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河北省元氏县第四中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试卷 Word版含答案
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高一数学试题 时间:120分钟 满分:150分
一、选择题(共12小题,每小题5分)
1. 已知非空集合,则满足条件的集合的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D. 4
【解答】答案:C
2.已知A={x|3x<1},B={x|x2﹣x﹣6>0},则A∩B=( )
A.(﹣2,0) B.(﹣3,0) C.(﹣∞,﹣2) D.(﹣∞,﹣3)
【解答】解:∵A={x|3x<1}={x|x<0},B={x|x2﹣x﹣6>0}={x|x<﹣2或x>3},
∴A∩B={x|x<﹣2}=(﹣∞,﹣2). 故选:C.
【点评】本题考查交集的求法,考查交集定义等基础知识,考查运算求解能力.
3.条件p:x2﹣4x﹣5<0是条件q:|x+3|>2的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
【分析】先将p、q解出,比较其解集的包含关系,就可以做出判断了.
【解答】解:条件p:x2﹣4x﹣5<0的解集为A=(﹣1,5),
条件q:|x+3|>2的解集为(﹣∞,﹣5)∪(﹣1,+∞),
显然A⫋B,故条件p是q的充分不必要条件,故选:A.
4.若命题p:“∀x∈R,2ax2﹣ax﹣1≤0”为真命题,则实数a的取值范围是( )
A.(﹣∞,8] B.[﹣8,0] C.(﹣∞,﹣8) D.(﹣8,0)
【分析】讨论a=0和a≠0时,分别求出不等式恒成立时实数a的取值范围即可.
【解答】解:由题意知,当a=0时,不等式化为﹣1≤0,命题成立;
当a≠0时,应满足,解得﹣8≤a<0;
综上可得,实数a的取值范围是[﹣8,0].故选:B.
【点评】本题考查了不等式恒成立问题,也考查了全称量词命题的应用问题.
5.已知a>0,b>0,且+=1,则4a+b的最小值是( )
A.2 B.6 C.3 D.9
【分析】4a+b=(4a+b)(+),展开后运用基本不等式即可得到所求最小值.
【解答】解:a>0,b>0,且+=1,
则4a+b=(4a+b)(+)=4+1++≥5+2=9,
当且仅当b=2a时,上式取得等号,则4a+b的最小值为9,故选:D.
【点评】本题考查基本不等式的运用,注意乘1法和等号成立的条件,考查运算能力,属于基础题.
6.如图,给出奇函数y=f(x)的局部图象,则f(﹣2)+f(﹣1)的值为( )
A.﹣2 B.2 C.1 D.0
【分析】根据题意,由函数的图象求出f(1)、f(2)的值,由函数的奇偶性可得f(﹣1)、f(﹣2)的值,相加即可得答案.
【解答】解:根据题意,由函数的图象可得:f(1)=,f(2)=,
又由f(x)为奇函数,则f(﹣1)=﹣,f(﹣2)=﹣;
故f(﹣2)+f(﹣1)=(﹣)+f(﹣)=﹣2; 故选:A.
【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用,涉及函数图象的应用,属于基础题.
7.函数的定义域为( )
A.[2,4] B.[2,4) C.(2,4] D.(2,4)
【分析】由分母中根式内部的代数式大于0,对数式的真数大于0联立不等式组求解.
【解答】解:由,解得2<x<4.
∴函数的定义域为(2,4).故选:D.
8.如图中的曲线是指数函数y=ax的图象,已知a的取值分别为,则相应于曲线c1,c2,c3,c4的a依次为( )
A. B.
C. D.
【解答】解:当x=1时,y=a,直线x=1与C4,C3,C1,C2的交点分别为A,B,C,D,
从图象可知它们的纵坐标分别为:,,π,
所以c1,c2,c3,c44的a依次为 故选:C.
9.已知函数f(x)和g(x)满足f(x)=2g(x)+1,且g(x)为R上的奇函数,
f(﹣1)=8,求f(1)=( )
A.6 B.﹣6 C.7 D.﹣7
【分析】根据题意,由函数的解析式可得f(﹣1)=2g(﹣1)+1=8,变形可得
g(﹣1)的值,由奇函数的性质可得g(1)的值,据此计算可得答案.
