湖南省株洲市炎陵县2022-2023学年高一下学期6月期末数学试题

炎陵县2023年上期高一年级期末质量检测——数学

一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知集合，则(        )

A． B． C． D．

2．向量满足，且向量夹角为，则等于(        )

A． B． C． D．

3．在正方体中,分别为的中点,则异面直线与所成角的大小为(      )

A． B． C． D．

4．在空间中给出下列命题：（1）垂直于同一直线的两直线平行．（2）两条直线没有公共点，则这两条直线平行．（3）平行于同一直线的两直线平行．（4）垂直于同一平面的两直线平行．其中正确的命题个数是(      )

A．1 B．2 C．3 D．4

5．若是纯虚数，则(      )

A． B． C． D．1

6．已知与共线，且向量与向量垂直，则(      )

A． B． C． D．

7．已知函数，则(      )

A． B．1 C． D．2

8．若为锐角，且，则(      )

A． B． C． D．

二、多选题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)

9．设复数，则下列命题中正确的是(      )

A．     B．

C．在复平面上对应的点在第一象限      D．的虚部为

10．如图，四棱锥的底面为正方形，底面，则下列结论中正确的有(      )

A．

B．平面

C．与平面所成角是

D．与所成的角等于与所成的角

11．某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面ABCD中，，且，下列说法正确的是（    ）

A．该圆台轴截面面积为

B．该圆台的体积为

C．该圆台的表面积为

D．沿着该圆台表面，从点到中点的最短距离为

12．已知函数则（    ）

A．函数的最小正周期为

B．函数的图像关于直线对称

C．函数为偶函数

D．函数的图像向左平移个单位后关于轴对称，则可以为

三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)

13．已知为角α终边上一点，则=______．

14．现有一个底面半径为、高为的圆柱形铁料，若将其熔铸成一个球形实心工件，则该工件的表面积为______（损耗忽略不计）．

15．函数的最大值为__________.

16．已知垂直于矩形所在的平面，，则二面角的正切值为__________．

四、解答题(本题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17(10分)．设锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

(1)求角的大小；            (2)若，，求．

18(12分)如图,在四棱锥P－ABCD中,四边形ABCD是菱形,PA=PC,E为PB的中点．求证:

(1)平面AEC;

(2)平面AEC⊥平面PBD．

19(12分)如图，是圆柱的一条母线，是底面的一条直径，是圆上一点，且，.

(1)求直线与平面所成角的正弦值；

(2)求点到平面的距离.

20(12分)若函数在一个周期内的图象如图所示.

 (1)写出函数的解析式；

(2)求函数的单调增区间.将函数的图象向右移动个单位后，得到函数的图象，求函数在上的值域.

21(12分)如图，在平面四边形中，，，．

(1)若，求的面积；

(2)若，，求．

22(12分)已知函数，若存在实数m、k（），使得对于定义域内的任意实数x，均有成立，则称函数为“可平衡”函数；有序数对称为函数的“平衡”数对．

(1)若，求函数的“平衡”数对；

(2)若m＝1，判断是否为“可平衡”函数，并说明理由；

(3)若、，且、均为函数的“平衡”数对，求的取值范围。

参考答案

一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知集合，则(        )

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】对集合B求补集，应用集合的并运算求结果；

【详解】由，而，

所以.

故选：A

2．向量满足，且向量夹角为，则等于(        )

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由平面向量数量积的定义和模长公式求解即可.

【详解】，

故选：D.

3．在正方体中,分别为的中点,则异面直线与所成角的大小为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题易得,连接,即可得出为等边三角形,从而得出所求角的大小为60°.

【详解】如下图所示,连接

,

则异面直线与所成角为

,即为等边三角形

.

故选:C.

4．在空间中给出下列命题：（1）垂直于同一直线的两直线平行．（2）两条直线没有公共点，则这两条直线平行．（3）平行于同一直线的两直线平行．（4）垂直于同一平面的两直线平行．其中正确的命题个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】根据空间中线面位置关系的判定及性质，逐项判定，即可求解.

【详解】（1）中，在空间中，垂直于同一直线的两直线，可能平行、相交或异面，所以不正确；

（2）中，两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面，所以不正确；

（3）中，平行于同一直线的两直线平行，所以是正确的；

（4）中，根据直线与平面垂直的性质，可得垂直于同一平面的两直线平行，所以是正确．

故选：B.

5．若是纯虚数，则（    ）

A． B． C． D．1

【答案】A

【分析】化简复数z，然后根据实部为0可得.

【详解】因为是纯虚数，

所以，得.

故选：A

6．已知与共线，且向量与向量垂直，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】首先由平面向量垂直的坐标运算及得出，再由平面向量平行的坐标表示及，得出，即可求出．

【详解】因为，

所以，解得，

又因为，

所以，解得，

所以，

故选：B．

7．已知函数，则（    ）

A． B．1 C．-1 D．2

【答案】C

【分析】根据分段函数的解析式求函数值即可.

【详解】由条件可得，则.

故选：C.

8．若为锐角，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先利用同角三角函数基本关系求出，然后找出已知角与要求角之间的关系，从而直接利用两角和的余弦公式即可求解.

【详解】因为为锐角，所以，所以，

又因为，所以，

所以

.

故选：D.

二、多选题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)

9．设复数，则下列命题中正确的是（    ）

A． B．

C．在复平面上对应的点在第一象限 D．的虚部为

【答案】ABC

【分析】将复数化简整理得，依次验证A、B、C、D四个选项，可知D错误.

