2020-2021学年福建省龙海市第二中学高一上学期期中考试 数学

龙海二中2019—2020学年上学期期中考试

高一数学试卷

（考试时间：120分钟   总分：150分）

第I卷（选择题）

一、单选题

1．设全集，集合，则（    ）

A． B．     C．   D．

2．已知集合，则“ ”是““的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

3．已知命题：，，则是（    ）

A．，

B．，

C．，

D．，

4．已知正数a,b满足ab＝10,则a＋b的最小值是(    )

A．10 B．25 C．5 D．

5．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（       ）

A． B． C． D．

6．若定义在的偶函数f(x)在单调递增，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

7．若函数的定义域是，则函数的定义城是（    ）

A． B． C． D．

8．若函数的图像如图所示，则的图像可能是（    ）

二、多选题

9．已知，则下列结论正确的是(    )

A．  B．  C．     D．

10．下列式子不正确的是（    ）

A．                        B．

C． D．

11．下列选项正确的有（    ）

A．若x>0，则x+有最小值1

B．若x∈R，则有最大值1

C．若x>y，则x3+2xy2>y3+2x2y

D．若x<y<0，则

12．对于实数，符号表示不超过的最大整数，例如，，定义函数，则下列命题中正确的是（    ）

A． B．函数的最大值为1

C．函数的最小值为0 D．方程有无数个根

第II卷（非选择题）

三、填空题

13．函数（且）的图象必过定点，则定点坐标为_______.

14．若函数是偶函数，则______．

15.=______．.

16．若函数，满足对任意，都有成立，那么的取值范围是_____．

四、解答题

17．求函数的定义域和值域。

18．设命题：实数满足，其中，命题：实数满足．

（1）若，且p和q都是真命题，求实数的取值范围；

（2）若q是p的充分不必要条件，求实数的取值范围．

19．已知幂函数，且在上是减函数．

（1）求的解析式；

（2）若，求的取值范围．

20．已知，不等式的解集为.

（1）求实数的值；

（2）正实数满足，求的最小值.

21．为了预防某流感病毒，某学校对教室进行药熏消毒，室内每立方米空气中的含药量（单位：毫克）随时间（单位：）的变化情况如下图所示，在药物释放的过程中，与成正比：药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数），根据图中提供的信息，回答下列问题：

（1）写出从药物释放开始，与之间的函数关系式.

（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室学习，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教空？

22．已知函数是定义在R上的奇函数.

（1）求a的值；

（2）判断并证明函数的单调性，并利用结论解不等式：；

（3）是否存在实数k，使得函数在区间上的取值范围是？若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，请说明理由.

龙海二中2019—2020学年上学期期中考试

高一数学试卷

参考答案

1．C  2．A  3．B  4. D  5．A   6．D   7．D    8.  C

9．BD   10．AB    11．BCD  12．AC D

13．  14．1025    15．-4   16 ．  

17．【解析】y＝4x+2x+1+2＝（2x）2+2•2x+2＝（2x+1）2+1，则函数的定义域为R，

设t＝2x，则，则函数y＝（t+1）2+1在上单调递增，∴y＞1+1＝2，

∴函数的值域为.

18．（1）；（2）．

【解析】

【分析】

（1）若，分别求出，成立的等价条件，利用且为真，求实数的取值范围；

（2）利用是的充分不必要条件，即是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

【详解】

解：由，其中，得，，则：，．

由解得．即：．

（1）若，则：，若为真，则，同时为真，即，解得，

∴实数的取值范围．

（2）若是的充分不必要条件，即是的充分不必要条件，

∴，即，解得．

【点睛】

本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用逆否命题的等价性将是的充分不必要条件，转化为是的充分不必要条件是解决本题的关键，属于基础题.

19．（1）；（2）

【解析】

【分析】

(1)由幂函数的性质可得，，再由在上为减函数，则m+2＜0，然后，根据以上条件，求解即可.

(2)由为R上的减函数，可得，求出a的范围，

【详解】

（1）因为是幂函数，所以

即或

因为在上是减函数，所以m+2＜0，即m＜-2，则m=-3

故=.

（2）因为为R上的减函数.

所以， 解得.

本题考查幂函数的性质和单调性，注意幂函数的系数为1，难点在于利用函数的单调性转化成不等式求解，属于中等题.

20.（12分）

解：（1）由题意可知：和是方程的两个根，……………………2分

∴       ………………………………………………………………4分

解得                   ……………………………………………………5分

（2）由题意和（1）可得：，即.  ……………………………6分

∴，  ……………………………………7分

∵，∴.

∴  ………………………………………9分

当且仅当，即，时等号成立.   ………………………………11分

∴的最小值为9.        ………………………………………………………12分

21．（1） （2）

【解析】

【分析】

（1）利用函数图象经过点，分段讨论即可得出结论；

（2）利用指数函数的单调性解不等式．

【详解】

解：（1）依题意，当时，可设，且，解得

又由，解得，

所以；

（2）令，即，得，解得，

即至少需要经过后，学生才能回到教室．

【点睛】

本题主要考查分段函数的应用，考查指数不等式的解法，属于中档题．

22．（1）；（2）是R上的增函数，证明见解析；；（3）存在；实数k的取值范围是.

【解析】

【分析】

（1）根据奇函数的性质，求出a的值，再利用奇函数的定义进行验证即可；

（2）运用函数单调性的定义，结合指数函数的单调性进行判断函数的单调性，最后根据单调性的性质，通过解一元二次不等式进行求解即可；

（3）根据（2），通过函数的单调性的性质，结合换元法，一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.

【详解】

解：（1）是定义在R上的奇函数，

，从而得出，

时，，

；

（2）是R上的增函数，证明如下：

设任意，且，

，

，，，，

，

是在上是单调增函数.

，

又是定义在R上的奇函数且在上单调递增，

，

，；

（3）假设存在实数k，使之满足题意，

由（2）可得函数在上单调递增，

，

，n为方程的两个根，即方程有两个不等的实根，

令，即方程有两个不等的正根，

 于是有且且，

解得：.

存在实数k，使得函数在上的取值范围是，并且实数k的取值范围是.

【点睛】

本题考查了函数单调性的判断和性质应用，考查了奇函数的性质，考查了数学运算能力.