【解答】解:根据题意,f(x)=2g(x)+1,且f(﹣1)=8,
即f(﹣1)=2g(﹣1)+1=8,变形可得g(﹣1)=,
又由g(x)的奇函数,则g(1)=﹣g(﹣1)=﹣,
则f(1)=2g(1)+1=2×(﹣)+1=﹣6;故选:B.
【点评】本题考查函数奇偶性的定义,涉及函数值的计算,注意用特殊值分析.
10.下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的函数是( )
A.y=x3 B.y=|x|+1 C.y=﹣x2+1 D.y=﹣
【分析】先根据函数的奇偶性,排除AD,再根据函数的单调性,排除C.
【解答】解:对于函数y=|x|+1,f(﹣x)=|﹣x|+1=|x|+1=f(x),所以y=|x|+1是偶函数,当x>0时,y=x+1,所以在(0,+∞)上单调递增.另外函数y=x3,,不是偶函数,故排除A、D;y=﹣x2+1在(0,+∞)上单调递减,排除C.
故选:B.
11. (多选题)已知p,q都是r的充分条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,则( )
A.p是q的既不充分也不必要条件
B.p是s的充分条件
C.r是q的必要不充分条件
D.s是q的充要条件
【分析】由已知可得p⇒r⇒s⇒q;q⇒r⇒s,然后逐一分析四个选项得答案.
【解答】解:由已知得:p⇒r⇒s⇒q;q⇒r⇒s.
∴p是q的充分条件;p是s的充分条件;r是q的充要条件;s是q的充要条件.
∴正确的是B、D. 故选:BD.
12. (多选题)定义A﹣B={x|x∈A,且x∉B},A*B=(A﹣B)∪(B﹣A)叫做集合的对称差,若集合A={y|y=x+2,﹣1≤x≤3},B={y|y=,≤x≤1},则以下说法正确的是( )
A.B=[2,10] B.A﹣B=[1,2)
C.A*B=(1,2]∪(5,10] D.A*B=B*A
【分析】根据题意化简集合A,B,结合新定义即可得出答案.
【解答】解:∵A={y|y=x+2,﹣1≤x≤3}=[1,5],
B={y|y=,≤x≤1}=[2,10],故A正确;
∵集合A,B是实数集R的子集,定义A﹣B={x|x∈A且x∉B},
∴A﹣B=[1,2),B﹣A=(5,10],故B正确;
A*B=(A﹣B)∪(B﹣A)=[1,2)∪(5,10],故C错误;
B*A=(B﹣A)∪(A﹣B)=[1,2)∪(5,10],所以A*B=B*A,故D正确.
故选:ABD.
【点评】本题考查的是集合的新定义,涉及函数的值域,集合的运算,属于基础题.
二、填空题(共4小题,每小题5分)
13.不等式﹣2x2﹣5x+3<0的解集是
【答案】{x|x<﹣3或x>}.
14.设A={x|﹣1<x≤3},B={x|x>a},若A⊆B,则a的取值范围是 .
【解答】解:根据题意画出数轴:结合数轴:
∵A⊆B,∴a对应的点必须在区间[﹣1,3]的左端点﹣1的左侧,∴a≤﹣1.
故答案为:(﹣∞,﹣1]
15.函数f(x)=ax﹣1+4(a>0,且a≠1)恒过点A,则点A的坐标是 .
【解答】解:可令x﹣1=0,解得x=1, y=a0+4=1+4=5,
可得数f(x)=ax﹣1+4(a>0,且a≠1)恒过的点是(1,5).
故答案为:(1,5).
16.函数y=x+(x>﹣2)取最小值时x的值为
【解答】解:∵x>﹣2,∴x+2>0,
函数y=x+=(x+2)+﹣2≥2﹣2=6,
当且仅当x+2=,即x=2时取等号. ∴答案为:2.
三、解答题(共70分)
17.(10分)已知集合A={x|﹣1<x<3},集合B={x|2m<x<1﹣m}.
(1)当m=﹣1时,求A∪B;
(2)若A∩B=B,求实数m的取值范围.
【解答】解:(1)当m=﹣1时,集合A={x|﹣1<x<3},集合B={x|﹣2<x<2}.
∴A∪B={x|﹣2<x<3}.
