2020-2021学年湖北省荆州中学高一上学期9月月考数学试题（解析版）

2020-2021学年湖北省荆州中学高一上学期9月月考数学试题

一、单选题

1．下列各式表述正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据元素与集合的关系即可判断每个式子的正误，从而找到正确选项．

【详解】

表示集合中有一个元素是，，A错误，

表示集合中有一个元素为，，B错误，

表示自然数集，包含数，成立，C正确，

表示集合一个元素也没有，，D错误.

故选：C

【点睛】

本题考查集合的含义，以及元素与集合的关系，属于基础题.

2．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．与的关系不确定

【答案】B

【解析】整数分为奇数和偶数，由此可得答案．

【详解】

解：∵或，

且，

∴，

故选：B．

【点睛】

本题主要考查集合间的基本关系，属于基础题．

3．设，则下列不等式中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】利用不等式的基本性质和基本不等式即可求出答案．

【详解】

解：∵，

∴，，，

∴，

故选：B．

【点睛】

本题主要考查不等式的基本性质和基本不等式的应用，属于基础题．

4．集合若集合，则实数的范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】分类讨论的值，根据集合间的交集运算，确定实数的范围.

【详解】

当时，，显然不满足

当时，，不满足

当时，，因为，所以

故选：B

【点睛】

本题主要考查了根据交集运算的结果确定参数的范围，属于基础题.

5．若集合，，则能使成立的所有的集合是（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】若，即，解得时，满足成立，若，即时，要使成立，则，即，解得，此时，综上，，故选C.

6．已知，，求的最小值为（    ）

A． B． C． D．4

【答案】A

【解析】由正实数，满足，代入，再利用基本不等式的性质即可得出．

【详解】

解：正实数，满足，

则，

当且仅当时取等号．

故选：A

【点睛】

本题考查基本不等式的性质，考查乘1法则,考查推理能力与计算能力，属于基础题．

7．已知集合,则中所含元素的个数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】列举法得出集合，共含个元素．

故答案选

8．若关于的不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（ ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】试题分析：由题意得，因为，则，当且仅当，即时等号成立，又关于的不等式对任意实数恒成立，则，即，解得，故选A.

【考点】基本不等式的应用；不等式的恒成立问题.

二、多选题

9．下面关于集合的表示正确的是（    ）

①；②；

③；④

A．① B．② C．③ D．④

【答案】CD

【解析】根据集合中元素的特征，可得判定①不正确；根据集合的表示方法和集合的元素的特征，可判定②不正确；③④正确，即可得到答案.

【详解】

根据集合元素的无序性和集合的表示，可得，所以①不正确；

根据集合的表示方法，可得集合为点集，集合表示数集，

所以，所以②不正确；

根据集合的表示方法，可得集合，所以③正确；

根据集合的表示方法，可得集合，

所以，所以④是正确的.

故选：CD.

【点睛】

本题主要考查了集合的表示方法及其应用，其中解答中熟记集合的表示方法，合理推算是解答的关键，属于基础题.

10．下列四个命题中，是真命题的有（    ）

A．没有一个无理数不是实数

B．空集是任何一个集合的真子集

C．已知，则“”是“”的必要不充分条件

D．命题“对任意”的否定是“存在”

【答案】ACD

【解析】根据实数、空集的概念分别判断A、B；举反例判断C；全称命题的否定为特称命题，D正确.

【详解】

所有的无理数均是实数，A正确；

空集是任何集合的子集，B错误；

若，则，成立；可取时，，故C正确；

全称命题的否定为特称命题，D正确.

故选：ACD

【点睛】

本题考查实数的概念、空集的概念、必要不充分条件的判断、含有一个量词的命题的否定，属于基础题.

11．若，则下列不等式对一切满足条件的恒成立的有（    ）

①；②；③；④

A．① B．② C．③ D．④

【答案】ACD

【解析】①.由判断；②.由判断；③.由判断；④.由判断.

【详解】

因为，，，

所以，所以，故A正确；

因为，所以，故B错误；

因为，故C正确；

因为，故D正确.

故选：ACD

【点睛】

本题主要考查基本不等式的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.

12．设，使不等式恒成立的充分条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【解析】把不等式恒成立，即恒成立，结合基本不等式，求得的最小值为，进而结合选项，即可求解.

【详解】

因为，可得，

又由不等式恒成立，即恒成立，

因为

，当且仅当时，即时等号成立，

所以的最小值为，故，

所以结合选项，可得不等式恒成立的充分条件是和.

故选：AB.

【点睛】

本题主要考查了充分条件的判定及应用，以及利用基本不等式求最小值，其中解答中熟练应用基本不等式求得的最小值，结合选项求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.

三、填空题

13．设，，若，则实数组成的集合________.

【答案】

【解析】解出集合，由，可得出，然后分和两种情况讨论，可得出实数的值.

【详解】

，且，.

当时，则，此时成立；

当时，则，此时，

则有或，解得或.

因此，.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用集合的包含关系求参数，解题时要对含参集合分空集和非空集合两种情况讨论，考查分类讨论思想的应用，属于基础题.

14．    一元二次不等式的解集为_________．

【答案】(-2，3)

【解析】试题分析：解不等式,解得.

【考点】解一元二次不等式.

15．若集合中至多有一个元素，则实数的取值范围是________．

【答案】或

【解析】条件可转化为方程至多有一个根，然后分和两种情况讨论即可.

