠的性质得，，在中，利用勾股定理计算出，则，设，则，在中，根据勾股定理得，然后解方程即可．
本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理．
 

16.【答案】解：原式
；
原式

． 

【解析】先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
先根据零指数幂的意义和完全平方公式计算，然后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、零指数幂是解决问题的关键．
 

17.【答案】证明：四边形为菱形，
，．
又，
，
即．
在和中

≌．
． 

【解析】由四边形为菱形，可得，又因为，所以，即可证≌，所以．
此题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判断和性质形，能够灵活运用菱形知识解决有关问题是解题的关键．
 

18.【答案】解：，
，
，
．
答：代数式的值为． 

【解析】首先对式子进行因式分解，然后代入的值可得到答案．
本题考查了因式分解的应用；解题中代入值后利用了平方差公式是正确解答本题的关键，方法比较巧妙，要进行学习掌握．
 

19.【答案】解：如图所示；

如图所示． 

【解析】、根据勾股定理画出图形即可．
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
 

20.【答案】   

【解析】解：，
，
，

，
故答案为：；
，
，
，

，
故答案为：；
．
根据规律解答；
根据总结的规律计算，得到答案．
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
 

21.【答案】证明：，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形；
解：四边形是矩形，
，
，
，
在上取一点，使得，
是等腰直角三角形，，
，
，
设，则，

，
，
．
即． 

【解析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，矩形的判定与性质，注意：对角线相等的平行四边形是矩形，等角对等边，学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．
根据等角对等边得出，根据平行四边形性质求出，，推出，根据矩形的判定推出即可．
根据矩形的性质和，得出，在上取一点，使得，易证，设，则，构建方程即可解决问题．
 

22.【答案】证明：四边形是平行四边形，
．
在与中，
，
≌；

四边形是平行四边形，
，，．
，，
，．
≌，
．
又≌，
．
四边形为平行四边形．
，
．
平分，
，
，
，
又，
平行四边形是正方形．
四边形是菱形． 

【解析】根据全等三角形的判定定理证得结论；
先证明四边形是平行四边形，再证明有一组邻边相等，然后结合，即可证得该平行四边形是正方形．
本题考查了正方形的判定，判定一个四边形是正方形的方法有：
先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．
还可以先判定四边形是平行四边形，再用或进行判定．
也考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，难度适中．
 

23.【答案】解：，
理由如下：取的中点，连接，

、分别为、的中点，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
；
在上取，连接，

由同理可得，
，，
≌，
，
，，
，
，
，
，
，
作，交的延长线于，交于，连接，

由知，，
，
是等腰直角三角形，
点与关于对称，
的最小值为的长，
，
，
由勾股定理得，
周长的最小值为． 

【解析】取的中点，连接，利用同角的余角相等说明，再根据证明≌，得；
在上取，连接，由同理可得，则≌，再说明是等腰直角三角形即可得出答案；
作，交的延长线于，交于，连接，则是等腰直角三角形，可知点与关于对称，则的最小值为的长，利用勾股定理求出，进而得出答案．
本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，轴对称最短路线问题，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．