山西省大同市第一中学2019-2020学年高一下学期5月月考数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com2019-2020-2高一年级5月考试数学试卷

(满分150分，答题时间120分钟)

一､选择题(本题包括12个小题毎小题5分，共60分.毎小题只有项符合題意)

1.若函数的值域是，则函数的值域是(　　)

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

试题分析：根据题意，由于函数的值域是那么对于函数是先左移3个单位，然后纵坐标都扩大为原来的2倍，然后根据关于x轴的对称变换，再向上平移一个单位得到，可知其值域的范围为，选A

考点：函数的值域

点评：主要是考查了平移函数的的值域的求解属于基础题．

2.点是线段靠近点的三等分点，下列正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据相等向量的概念，可得，，即可求解.

【详解】由点是线段靠近点的三等分点，则，.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了向量的基本概念及线性运算，其中解答中熟记相等向量的基本概念是解答的关键，着重考查了计算能力.

3.计算：（  ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

运用辅助角公式和两角差的余弦公式进行求解即可.

【详解】原式.故选C.

【点睛】本题考查了辅助角公式和两角差的余弦公式，考查了特殊角的三角函数值.

4.下列结论中正确的是（    ）

①若且，则；

②若，则且；

③若与方向相同且，则；

④若，则与方向相反且.

A. ①③ B. ②③

C. ③④ D. ②④

【答案】B

【解析】

【分析】

根据向量的概念和相等向量的基本概念，逐项判定，即可求解.

【详解】由题意，对于①中，由，，则向量与同向或反向，当向量与同向时，可得，当向量与反向时，则，所以不正确的；

对于②中，若，根据相等向量的概念，可得且，所以是正确的；

对于③中，若与方向相同且，根据相等向量的概念，可得，所以是正确的；

对于④中，若，根据向量的概念，则与方向不一定相反且不一定，所以不正确.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了向量的基本概念，以及相等向量的基本概念及应用，其中解答中熟记向量的基本概念，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.

5.已知，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

由余弦的倍角公式，求得，再由，得到，即可求解.

【详解】由余弦的倍角公式，可得，解得，即.

又因为，则，所以，所以.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了三角函数的化简、求值，其中解答中熟练应用余弦的倍角公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.

6.在ΔABC中，若，则ΔABC是（ ）

A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形

【答案】D

【解析】

试题分析：因为，所以，因此，又因为和是三角形内角，所以或者，即或，所以是等腰或直角三角形.故选D.

考点：1、二倍角公式；2、诱导公式.

7.已知，，，则，，的大小关系是

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

分析：分别判断出a，b，c的大致范围，即可比较出它们的大小.

详解：，，.

.

故选：B.

点睛：(1)比较幂、对数的大小可以利用数形结合和引入中间量利用函数单调性两种方法．

(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.

8.已知函数为偶函数，则的值可以取（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意得出，求出的表达式，然后利用赋值法可得出的一个值.

【详解】由于函数为偶函数，则，

得，当时，.

故选：C.

【点睛】本题考查利用三角函数的奇偶性求参数，考查运算求解能力，属于基础题.

9.在平行四边形中，若则四边形是（    ）

A. 菱形 B. 矩形 C. 正方形 D. 不确定

【答案】B

【解析】

【分析】

根据平面向量的加法的运算法则，可得，再结合平行四边形的性质，即可求解.

【详解】由题意，在平行四边形中，因为

根据平面向量的加法的运算法则，可得，

即平行四边形的对角线是相等的，所以该平行四边形为矩形.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算法则及其应用，其中解答中熟记向量的加法、减法的运算法则，合理运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.

10.已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

由已知条件平方相加，求得的值，进而可求的值，代入已知条件，结合辅助角公式，即可求解.

【详解】由题意，因为，

平方相加，可得，

整理得，

又因为，所以，即，

代入题设条件，可得，

所以，即，所以.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式，以及两角和与差的三角函数公式的化简、求值，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.