【详解】

因为集合中至多有一个元素

所以方程至多有一个根，

当时解得，满足题意

当时，，解得

综上：或

【点睛】

解答本题时一定要注意讨论的情况，否则就会漏解.

16．集合G关于运算满足：（1）对任意的，都有；（2）存在，对任意，都有，则称G关于运算为“融洽集”．现给出下列集合和运算：①{非负整数}，为整数的加法；②{偶数}，为整数的乘法；③{二次三项式}，为多项式的加法．其中G关于运算为“融洽集”的是________．（写出所有“融洽集”的序号）

【答案】①

【解析】根据题意对给出的集合和运算对两个条件：运算的封闭性和单位量e进行验证，分别用加法、乘法的法则判断，只有都满足时才是G关于运算⊕为“融洽集”．

【详解】

根据题意，判断给出的集合对运算是否满足条件（1）（2）即可．其中，条件（1）的含义是：集合G中任意两个元素关于运算的结果仍然是集合G的元素；条件（2）的含义是：集合G中存在元素e，它与G中任何一个元素a关于运算满足交换律，且运算结果等于a．

①中，{非负整数}，为整数的加法，满足对任意，都有，且存在，使得，所以①中的G关于运算为“融洽集”；

②中，{偶数}为整数的乘法，若存在，使，则，与矛盾，所以②中的G关于运算不是“融洽集”；

③中，{二次三项式}，为多项式的加法，两个二次三项式相加得到的可能不是二次三项式，所以③中的G关于运算不是“融洽集”．

综上，G关于运算为“融洽集”的只有①．

故答案为①

【点睛】

本题考查了学生对新定义的理解和运用能力，可结合学过的运算性质进行类比理解，比如：第一条是运算的封闭性，第二条如加法中的“0”或乘法中的“1”．

四、解答题

17．设命题，，命题，.若p、q都为真命题，求实数m的取值范围.

【答案】

【解析】先求出命题为真时，的取值范围，再取交集可得答案.

【详解】

若命题，为真命题，则，解得；

若命题，为真命题，则命题，为假命题，

即方程无实数根，

因此，，解得.

又p、q都为真命题，所以实数m的取值范围是.

【点睛】

本题考查全称命题与特称命题的真假求参数值、一元二次函数的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.

18．解关于x的不等式：.

【答案】当时，解集为或；

当时，解集为且；

当时，解集为或.

【解析】根据，结合方程两根大小的关系分类讨论,求解不等式的解集即可.

【详解】

，方程的两根分别为

（1）当时，解得：或；

（2）当时，原不等式即为，解得：

（3）当时，，解得：或

综上可知：当时，解集为或；

当时，解集为且；

当时，解集为或.

【点睛】

本题考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论思想，考查了数学运算能力.

19．已知集合其中

（1）当时，求；

（2）求使的实数的取值范围

【答案】（1）；（2）或.

【解析】（1）由交集的定义直接计算即可；

（2）分，，三种情况讨论得出.

【详解】

（1）当时，

（2）

当时，，要使，必须，此时；

当时，，使的a不存在；

当时，，要使，则，解得，

综上可得：的取值范围是或.

【点睛】

本题考查集合的交集运算，考查根据集合包含关系求参数，其中涉及一元二次不等式和分式不等式的求解，属于基础题.

20．某建筑工地要建造一批简易房，供群众临时居住，房形为长方体，高2．5米，前后墙用2．5米高的彩色钢板，两侧用2．5米高的复合钢板，两种钢板的价格都用长度来计算（即钢板的高均为2．5米，用长度乘以单价就是这块钢板的价格），每米单价：彩色钢板为450元，复合钢板为200元，房顶用其他材料建造，每平方米材料费为200元，每套房材料费控制在32000元以内．

（1）设房前面墙的长为，两侧墙的长为，一套简易房所用材料费为，试用表示．

（2）一套简易房面积的最大值是多少？当最大时，前面墙的长度是多少？

【答案】（1）；（2） ，．

【解析】试题分析：（1）依题得，根据长方体的表面积公式可知，；（2） 根据基本不等式得，解得．

试题解析：（1）依题得，根据长方体的表面积公式可知，

（2）∵，∴

又因为，所以，化简得，

解得，又，∴，

当且仅当，即时取得最大值．

答：每套简易房面积的最大值是平方米，最大时前面墙的长度是米．

【考点】数学建模能力及利用基本不等式求最值．

21．已知集合，或.

（1）当时，求；

（2）若“”是“”的充分不必要条件，且，求实数的取值范围.

【答案】（1）或；（2）.

【解析】(1)根据两个集合交集运算性质即可解得;

(2) “”是“”的充分不必要条件即，然后求解出集合B的补集，根据集合间的关系列出关于a的不等式即可解得范围.

【详解】

（1）当时，，又或，

或

（2）或，

.

由“”是“”的充分不必要条件，得，.

又，

，

即实数的取值范围是.

【点睛】

：本题考查了集合交集的运算、利用集合间的关系求解参数的范围，属于中档题目，解题中需要准确的将充分条件和必要条件的关系转化为集合间的关系.

22．设，若满足不等式的一切实数x，亦满足不等式求正实数b的取值范围.

【答案】

【解析】先化简集合,从而得到，，分别求出两个不等式中的范围即得解.

【详解】

设集合，

由题设知，则

于是得不等式组，

又，函数的最小值为；

，函数的最小值为；

，

所以b的取值范围是.

【点睛】

本题主要考查一元二次不等式的解法，考查一元二次不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.