湖南省三湘名校教育联盟2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题及答案（word版）

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三湘名校教育联盟·2020年下学期高一期中考试试题

数学

本试卷共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡，上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A＝{2，3，4，6，7}，B＝{2，3，5，7}，则A∩B＝

A.{2，3，5}     B.{2，3，7}     C.{2，3，5，7}     D.{2，3，4，5，6，7}

2.“a>c且b>d”是“a＋b>c＋d”的

A.充分不必要条件     B.必要不充分条件     C.充要条件     D.既不充分也不必要条件

3.中文“函数(function)”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译出来的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中两个函数相等的是

A.f(x)＝与g(x)＝|x|            B.f(x)＝x(x∈R)与g(x)＝x(x∈Z)

C.f(x)＝|x|与g(x)＝     D.f(x)＝x－1与g(x)＝

4.设a－b<0，c<0，则下列结论中正确的是

A.ac2<bc2     B.a2c>b2c     C.     D.

5.函数y＝的单调递增区间为

A.(－∞，]     B.[，＋∞)     C.[，2]     D.[1，]

6.若不等式x2＋1>2mx在R上恒成立，则实数m的取值范围是

A.(－∞，－1)∪(1，＋∞)     B.(－∞，－1]∪[1，＋∞)     C.[－1，1]     D.(－1，1)

7.已知函数f(x)＝，若f(x)在R上是增函数，则实数a的取值范围是

A.(，1]     B.[，]     C.(，＋∞)     D.[1，2]

8.在R上定义运算：AB＝(A－2)·B，若不等式(t－x)(x＋t)<4对任意的x∈R恒成立，则实数t的取值范围是

A.(－3，1)     B.(－1，2)     C.(－1，3)     D.(－∞，－1)∪(3，＋∞)

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。

9.设全集U＝R，集合A＝{x|－x2＋x＋6>0}，B＝{x|x2＋2x－3<0}，则

A.A∩B＝[－2，1)        B.A∪B＝(－3，3)

C.A∩(B)＝(1，3)      D.A∪(B)＝(－∞，－3]∪(－2，＋∞)

10.下列命题正确的是

A.“x<1，x2<1”的否定是“x≥1，x2≥1”

B.“a>”是“<2”的充分不必要条件

C.“a＝0”是“ab＝0”的充分不必要条件

D.“x≥1且y≥1”是“x2＋y2≥2”的必要不充分条件

11.下列结论正确的是

A.当x>0时，＋≥2

B.当x>3时，x＋的最小值是2

C.当x<时，2x－1＋的最小值是4

D.设x>0，y>0，且2x＋y＝1，则的最小值是9

12.已知a∈Z，关于x的一元二次不等式x2－8x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，则a的值可以是

A.13     B.14     C.15     D.17

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.幂函数f(x)的图像过点(3，9)，则f(4)的值为         。

14.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝3x＋2，则f(－3)＝         。

15.已知f()＝2x＋3，则f(x)的解析式为         。

16.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上是增函数，若f(a＋1)≥f(－3)，则a的取值范围是         。

四、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)

已知集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|k－1<x<3－k}。

(1)当k＝－1时，求A∪B；

(2)若A∩B＝B，求实数k的取值范围。

18.(12分)

(1)已知函数f(x)的定义域为(0，2)，求f(x＋3)的定义域；

(2)已知函数f(x＋2)＝x2－4x＋8，求f(x)的解析式，并求函数f(x)在区间[－2，7]上的最大值与最小值。

19.(12分)

2020年是不平凡的一年，由于世界疫情的影响，就业岗位竞争激烈，为了鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策：由政府协调，企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担。某大学毕业生按照相关政策投资销售一种新型节能设备。已知这种节能设备的成本价为每件20元，出厂价为每件24元，每天的销售量p(单位：件)与销售单价x(25<x<45，x∈N)(单位：元)之间的关系近似满足一次函数：p＝－10x＋420。

(1)假设该大学毕业生每天获得的利润为y(y>0)(单位：元)，写出y关于x的函数解析式；

(2)求当每件节能设备的销售单价x定为多少时，该大学毕业生每天获得的销售利润最大？最大销售利润为多少?

