江苏省南通中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含答案

江苏省南通中学2020～2021学年度第一学期期中考试

高一数学

一、选择题（本大题共8小题，每题5分）

1.已知命题，命题p的否定是（    ）

A.， B.，

B.， D.，

2.设集合的定义域（    ）

A. B. C. D.

3.已知命题，则p是q的（    ）

A.充分不必要条件  B.必要不充分条件

C.充要条件  D.既不充分也不必要条件

4.幂函数过点，则（    ）

A. B.3 C. D.2

5.正实数x，y满足，则的最大值（    ）

A. B. C. D.

6.关于x的不等式的解，则的解（    ）

A. B. C. D.

7.函数的单调减区间为（    ）

A. B. C. D.

8.如图，正方形的边长为2，动点E从A开始沿的方向以2个单位长/秒的速度运动到C点停止，同时动点F从点C开始沿边以1个单位长/秒的速度运动到D点停止，则的面积y与运动时间x（秒）之间的函数图象大致形状是（    ）

A. B.

C. D.

二、多选题（本大题共4小题，每题5分，漏选3分）

9.下列命题是真命题的是（    ）

A.  B.

C.若，则 D.

10.若则下列不等式正确的是（    ）．

A. B. C. D.

11.下列求最值的过程中，方法错误的有（    ）

A.当时，，故时，的最大值是－2

B.当时，，当且仅当取等，解得或2，又由，所以取，故时，的最小值为

C.由于，故的最小值是2

D.当，且时，由于，∴，又，故当，且时，的最小值为4

12.已知符号函数，下列说法正确的是（    ）

A.函数是奇函数 B.对任意的，

C.函数的值域为 D.对任意的，

三、填空题（本大题共4小题，每题5分）

13.已知函数（且），则的值域为______

14.设，，，则m，n，p的大小顺序为______

15.若函数对于任意实数x都有，则_____

16.已知二次函数，若任意且都有，则实数a的取值范围是______

四、解答题（本大题共6小题）

17.已知集合，集合，

（1）若时，求，；

（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数k的取值范围

18.已知定义在的函数满足：，且

（1）求函数的解析式；

（2）用定义法证明在上是增函数

19.已知，

（1）分别求P和Q；

（2）若，且，求m

20.（本题满分12分）如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求B点在上，D点在上，且对角线过C点，已知米，米．

（1）要使矩形的面积大于50平方米，则的长应在什么范围？

（2）当的长为多少米时，矩形花坛的面积最小？并求出最小值．

21．（本题满分12分）已知二次函数满足：

①对任意实数x，都有；

②当时，有成立．

（1）求证：；

（2）若，求函数的解析式；

（3）在（2）的条件下，若，成立，求实数m的取值范围．

22．（本题满分12分）设函数（且）是定义域为R的奇函数．

（1）求t的值；

（2）若，求使不等式对一切恒成立的实数k的取值范围；

（3）若函数的图象过点，是否存在正数m，（）使函数在上的最大值为m，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．

江苏省南通中学2020～2021学年度第一学期期中考试

高一数学试卷解析

一、1.D  2.C  3.B  4.A  5.B  6.D  7.D  8.A

二、9.AB  10.BD  11.BCD  12.ABD

三、13.  14.  15.3

16.

【解析】令，

∵

∴，即

令

∴在上单调增

①，，显然不成立

②，，解得，故答案为.

四、17.（1） 

（2）

18.（1）

（2）用定义法按步骤证明即可

19.（1），

（2）

20.（1）设的长为米，则米.

∵，∴，，

由矩形的面积大于50，

得：，又，得：，

解得：或，

即：长的取值范围是：.

（2）矩形花坛的面积为，

，

当且仅当：，即：时，矩形花坛的面积取得最小值48.

故的长为4米时，矩形的面积最小，最小值为48平方米.

答：（1）要使矩形的面积大于50平方米，则的长的范围：；

（2）当的长为4米时，矩形的面积最小，最小值为48平方米.

21.（1）由题意得，所以.

（2）结合（1）知，

由恒成立得恒成立，

故，③代入②得，

故...④.又...⑤，

联立③④⑤解得，.

所以.

（3）由，使得成立可得：

在上有解

（i）时，不满足，∴；

（ii）时，原式化为：在上有解

即

因为，当且仅当时取等号。

故此时.

综合（i）（ii）可知m的取值范围为

22.（1）因为是奇函数，所以，，解得.

当时，

，确实是奇函数，满足题意，所以.

（2），，又因为，解得

设，

因为，，所以，又因为.

所以，

是单调递增函数。

，

恒成立，即恒成立

，

（3），，解得

，设，由（2）知是单调递增函数

所以当时，

所以，，其最大值为m

也即有最值1，二次函数最值只可能在端点或者对称轴处取所以只可能是以下三种情况：

1°，解得，此时对称轴为，左端点处取的是二次函数最小值，而，也即最小值，不合题意舍去.

2°，解得，此时对称轴为，右端点离对称轴更远，取的最大值，而，也即最大值，符合.

3°，解得，此时对称轴为，不在区间上，所以最值不可能在对称轴处取到，不合题意舍去.

综上所述，