11.如图，在△中, ,是上的一点,若,则实数的值为(   )

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

先根据共线关系用基底表示，再根据平面向量基本定理得方程组解得实数的值.

【详解】如下图，∵三点共线，∴，∴，即,

∴①,又∵，∴，∴②，

对比①，②，由平面向量基本定理可得：．

【点睛】本题考查向量表示以及平面向量基本定理，考查基本分析求解能力.

12.已知定义在上的奇函数满足，当时，，则函数在区间上所有零点之和为（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据奇函数满足，可知其周期为，一条对称轴为，可作出函数在上图象，再作出在上的图象，根据图象知两函数关于成中心对称，所以四个零点关于成中心对称，所以零点之和为.

【详解】根据奇函数满足，可知其周期为，一条对称轴为,可由 向右平移个单位得到，在同一坐标系作出与的图象如图：

由图象可知与都关于成中心对称，所以四个零点也关于成中心对称，设从小到大四个零点为，则，所以四个零点之和为，故选D.

【点睛】本题主要考查了函数的零点，函数的图像，函数的周期性和对称性，属于难题.

二､填空题

13.已知，，则____________.

【答案】

【解析】

【分析】

由三角函数的基本关系式，化简求得，再结合正弦的倍角公式，即可求解.

【详解】由，

所以，即，所以，

又因为，所以，

又由.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式与正弦的倍角公式的化简、求值，其中解答中熟记三角函数的基本关系式和三角恒等变换的公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.

14.已知点O为△ABC内一点，+2+3=，则=_________．

【答案】3

【解析】

【分析】

可作出图形，取BC的中点D，AC的中点E，并连接OA，OB，OC，OD，OE，根据条件可以得到，从而得出DE为△ABC的中位线，这样即可得到AB＝3OE，从而便有．

【详解】解：如图，取BC中点D，AC中点E，连接OA，OB，OC，OD，OE；

∴；

∴D，O，E三点共线，即DE为△ABC的中位线；

∴DEOE，AB＝2DE；

∴AB＝3OE；

∴．

故答案为3．

【点睛】本题考查向量加法的平行四边形法则，共线向量基本定理，以及向量的数乘运算，向量数乘的几何意义，三角形中位线的定义及性质，三角形的面积公式．

15.函数的最大值与最小值的积是____________.

【答案】

【解析】

【分析】

先根据二倍角公式化简函数的解析式，进而利用正弦函数的性质求得最大值和最小值，即可得到答案.

【详解】由函数

，

根据正弦型函数的性质，可得，所以函数的最大值为，最小值为，

所以函数的最大值与最小值的积是.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式、二倍角公式，以及正弦函数的图象与性质的综合应用，着重考查了推理与运算能力.

16.中，角平分线交AB于点C.设，，，且.给出下列结论：①；②，；③，；④；⑤.其中命题一定正确的序号是______.（把你认为正确的都填上）

【答案】①④

【解析】

【分析】

由三点共线，但不确定在线段的位置，判断①成立，②、③不一定成立，

再由角平分线性质得，再结合，即可求出与之间的关系，即可求出结论.

【详解】根据三点共线的充要条件①成立，

而点在线段位置不能确定，

所以②、③不一定成立.

又，

∴，，由得，

∴，

∴即④成立⑤不成立.

故答案为:①④.

【点睛】本题考查向量基本定理、共线向量充要条件、角平分线的向量表示，属于中档题.

三､解答题(共70分)

17.已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．

【答案】（1）；（2）

【解析】

分析：先根据同角三角函数关系得，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切公式得，再利用两角差的正切公式得结果.

详解：解：（1）因为，，所以．

因为，所以，

因此，．

（2）因为为锐角，所以．

又因为，所以，

因此．

因为，所以，

因此，．

点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度

(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.

(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.

(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.

18.设是不共线的非零向量，且.