(2)∵集合A={x|﹣1<x<3},集合B={x|2m<x<1﹣m}.A∩B=B,∴B⊆A,
∴当B=∅时,2m≥1﹣m,解得m≥,
当B≠∅时,,解得﹣.
∴实数m的取值范围是[﹣,+∞).
【点评】本题考查并集、实数的取值范围的求法,考查交集、并集定义、不等式的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
18.(12分)已知函数f(x)=x2+(2a﹣1)x﹣3.
(1)当a=2,x∈[﹣2,3]时,求函数f(x)的值域.
(2)若函数f(x)在[﹣1,3]上单调递增,求实数a的取值范围.
【解答】解:(1)当a=2,x∈[﹣2,3]时,
函数f(x)=x2+(2a﹣1)x﹣3=x2+3x﹣3=﹣,
故当x=﹣时,函数取得最小值为﹣,当x=3时,函数取得最大值为15,
故函数f(x)的值域为[﹣,15].
(2)若函数f(x)在[﹣1,3]上单调递增,则≤﹣1,∴a≥,
即实数a的范围为[,+∞)
19.(12分)已知幂函数f(x)的图象经过点.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)判断函数f(x)在区间(0,+∞)上的单调性,并用单调性的定义证明.
【解答】解:(Ⅰ)∵f(x)是幂函数,则设f(x)=xα(α是常数),
∵f(x)的图象过点, ∴, ∴α=﹣23,
故f(x)=x﹣2,即;
(Ⅱ)f(x)在区间(0,+∞)上是减函数.证明如下:
设x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,
∴,
∵0<x1<x2∈(0,+∞),
∴x2﹣x1>0,,
∴f(x1)﹣f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
∴f(x)在区间(0,+∞)上是减函数.
【点评】本题考查了求函数的解析式,函数的单调性的证明.求函数解析式常见的方法有:待定系数法,换元法,凑配法,消元法等.函数单调性的证明一般选用定义法证明,证明的步骤是:设值,作差,化简,定号,下结论.属于基础题.
20.(12分)已知函数f(x)=(a2﹣3a+3)ax是指数函数.
(1)求f(x)的解析式;
(2)判断函数F(x)=f(x)﹣f(﹣x)的奇偶性,并证明;
(3)解不等式loga(1﹣x)>loga(x+2).
【解答】解:(1)a2﹣3a+3=1,可得a=2或a=1(舍去),∴f(x)=2x;
(2)F(x)=2x﹣2﹣x,∴F(﹣x)=﹣F(x),∴F(x)是奇函数;
(3)不等式:log2(1﹣x)>log2(x+2),即1﹣x>x+2>0,∴﹣2<x<﹣,
解集为{x|﹣2<x<﹣}.
【点评】本题考查指数函数,考查函数的奇偶性,考查不等式的解法,属于中档题.
21.(12分)已知函数f(x)=.
(1)求f(2)+f()的值;
(2)求证:f(x)+f()是定值;
(3)求2f(1)+f(2)+f()+f(3)+f()+…+f(2017)+f()+f(2018)+f()的值.
【解答】解:(1)f(2)==,f()==,
故f(2)+f()=1;
(2)发现f(x)+f()=1.
证明:f(x)+f()=+=+=1.
(3)∵f(x)+f()=1.
∴2f(1)+f(2)+f()+f(3)+f()+…+f(2017)+f()+f(2018)
+f()
=[f(1)+f(1)]+[f(2)+f()]+[f(3)+f()]+…+[f(2017)+f()]
+[f(2018)+f()]
=2018.
22.(12分)某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时,可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.
(Ⅰ)当每辆车的月租金定为3600元时,能租出多少辆车?
(Ⅱ)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?
【解答】解:(Ⅰ)当每辆车的月租金定为3600元时,
未租出的车辆数为, 所以这时租出了88辆车.
(Ⅱ)设每辆车的月租金定为x元,
则租赁公司的月收益为,
整理得.
所以,当x=4050时,f(x)最大,最大值为f(4050)=307050,
即当每辆车的月租金定为4050元时,租赁公司的月收益最大,最大月收益为307050元.
【点评】本题以实际背景为出发点,既考查了信息的直接应用,又考查了目标函数法求最值.特别是二次函数的知识得到了充分的考查.在应用问题解答中属于非常常规且非常有代表性的一类问题,非常值得研究.