山东省临沭第二中学2019-2020学年高一下学期第四次质量检测数学试卷 Word版含答案

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数学试题

一、选择题：(本题1-8小题为单选题，每小题5分，共40分．)

1.复数的虚部为（      ）

A. 2 B.  C.  D.

2.“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近表示满意度越高.现随机抽取位北京市民，他们的幸福感指数为3，4，5，5，6，7，7，8，9，10.则这组数据的分位数是（   ）

A. 7 B.  C. 8 D.

3.如图正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积　

A.      B. 1        C.  D.

4．某公司10位员工的月工资(单位：元)为x1，x2，…，x10，，其均值和方差分别为和s2．若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为(    )．

A．，s2＋1002       B．＋100，s2＋1002

C．，s2        D．＋100，s2

5.已知点，向量，则向量（    ）

A.     B.       C.      D.

6.在中，已知，则该三角形的形状是（    ）

A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形

7.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于(   )．

A．30°    B．45°    C．60°    D．90°

8．如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AC，则在四面体A－BCD的四个面中，互相垂直的平面有(    )．

A．1对  B．2对       C．3对  D．4对

以下为多项选择题：本题共4小题，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．

9．在某年的足球联赛中，甲球队每场比赛平均失球数是1.5，全年比赛失球个数的标准差为1.1；乙球队每场比赛平均失球数是2.1，全年失球个数的标准差是0.4．下列说法中正确的有(     )

A.平均来说甲球队的防守比乙球队的好； B.乙球队比甲球队防守状况更稳定；

C.甲队有时表现很差，有时表现又非常好； D.乙队很少失球．

10.有下列说法，其中错误的说法为（    ）．

A. 若∥，∥，则∥

B. 若，则是三角形的垂心

C. 两个非零向量，，若，则与共线且反向

D. 若∥，则存在唯一实数使得

11.设，，是三条不同的直线，，是两个不重合的平面，给定下列命题，其中正确的为（   ）

1.     ；                B. ；

C.                      D. .

12．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝，则下列结论正确的是(    )．

A．AC⊥BE        B．EF∥平面ABCD

C．三棱锥A—BEF的体积为定值 

D．△AEF的面积与△BEF的面积相等

二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.已知复数z＝1＋i(i为虚数单位)是关于x的方程x2＋px＋q＝0(p，q为实数)的一个根，则p+q＝________

14.若一个底面边长为，侧棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球的面上，则此球的体积为___

15.函数在处取得最大值，则 ______

16．如图，以等腰Rt△ABC斜边BC上的高AD为折痕，使△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面，则

(1)BD与CD的位置关系为________；

(2)∠BAC＝________．

三、解答题(本题共6小题，第17小题10分，18-22每小题12分，)

17． 已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．

(1)若∣c∣＝2，且a∥c，求c的坐标；

(2)若∣b∣＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ．

18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c且m＝(sin A，sin B)，

n＝(cos B，cos A)，m·n＝－sin 2C．

(1)求角的大小；

(2)若，求△ABC的面积的最大值．

19．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD对角线的交点．求证：

(1)C1O∥面AB1D1；

(2)A1C⊥面AB1D1．

20．近年来城市“共享单车”服务在我国各地快速发展，共享单车为人们出行提供了很大的便利，但也给城市的管理带来了一些困难．现某市为了解人们对“共享单车”投放的认可度，在[15，45]年龄段的人群中随机抽取了n人，进行了一次“你是否赞成投放共享单车”的问卷调查，根据调查结果得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：

(第20题)

(1)求n，a，p的值；

(2)若要在第四、五、六组“赞成投放共享单车”的样本中，用比例分配的分层随机抽样方法抽取7人参加“共享单车骑行体验活动”，则第四、五、六组分别抽取的人数为多少？

(3)在(2)中抽取的7人中随机选派2人作为领队，求所选派的2人中第五组至少有一人的概率．

21.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，O为AC的中点，PA⊥底面ABCD，

PA＝AB，点M在棱PD上，PB∥平面ACM．

(1)试确定点M的位置，并说明理由；

(2)证明：平面ACM⊥平面PCD．

(3)求点D到平面ACM的距离

22．如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q分别为AE，AB的中点．

(1)证明：PQ∥平面ACD；

(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值．

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数学试题答案(时间120分，满分150分)

一、单项选择题：  B C A D        A  C  C C

多选题  ABC   AD   CD  ABC

三、填空题

13．0

14．

15.

