2022-2023学年湖北省鄂西南三校高一（下）月考数学试卷（5月份）（含解析）

这是一份2022-2023学年湖北省鄂西南三校高一（下）月考数学试卷（5月份）（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖北省鄂西南三校高一（下）月考数学试卷（5月份）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  已知集合，，则(    )A.  B.  C.  D. 2.  设，则(    )A. ， B. ，
C. ， D. ，3.  已知向量，，，且，则实数A.  B.  C.  D. 4.  如图所示，矩形是一个水平放置的平面图形的直观图，其中，，则原图形是(    )
 A. 面积为的菱形 B. 面积为的矩形
C. 面积为的菱形 D. 面积为的矩形5.  已知函数且的图象过定点，且角的终边经过点，则(    )A.  B.  C.  D. 6.  已知为锐角，，则(    )A.  B.  C.  D. 7.  “不以规矩，不成方圆”出自孟子离娄章句上“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的角尺，用来测量、画圆和方形图案的工具有一圆形木板，以“矩”量之，较长边为，较短边为，如图所示，将这个圆形木板截出一块三角形木板，三角形定点，，都在圆周上，角，，分别对应，，，满足若，且，则(    )A.  B. 周长为
C. 周长为 D. 圆形木板的半径为8.  已知，是单位向量，且，的夹角为，若，则的取值范围为(    )A.  B.  C.  D. 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.  已知复数，则下列说法正确的是(    )A.  B. 的虚部为
C. 在复平面内对应的点在第四象限 D. 的共轭复数为10.  若函数，则下列说法正确的是(    )A. 函数的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数的图象关于点对称
D. 函数在上为增函数11.  已知中，角，，的对边分别为，，，且，则下列说法正确的是(    )A.
B. 若的面积为，则的最小值为
C. 若，，则的面积为
D. 若，，则满足条件的有且仅有一个12.  如图，在棱长为的正方体中，为边的中点，点为线段上的动点，设，则(    )
A. 当时，平面
B. 当时，取得最小值，其值为
C. 的最小值为
D. 当平面时，三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.  若，则 ______ ．14.  已知，是单位向量，，，，若，，三点共线，则实数          ．15.  如图，在三棱锥中，，，过点作截面，分别交侧棱，于，两点，则周长的最小值为______ ．
 16.  德国机械学家莱洛设计的菜洛三角形在工业领域应用广泛如图，分别以等边三角形的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形若该等边三角形的边长为，为弧上的一个动点，则的最小值为______ ．
 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
已知向量，．
若与垂直，求实数的值；
若与的夹角为钝角，求实数的取值范围．18.  本小题分
如图，在四棱锥中，底面是矩形，为点到平面的距离，，，，点、分别在线段、上，其中是中点，，连接．
当时，证明：直线平面；
当时，求三棱锥的体积．
19.  本小题分
如图所示，在中，为边上一点，且，过的直线与直线相交于点，与直线相交于点两点不重合．
用，表示；
若，，求的最小值．
20.  本小题分
设函数．
求函数的最小正周期；
求函数在上的最大值．21.  本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，且的周长为，．
求角的大小；
若是边的中点，且，求的面积．22.  本小题分
已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
求；
若，求的取值范围；
若为的外接圆，为平面上一点，若、分别切于点、，求的最小值．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，，
则，故A错误，B正确；
，故C错误；
，故D错误．
故选：．
根据已知条件，先求出集合，，再结合集合的包含关系，交集、并集的定义，即可求解．
本题主要考查集合的包含关系，交集、并集的定义，属于基础题．
 2.【答案】 【解析】解：由得：，
，．
故选：．
由复数乘法运算和复数的相等可直接求得结果．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数相等的条件，属于基础题．
 3.【答案】 【解析】【分析】本题考查数量积的坐标表达式，向量垂直的坐标关系，属于基础题．
根据两个向量的坐标，写出的坐标，根据两个向量的垂直关系，得到两个向量的数量积等于，得到关于的方程，解方程即可．【解答】解：，，，
，
，
，
，
解得，
故选C．
   4.【答案】 【解析】解：矩形是一个平面图形的直观图，其中，，
又，，直观图面积为，
在原图中，，高为，，
．
原图形是菱形，且面积为：．
故选：．
根据斜二测画法的原则：平行于坐标轴的线段依然平行于坐标轴，平行于轴的线段长度不变，平行于轴的线段长度减半可判断原图形的形状．
本题考查平面图形的直观图，熟练掌握直观图的画法是解题的关键．
 5.【答案】 【解析】【分析】本题主要考查任意角的三角函数的定义，指数函数的图象经过定点问题，属于基础题．
求得定点，再由任意角的三角函数的定义求得的值．【解答】解：函数且的图象过定点，则点的坐标为，
则，．
故选：．  6.【答案】 【解析】解：已知为锐角，且，所以；
故，故，
所以，
所以．
故选：．
直接利用三角函数的定义和三角函数的关系式的变换求出三角函数的值．
本题考查的知识要点：三角函数的定义，三角函数的关系式的变换，三角函数的值，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
 7.【答案】 【解析】解：设的外接圆半径为，则，
圆形木板的半径为，故D错误；
由正弦定理，可得，故A错误；
，则，故C为锐角，
，
由面积公式，即，可得，
由余弦定理，即，
可得，解得，
故的周长为，故B正确，C错误．
故选：．
根据题意可求圆的直，再结合正弦定理运算求解，可判断，，根据题意结合面积公式和余弦定理运算求解可判断．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属中档题．
 8.【答案】 【解析】解：因为，，是单位向量，
所以，即，
所以，解得，
又，
所以的取值范围为．
故选：．
将平方，结合题意可得，由此可得的范围．
本题考查平面向量数量积的运用，考查运算求解能力，属于中档题．
 9.【答案】 【解析】解：，
对于，，故A错误；
对于，的虚部为，故B正确；
对于，在复平面内对应的点在第四象限，故C正确；
对于，的共轭复数为，故D错误．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，对化简，即可依次求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
 10.【答案】 【解析】解：由题意，，
函数的图象向右平移个单位长度可得到，故A错误；
，所以函数的图象关于直线对称，故B正确，C错误；
函数在上为增函数，时，，故函数在上单调递增，所以函数在上为增函数，故D正确．
故选：．
由三角函数的恒等变换化简，再由三角函数的平移变换可判断；
求出可判断、；
先判断在上为增函数，即可判断在上的单调性．
本题考查了三角函数的平移、性质及复合函数的单调性，属于中档题．
 11.【答案】 【解析】解：，
由正弦定理得，即，
对于：由余弦定理得，
，，故A错误；
对于：由题意得，，
由余弦定理得，
，当且仅当时等号成立，故的最小值为，故B正确；
对于：由题意得，由正弦定理得，
，
的面积，故C正确；
对于：由余弦定理得，即，
，解得或，故D错误．
故选：．
由正、余弦定理及已知得，再根据选项综合应用正、余弦定理和三角形面积公式求解，即可得出答案．
本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 12.【答案】 【解析】解：在棱长为的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，
所以，则点，
对于，，，，而，
显然，即是平面的一个法向量，
而，因此不平行于平面，即直线与平面不平行，A错误；
对于，，则，
因此当时，取得最小值，B正确；
对于，，
于是，当且仅当时取等号，C正确；
对于，取的中点，连接，，，如图，

