江苏省无锡市第一中学2020—2021学年度第一学期期中试卷高一数学试题及答案（word版）

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一、选择题．
1．A2．D3．A4．C
5．C6．D7．D8．C
二、选择题．
9．ABD10．ABD11．BCD12．BC
三、填空题．
13．[0，+∞)14．1615．[2，]16．－7
四、解答题．
17．解：（1）原式＝2＋4＋1＋
＝………………………………………………………………………5分
（2）原式＝lg3
＝5 ………………………………………………………………………10分
18．解：（1）a＝1时，B＝(1，3)， …………………………………………………………2分
则RB＝(－∞，1]∪[3，＋∞)…………………………………………………4分
所以(RB)∩A＝[3，4)． ………………………………………………………6分
（2）a＞0时，B＝(a，3a)．
因为命题p是命题q的必要不充分条件，则AB， ………………………8分所以解得，
所以实数a的取值范围为[，2]．…………………………………………12分
19．解：（1）因为x＞0，y＞0，
所以，
当且仅当，即x＝3，y＝6时取等号，
所以x＋y的最小值为9． ……………………………………………………6分
（2）因为x＞0，y＞0，
所以，
所以xy≥16． ……………………………………………………………………9分
又因为xy＞m2＋6m恒成立，
所以16＞m2＋6m，
解得－8＜m＜2，
所以m的取值范围为(－8，2)． ………………………………………………12分
20．解：（1）当0＜x＜40时，L(x)＝1000x－10x2－400x－3000＝－10x2＋600x－3000；
当40≤x≤100时，L(x)＝
．
所以 ………………………6分
（2）①当0＜x＜40时，L(x)＝－10(x－30)2＋6000，
所以当x＝30时，L(x)max＝L(30)＝6000． ……………………………………8分
②当40≤x≤100时，
，
当且仅当，即x＝50时取等号．
因为6400＞6000，所以x=50时，L(x)最大． ………………………………11分
答：月产量为50台时，所获的月利润最大，最大月利润为6400元． …12分
21．解：（1）当a＝1时，函数，
因为ex－1≠0，则x≠0，
所以f (x)定义域为{x│x≠0}，
对任意x≠0，
所以是奇函数．…………………………………………………4分
（2）①当a＜0时，f (x)为R上的单调增函数，证明如下：
证明：a＜0时，ex－a＞0恒成立，故函数f (x)定义域为R．
任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则，
因为，
所以f(x)为R上的单调增函数． ………………………………………………8分
②设命题p：存在x∈[1，2]，使得f (x2＋2ax)＞f (4－a2)成立．
下面研究命题p的否定：
¬p：x∈[1，2]，f (x2＋2ax)≤f (4－a2)恒成立．
若¬p为真命题，由①，f(x)为R上的单调增函数，
故x∈[1，2]，x2＋2ax≤4－a2恒成立．
设g(x)＝x2＋2ax＋a2－4，x∈[1，2]，
解得－3≤a＜0．
因为p为真，则¬p为假命题，
所以实数a的取值范围为(－∞，－3)．………………………………………12分
（注：其他解答酌情给分．）
22解：（1）①先证充分性（如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数为偶函数．）
设函数y＝f(x)，在函数图象上取两点(x，f(x))，(－x，f(－x))．
因为函数的图象关于y轴对称，
所以横坐标互为相反数的两个点的纵坐标应该相等，即f(x)＝f(－x)，
所以函数y＝f(x)为偶函数．
②再证必要性（如果一个函数是偶函数，那么它的图象关于y轴对称．）
设y＝f(x)是偶函数，
要证明图象关于y轴对称，
即证明图象上任意一点关于y轴的对称点还在自身图象上，
设P(x，y)为f(x)图象上任意一点，则y＝f(x)，
此时P关于y轴的对称点P′(x'，y')，
则x'＝－x，y'＝y，
又函数f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)，即y＝f(x)＝f(－x)＝y′，
所以点P′(x'，y′)在函数f(x)图象上．
所以函数y＝f(x)是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称．……………6分
（2）g(x)＝(x＋1)4－1，
设x＝a为g(x)的对称轴，
由题意，g(x＋a)＝(x＋1＋a)4－1为偶函数．
任取x∈R，g(x＋a)＝g(－x＋a)，
所以(x＋1＋a)4－1＝(－x＋1＋a)4－1，
所以[(x＋1＋a)2＋(x－1－a)2][ (x＋1＋a)2－(x－1－a)2]＝0，
所以[(x＋1＋a)2＋(x－1－a)2]4(1＋a)x＝0恒成立，
故1＋a＝0，则a＝－1，
所以g(x)的对称轴为直线x＝－1． ………………………………………………9分
（3）因为函数y＝h(x＋2)为偶函数，且y＝h(x)在(2，＋∞)上单调递减，
所以│m－2│＜│1－2m－2│，
解得m＜－3或，
所以m的取值范围(－∞，－3)∪(，＋∞)． …………………………………12分