（1）证明：可以作为一组基底；

（2）以基底，求向量的分解式；

（3）若，求的值.

【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）.

【解析】

【分析】

（1）假设向量共线，则，根据相等向量的概念，列出方程，即可作出判定；

（2）根据平面向量基本定理，化简得到，列出方程组，即可求解；

（3）根据，列出方程组，即可求解.

【详解】（1）由题意，向量是不共线的非零向量，且

假设向量共线，则，即，所以，

因为向量是不共线的非零向量，所以，此时方程组无解，

所以向量一定不共线，所以向量可以作为一组基底.

（2）设，

因为，即，

所以，解得，即.

（3）因为，

且向量是不共线的非零向量，

所以，解得.

【点睛】本题主要考查了向量的基底的概念，共线向量的基本定理和平面向量的基本定理，以及向量的数乘和相等向量的概念等知识点的综合应用，着重考查了推理与运算能力.

19.已知函数．

（I）求函数最小正周期及单调递增区间．

（II）求在区间上的最大值和最小值．

【答案】（Ⅰ）最小正周期;单调递增区间为：，；

（Ⅱ）最大值为，最小值为

【解析】

试题分析：（I）利用倍角公式及两角和与差公式转化得，即可得，调递增区间为：，. （Ⅱ）由（I）知在单调递增，所以.

试题解析：

解：（I）已知函数函数．

化解可得：

∴函数的最小正周期

由，

解得：．

∴函数的单调递增区间为：，

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

当时，

可得：

所以．即

故得在区间在上的最大值为，最小值为．

【点睛】

熟记正弦、余弦、正切函数的单调区域是求较复杂的三角函数单调区间的基础.求形如 的单调区间时，只需把 看作一个整体代入 的相应单调区间内求得 的区间即可.

20.设是两个不共线的向量，已知.

（1）求证：，，三点共线；

（2）若，且，求实数的值.

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

【分析】

（1）证明，，三点共线，只需证明与共线，根据向量减法的三角形法则求出，利用向量共线定理可证.
（2）由，则，再将条件代入，由是两个不共线的向量，从而可求解.

【详解】解析（1）由已知得.

.

又与有公共点，，，三点共线

（2）由（1）可知，又，

∴可设，

，即，解得.

【点睛】本题考查向量共线定理、减法的三角形法则，考查学生分析解决问题的能力．属于基础题.

21.如图，矩形的长，宽，两点分别在轴，轴的正半轴上移动，两点在第一象限.求的最大值.

【答案】

【解析】

【分析】

过点作，垂足为，设，求得的坐标，由两点间的距离公式，结合正弦函数的性质，即可求解.

【详解】由题意，过点作，垂足为，设，

则，

所以，

所以

，

又由，可得，

所以当时，取得最大值.

【点睛】本题主要考查了函数的实际应用，其中解答中注意运用三角函数的定义和二倍角公式和正弦函数的图象与性质，着重考查了化简与运算能力，属于中档试题.

22.设函数是定义域为的奇函数；当时，．

（1）当时，求；

（2）对任意的，不等式都成立，求的取值范围．

【答案】（1）时，；（2）.

【解析】

试题分析：（1）先设，根据函数的奇偶性，有；（2）结合二次函数的性质，有，所以恒成立，所以，所以，即．

试题解析：

（1）设，则，所以；

（2）由（1）知，，所以，

因为对都成立，即，

即对恒成立，

所以，即，

所以，即，所以的取值范围为．

考点：求函数解析式；三角不等式.

【方法点晴】本题考查函数的奇偶性，三角函数的值域.第一问已知奇函数一部分的解析式求另一部分的解析式，主要原理是：求那部分就取那部分的任一个数，然后就属于已知部分的定义域，再根据奇偶性，就可以求出相应的解析式，有时候要注意.第二问是恒成立问题，由于题目含有三角函数，利用同角三角函数关系可求得，从而.