16．(1)BD⊥CD；(2)60°．

三、解答题

17．(1)设c＝(x,y)，由∣c∣＝2，且a∥c，可得

所以c＝(2,4)或c＝(－2,－4)．

(2)若a＋2b与2a－b垂直，则(a＋2b)(2a－b)＝0，即2a2＋3ab－2b2＝0．于是ab＝，从而cosθ＝＝－1，所以θ＝π．

18．(1)由题意，得m·n＝sinAcosB＋sinBcosA＝－sin2C，即sin(A＋B)＝－sin2C．

又sin(A＋B)＝sinC＞0，于是可得sinC＝－2sin Ccos C，所以cosC＝－．

又0＜C＜π，因此C＝．

(2)由已知得c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2＋ab≥2ab＋ab，即ab≤4(当且仅当a＝b＝2时取等号)．故△ABC的面积S＝absinC＝ab≤，即△ABC 的面积的最大值是．

19．(1)如图，连接A1C1，连接B1D1．

设A1C1B1D1＝O1，连接AO1．

∵ ABCD－A1B1C1D1是正方体，∴ A1ACC1是平行四边形，

∴ A1C1∥AC且A1C1＝AC．

又O1，O分别是A1C1，AC的中点，∴ O1C1∥AO，且O1C1＝AO，

∴ AOC1O1是平行四边形，∴ C1O∥AO1．

又AO1面AB1D1，C1O面AB1D1，∴ C1O∥平面AB1D1．

(2)∵ CC1⊥面A1B1C1D1，∴ CC1⊥B1D1．

又A1C1⊥B1D1，∴ B1D1⊥面A1C1C．

又A1C面A1C1C，∴ A1C⊥B1D1．同理可证A1C⊥AB1．

又D1B1∩AB1＝B1，∴ A1C⊥平面AB1D1．

20．(1)由频率表中第五组数据可知，第五组的总人数为＝100；结合频率分布直方图可知n＝＝1 000，所以a＝0.03×5×1 000×0.4=60．

因为第二组的频率为0.3，所以P＝＝0.65．

(2)因为第四、五、六组“赞成投放共享单车”的人数为105，则用比例分配的分层随机抽样的方法知，从第四、五、六组抽取的人数分别为4，2，1．

(3)记从第四组抽取的4人分别为A1，A2，A3，A4从第五组抽取的2人分别为B1，B2，从第六组抽取的1人为C，则从7人中随机抽取2名领队所有可能的结果为

A1A2，A1A3，A1A4，A1B1，A1B2，A1C，A2A3，A2A4，A2B1，A2B2，A2C，A3A4，A3B1，A3B2，A3C，A4B1， A4B2，A4C，B1B2，B1C，B2C共21种等可能的结果．

其中所选派的2人中第五组至少有一人的所有可能结果为A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，A4B1，A4B2，B1B2，B1C，B2C，共11种．

所以选派的2人中第五组至少有一人的概率P＝．

21．(1)点M为PD的中点．理由如下：

连接BD．设BD∩AC＝O，则点O为BD的中点，连接OM．

∵ PB∥平面ACM，PB平面PBD，平面PBD∩平面ACM＝OM，∴ PB∥OM，在△PBD中，∵ O为BD的中点，∴OM为△PBD的中位线，∴ 点M为PD的中点．

(2)∵底面是边长为1的正方形，PA＝AB,又由（1）知M是PD的中点

22．(1)∵ P，Q分别为AE，AB的中点，∴ PQ∥EB．又∵ DC∥EB，∴ PQ∥DC．

又PQ平面ACD，∴PQ∥平面ACD．

(2)如图，连接CQ，DP．∵Q为AB的中点，且AC＝BC，∴ CQ⊥AB．∵ DC⊥平面ABC，EB∥DC，∴ EB⊥平面ABC，∴ CQ⊥EB，∴ CQ⊥平面ABE．由(1)有PQ∥DC，又∵ PQ＝EB＝DC，∴ 四边形CQPD为平行四边形，∴ DP∥CQ，∴ DP⊥平面ABE，∴ ∠DAP为AD和平面ABE所成的角．在Rt△DPA中，∵ AD＝，DP＝1，sin∠DAP＝，∴ AD和平面ABE所成角的正弦值为．