20.(12分)

已知x>0，y>0，4x＋y＝3。

(1)求xy的最大值；

(2)求的最小值。

21.(12分)

已知函数f(x)＝是定义在R上的奇函数。

(1)求f(x)的解析式；

(2)证明：f(x)在(1，＋∞)上是减函数；

(3)求不等式f(1＋3x2)＋f(2x－x2－5)>0的解集。

22.(12分)

定义在R上的函数f(x)满足：x，y∈R，f(x－y)＝f(x)＋f(－y)，且当x<0时f(x)>0，f(－2)＝4。

(1)判断函数f(x)的奇偶性并证明；

(2)若x∈[－2，2]，a∈[－3，4]，f(x)≤－3at＋5恒成立，求实数t的取值范围。

高一数学参考答案

选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1.B  【详解】由集合，集合，则.

本题考查了集合的并运算，考查了基本概念的理解，属于基础题.

2.A  详解：由不等式的性质可以推出

考点：充分条件与必要条件的判定．

3.C  详解：判断两个函数是同一函数的依据是：定义域和对应关系相同。A，B，D中的定义域不同，所以不是同一函数

4.A  详解：B中当时不成立,C中当，则不等式不成立，D中当时不成立.

5.D  详解：函数的定义域为[1,2],配方后得到单调递增区间为D.

6.D  详解：一元二次不等式在R上恒成立，等价于

7.B  详解：先保证每一段在定义域内单调递增，再保证在时的单调性保持一致，即.

8.C  【详解】∵，∴即对任意实数x恒成立，对任意实数x恒成立，所以，解得，故选：C

9.BD  解析：，再由集合的运算可知BD正确.

10.BC  解析：选项A: 根据命题的否定可知：“,”的否定是“,”，A错误；

选项B: 等价于或，由小范围可以推出大范围，大范围推不出小范围可以判断

选项C: 由能推出,由不能推出,所以C正确；

选项D:根据不等式的性质可知：由且能推出,本选项是不正确的；故选BC.

11.AD  解析：对于选项A，当时，，，当且仅当时取等号，结论成立，故A正确；

对于选项B，当时，，当且仅当时取等号，但，等号取不到，因此的最小值不是2，故B错误；

对于选项C，因为，所以，则，当且仅当，即时取等号，故C错误；

对于选项D，因为，，则，当且仅当，即时，等号成立，故D正确.故选：AD.

12.ABC  解析：设f(x)＝x2－8x＋a，其对称轴为x＝4，∴3个整数解为3，4，5，∴f(2)＞0且f(3)≤0，即12＜a≤15，a＝13，14，15，故选ABC.

三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）

13.16         14.          15.         16.

13.16  解析：设幂函数的解析式为，再代点求出，算出

14.-29 解析：∵为定义在上的奇函数，∴，∴.

15.  解析：利用换元法求解析式：令，得到，得到.

16.  解析：∵函数是上的偶函数，且在上是增函数，

∴不等式等价为，即，解得或，

所以实数的取值范围是.

四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.【答案】(1);(2).

解：（1）当时，，则． （4分）

（2） ，则． （5分）

（1）当时，，解得； （7分）

（2）当时，由 得，即，解得． （9分）

综上，的取值范围是 ．（10分）

18.解：（1）的定义域为，，∴，，

即的定义域为.（5分）

（2）令，则．

∵，∴，

∴． 

的对称轴为直线，开口方向向上，

在上递减，在上递增，

当时，，

，

，当时，..（12分）

19.解：（1）依题意可知每件的销售利润为元，每月的销售量为件，

所以每月获得的利润y与销售单价x的函数关系为．（3分）

 又，（5分）

（6分）

（2）由（1）得（7分）

所以，（9分）

则当时，．（11分）

即当每件的销售价定为31元时，每天可获得最大的销售利润，最大销售利润为1210元（12分）

20.解：（1），，（2分）

当且仅当时取等号，即时取等号.（4分）

，（5分）

所以的最大值为.（6分）

（2），（7分）

，（10分）

当且仅当时取等号，即时取等号.（11分）

所以的最小值为.（12分）

21.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.

【详解】（1）∵函数为定义在上的奇函数，

∴，即，∴.（4分）

（2）证明：设，且，

则，，

∵，，，，

∴，∴在上是减函数.（8分）

（3）由，

得.∵是奇函数，∴.（9分）

又∵，，且在上为减函数，∴，即，解得，（11分）

∴不等式的解集是.（12分）

22.解：(1)的定义域为，令，则，，

令，则，，，是奇函数. （4分）

(2) 设，由得： ，且当时，，，即，

在上为减函数（7分）

因为函数在区间上是减函数，且，

要使得对于任意的，都有恒成立，

只需对任意的，恒成立.

令，此时y可以看作a的一次函数，且在时，恒成立.

因此只需，解得，

所以实数t的取值范围是.（12分）