因为为边的中点，则，当平面时，平面，
连接，连接，连接，显然平面平面，
因此，，平面，平面，则平面，
即有，而，
所以，D错误．
故选：．
建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断；利用两点间距离公式计算判断；确定直线与平面交点的位置判断作答．
本题主要考查了直线与平面平行的判定定理，考查了利用空间向量求空间中的距离问题，属于中档题．
 13.【答案】 【解析】解：．
故答案为：．
利用二倍角的正弦公式计算可得答案．
本题主要考查了二倍角公式及同角基本关系的应用，属于基础题．
 14.【答案】 【解析】【分析】本题考查了平面向量基本定理的应用，涉及到三点共线的问题，属于基础题．
由已知求出向量，然后利用三点共线建立关系式，即可求解．【解答】解：由已知可得，
因为，，三点共线，则，
即，所以，
解得，
故答案为：．  15.【答案】 【解析】解：将三棱锥由展开，如图，
则图中，
为所求，
由余弦定理可得，
故答案为：．
画出侧面展开图，不难求得结果．
本题考查棱锥的侧面展开图，表面距离的最小值的求法，是基础题．
 16.【答案】 【解析】解：设，，则：，其中，，
，
时，取最小值．
故答案为：．
可设，，然后得出，进行数量积的运算即可得出，然后根据辅助角公式即可求出最小值．
本题考查了向量数量积的运算及计算公式，辅助角公式，考查了计算能力，属于中档题．
 17.【答案】解：因为，
所以，
因为与垂直，
所以，解得．
，
因为与的夹角为钝角，
所以，即，解得．
当与的夹角为时，即与方向相反时，
即，解得．
所以的取值范围为． 【解析】本题考查向量数量积的应用，考查向量夹角为钝角的充要条件，属于中档题．
与垂直，则建立关于的不等式，解方程可得的值．
与的夹角为钝角，则，且与的夹角不是，建立不等式解不等式可得答案．
 18.【答案】解：证明：取中点，连接、，
是的中位线，，且，
又，且，四边形为平行四边形，

又平面，平面，
平面．

，到平面的距离为，点到平面的距离为，
． 【解析】构造平行四边形，然后利用线面平行的判定定理即可．
根据，求出三棱锥的高，然后利用体积公式即可．
本题考查线面平行的判定定理，三棱锥的体积的求解，属中档题．
 19.【答案】解：因为，所以，
化简得；
因为，，，
所以，由图可知，
又因为、、三点共线，所以，
所以，
当，即时，取最小值． 【解析】根据平面向量线性运算法则计算可得；
根据的结论，转化用，表示，根据、、三点共线找出等量关系，再利用基本不等式计算可得；
本题主要考查了向量的线性表示及向量共线定理，还考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
 20.【答案】解：函数，
函数 的最小正周期为．
函数
，
在上．，
故当时，函数取得最大值为． 【解析】由题意，利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性，得出结论．
由题意，利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的定义域和值域，得出结论．
本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
 21.【答案】解：因为，由正弦定理可得，
又由，可得，
整理得，所以，
又因为，
所以；
因为是边的中点，所以．
即，
又，，
解得．
所以的面积． 【解析】利用正弦定理化简已知条件，结合三角形的周长以及余弦定理求得，进而求得．
利用向量运算、三角形的周长以及求得，，，从而求得三角形的面积．
本题主要考查解三角形，考查正余弦定理的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
 22.【答案】解：因为，
所以，
所以，所以，
所以；
由可知为直角三角形，若，
则，
所以，即，则，
在中，，，，
所以，
令，
则，
所以，所以，
令，
因为在上单调递增，
所以在上单调递减，所以
所以的取值范围为；
的外接圆的半径，设，
则，
所以，
而，
，
令，则
，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为． 【解析】由题意得到，根据正弦定理可得，即可求解出；
若，可得，进而得到，表示出，令，得到，再求出的取值范围；
设，分别表示出，，代入中，令，结合均值不等式即可求出答案．
本题考查了正弦定理和基本不等式的综合应用，属于中档题．