2022-2023学年江苏省南京市秦淮区重点中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省南京市秦淮区重点中学高一（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知向量，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  为了测量垂直于地面的两座塔塔尖之间的距离，某数学建模活动小组构建了如图所示的几何模型若米，，，，，则塔尖之间的距离为米．(    )

A.  B.  C.  D.

4.  在中，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  在中，为线段上一点，且，若，则的最小值为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  已知，且，，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.  记的内角，，的对边分别为，，已知，，则周长的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  若，且，，则(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  在矩形中，，，，分别为，的中点，则下列结论正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  下列代数式的值为的是(    )

A.  B.
C.  D.

11.  记的内角，，的对边分别为，，，则下列判断正确的是(    )

A. 若，，，则是钝角三角形
B. 若，则是等腰三角形
C. 若，则为锐角三角形
D. 若，则为锐角三角形

12.  已知，则的值用可以表示为(    )

A.  B.  C.  D.

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  向量在向量方向上的投影向量 ______ ．

14.  函数的最小值为______ ．

15.  非零向量，满足：，，则与夹角的大小为______

16.  如图，在中，，，过点向外作等腰直角三角形，且，则当 ______ 时，的长度取得最大值，最大值为______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知．
求的值域；
若，，求的值．

18.  本小题分
已知，．
求的值；
若，，求的值．

19.  本小题分
在中，角，，的对边分别为，，已知．
求角的大小；
若为线段延长线上一点，且，，求．

20.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，角和的终边与单位圆分别交于，两点．
若，求的值；
若，，求的值．

21.  本小题分
“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一大块麦地里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说除了我”麦田里的守望者中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田假设霍尔顿在一块凸四边形的麦田里成为守望者，为了分割麦田，他将连结，经测量，，霍尔顿发现无论多长，是定值霍尔顿还发现麦田的生长与土地面积的平方和相关，记和的面积分别为和，为了更好地规划麦田，霍尔顿需要求出的最大值请你帮助霍尔顿解决以下问题：
求出的值；
求的最大值．

22.  本小题分
在直角中，，，为的中点，，分别为线段，上异于，的动点，且．
当时，求的长度；
若为的中点，设，求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：向量，，
，
则．
故选：．
利用向量坐标运算法则、向量数量积公式能求出结果．
本题考查向量坐标运算法则、向量数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
．
故选：．
由题意，利用二倍角的正弦公式、同角三角函数的基本关系，求值即可．
本题主要考查二倍角的正弦公式、同角三角函数的基本关系，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：中，米，，
则米，
中，，米，
则米，
中，，米，米，
由余弦定理得米．
故选：．
由已知结合锐角三角函数先求出，，然后结合余弦定理可求．
本题主要考查了锐角三角函数的定义及余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．
 

4.【答案】 

【解析】解：在中，，，
，则，
则．
故选：．
求出，利用两角和差的正切公式进行转化求解即可．
本题主要考查正切值的求解，利用两角和差的正切公式进行转化求解是解决本题的关键，是基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，设，
，又，，三点共线，
，，，
，
，当且仅当，即当时取最小值．
故选：．
先由，得出，再得出，最后常值代换应用基本不等式可解．
本题考查向量的表示，考查基本不等式，属于中档题．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，又，
；
又，
，又，
；
．
故选：．
利用平方关系可求得与的值，再利用两角和的正弦可求得答案．
本题考查两角和与差的三角函数，考查运算求解能力，属于中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：，又，
，
，
，
，
当且仅当时，等号成立，
，，又，
，
即周长的最大值为．
故选：．
根据余弦定理，基本不等式，即可求解．
本题考查解三角形问题，余弦定理的与基本不等式的应用，属中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，
则，即，
由，，
则，
又，则，
所以，解得．
故选：．
根据题意可得，，进而得到，由此得解．
本题考查三角函数的求值问题，考查运算求解能力，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：对选项，根据题意可知，选项错误；
对选项，根据题意可知，选项正确；
对选项，根据题意可知

，选项错误；
对选项，根据题意可知
，选项正确．
故选：．
根据向量的线性运算，向量数量积的概念，即可分别求解．
本题考查向量的线性运算，向量数量积的概念，属中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：，故A正确；
，故B错误；
，
故，故C错误；
，故D正确．
故选：．
根据三角函数倍角公式，和差公式计算即可判断．
本题考查了三角函数的倍角公式，和差公式，熟练掌握公式是解题的关键，是基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：若，，，则，
故C为钝角，即是钝角三角形，A正确；
若，则或，
所以或，
所以是等腰三角形或直角三角形，B错误；
若，则，，，即，，为锐角，C正确；
当，，为锐角时，显然错误．
故选：．
由已知结合余弦定理检验选项A；
结合诱导公式检验选项B；
结合余弦函数性质检验选项CD．
本题主要考查了余弦定理，三角函数的性质在三角形形状判断中的应用，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：．
，，正确，错．
故选：．
考虑到的两倍角为，已知的角为，而，又因为所求值的式子是分式，所以先通分后用倍角公式进行恒等变换．由于多选题，考虑与是三倍角，可用三倍角公式进行代数代换即可得另一结果．
本题考查了三角函数的恒等变换，倍角公式的灵活应用，属于基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据题意，向量，向量，
则向量在向量方向上的投影向量，．
故答案为：．
根据题意，由投影向量的计算公式计算可得答案．
本题考查投影向量的计算，涉及向量数量积的计算，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：
，
当时，函数取得最小值：．
故答案为：．
利用二倍角公式，化简函数的解析式，结合正弦函数的值域，转化求解表达式的最小值即可．
本题考查三角函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
运用向量的夹角公式可解决此问题．
本题考查向量的夹角公式的应用．

解：根据题意

又

，
故答案为．

16.【答案】  

【解析】解：在三角形中，，，如图所示，取的中点，连接，则，且，
在直角三角形中，，则，所以，
在等腰直角三角形中，，则，
又在三角形中，，且，则，又，
所以，
在三角形中，由余弦定理可得：



，
当，即时，，则．
故答案为：．
在三角形中，取的中点，连接，则，且，利用直角三角形的性质求出，由此求出以及，然后根据等腰直角三角形的性质求出，再根据角的关系求出，然后在三角形中，利用余弦定理以及正余弦的倍角公式，辅助角公式化简求出的表达式，然后根据正弦函数的性质即可求解．
本题考查了解三角形问题，涉及到正余弦定理以及勾股定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：，
则的值域为；
依题意，，
又，则，
则，
所以． 

【解析】化简可得，由此可得值域；
根据题意可得，根据的范围，进一步可得，再由和差角公式即可得到的值．
本题考查三角恒等变换以及三角函数的求值问题，考查运算求解能力，属于基础题．
 

18.【答案】解：因为，所以，
所以，所以
因为，所以或．
因为，所以，所以．
所以
因为，，所以，所以． 

【解析】根据二倍角的余弦及正切公式化简求值即可；
结合角的范围解一元二次方程得，然后根据两角和正切公式求出，然后根据角的范围确定角的大小．
本题主要考查了和差角公式，二倍角公式在三角化简求值中的应用，属于中档题．
 

19.【答案】解：由正弦定理可得，
，，
或或舍去，；
法一：设，
在中，，
在中，，
，
，
．
法二：设，在中，，
在中，，
，
． 

【解析】由已知可得，进而可得，可求角的大小；
法一：设，在中，，在中，，可求．
法二：设，在中，，在中，，可求．
本题考查正弦定理的应用，三角恒等变换，属中档题．
 

20.【答案】解：由题意，，
则，
，
平方整理得：，
平方整理得：，


，
；
，
，
，
平方得：
，，
整理得，得，
． 

【解析】根据三角函数定义以及向量的坐标运算求出，的值，再根据和差公式求出的值即可；
先表示出的坐标，再根据，得到，代入的值得到，再根据倍角公式求出的值即可．
本题考查了三角函数的公式，向量的运算，考查转化思想，是中档题．
 

21.【答案】解：在中，，，根据余弦定理，
，
同理，在中，，
所以，
所以；
由可知，
在中，
，
同理可得，在中，

令，
则，
所以当时，取得最大值，最大值为，
所以，当时，的最大值为． 

【解析】在两个三角形内分别利用余弦定理求出，化简整理可得答案；
利用面积公式分别表示出，求和，利用换元法求解最值．
本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．
 

22.【答案】解：在直角中，，，
为的中点，所以，．
在中，，，，
根据正弦定理得，
 ，
同理，在中，，
在中，，，，
根据余弦定理得，
，
所以．
在中，，，，
根据正弦定理得，
，
同理，在中，，
因为，
所以

，
因为，所以，所以，
所以，所以，
所以，
所以的取值范围为． 

【解析】在直角中求出，在中由正弦定理求出，在中由正弦定理求出，在中由余弦定理求出；
在中由正弦定理求出，在中由正弦定理求出，由平面向量的线性运算和数量积运算可得，再由三角恒等变换知识化简后求三角函数的值域即可．
本题考查正弦定理在解三角形中的应用以及三角恒等变换和三角函数在给定区间上的值域问题，属于中档题．