【详解】，知复数的虚部为1，所以选项D错误；

对于选项A，，所以选项A正确；

对于选项B，，所以选项B正确；

对于选项C，复数对应的点为在第一象限，所以选项C正确.

故选：ABC.

10．如图，四棱锥的底面为正方形，底面，则下列结论中正确的有（    ）  

A．

B．平面

C．与平面所成角是

D．与所成的角等于与所成的角

【答案】ABC

【分析】利用线面垂直的性质可判断A选项；利用线面平行的判定定理可判断B选项；利用线面角的定义可判断C选项；利用线线角的定义可判断D选项.

【详解】对于A选项，因为四边形为正方形，则，

因为平面，平面，所以，，

因为，、平面，所以，平面，

因为平面，所以，，A对；

对于B选项，因为四边形为正方形，则，

又因为平面，平面，所以，平面，B对；

对于C选项，因为平面，所以，与平面所成角是，C对；

对于D选项，因为，平面，平面，

所以，，所以，为锐角，

所以，与所成的角为直角，与所成的角为锐角，

故与所成的角不等于与所成的角，D错.

故选：ABC.

11．某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面ABCD中，，且，下列说法正确的是（    ）

 A．该圆台轴截面面积为

B．该圆台的体积为

C．该圆台的表面积为

D．沿着该圆台表面，从点到中点的最短距离为

【答案】ABD

【分析】求出圆台的高，由梯形的面积公式可判断选项A；由台体的体积公式可判断选项B；由台体的表面积公式可判断选项C；将圆台补成圆锥，侧面展开，取的中点为，连接，可判断选项D.

【详解】对于，由，且，

可得，高，

则圆台轴截面的面积为，故A正确；

对于B，圆台的体积为，故B正确；

对于C，圆台的侧面积为，又，，

所以，故C错误；

对于，由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为，底面半径为，侧面展开图的圆心角．

设的中点为，连接，可得，

则，又点到的距离，

所以沿着该圆台表面，从点到中点的最短距离为，故正确．

  故选：ABD．

12．已知函数则（    ）

A．函数的最小正周期为

B．函数的图像关于直线对称

C．函数为偶函数

D．函数的图像向左平移个单位后关于轴对称，则可以为

【答案】BD

【分析】利用最小正周期公式判断A，利用代入检验法判断B，根据偶函数的定义判断C，根据函数图象变换结论及诱导公式判断D.

【详解】对选项A：因为，所以的最小正周期为，错误；

对选项B：当时，，

所以是的一条对称轴，正确；

对选项C：易知函数的定义域为，

又，

所以函数不是偶函数，错误；

对选项D：函数的图像向左平移个单位后得到，

由题意，函数的图像关于轴对称，

所以，即，

当时，，

即函数的图像向左平移个单位后关于轴对称，则可以为，D正确.

故选：BD

三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)

13．已知为角α终边上一点，则=______．

【答案】/0.2

【分析】求出到原点的距离，利用任意角的三角函数的定义，求得，的值，再求出即可.

【详解】为角α终边上一点，，

则，，.

故答案为：

14．现有一个底面半径为、高为的圆柱形铁料，若将其熔铸成一个球形实心工件，则该工件的表面积为______（损耗忽略不计）．

【答案】

【分析】根据圆柱的体积等于球的体积求出球的半径，再根据球的表面积公式即可得解.

【详解】设球的半径为，则，解得，

所以该工件的表面积为.

故答案为：.

15．函数的最大值为__________.

【答案】

【分析】利用诱导公式和辅助角公式化简函数为，可得最大值.

【详解】，

其中，所以的最大值为.

故答案为：

16．已知垂直于矩形所在的平面，，则面角的正切值为__________．

【答案】/

【分析】过作于，连接，由二面角的定义可得为二面角的平面角，在直角三角形中，可得,，再由计算即可.

【详解】解：如图所示：

  过作于，连接，

因为平面，平面，

所以，

又因为，平面 ，

所以平面，平面，所以，

所以为二面角的平面角，

在直角三角形中，因为，

所以,，

在直角三角形中，.

故答案为：

四、解答题(本题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17(10分)设锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

(1)求角的大小；

(2)若，，求．

【答案】(1)或

(2)当时，；当时，

【分析】（1）根据已知条件，结合正弦定理，即可求解.

（2）根据角的大小，结合余弦定理，即可求得答案.

【详解】（1）因为，所以，又，所以，

因为，所以，因为，所以.

（2）因为，，，，

因为，则；

18．如图,在四棱锥P－ABCD中,四边形ABCD是菱形,PA=PC,E为PB的中点．求证:

(1)平面AEC;

(2)平面AEC⊥平面PBD．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】(1) 设,连接,根据中位线可得,再根据线面平行的判定定理即可证明;

(2)根据可得,根据四边形为菱形,可得,再根据线面垂直的判断定理可得平面,再根据面面垂直的判定定理即可得出结果.

【详解】（1）设,连接,如图所示:

因为O,E分别为,的中点,所以,

又因为平面,平面,

所以平面．

（2）连接,如图所示:

因为,为的中点,所以,

又因为四边形为菱形,所以,

因为平面,平面,且,

所以平面,又因为平面,

所以平面平面．

19．如图，是圆柱的一条母线，是底面的一条直径，是圆

上一点，且，.

(1)求直线与平面所成角的正弦值；

(2)求点到平面的距离.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用线面垂直的判定定理找到线面角，进而在直角三角形中求解；(2)作垂线找到点到平面的距离，利用等面积法求解.

【详解】（1）平面平面

是底面的一条直径,

又平面平面

所以平面

是直线与平面所成角,

因为,所以

所以

所以直线与平面所成角的正弦值为.

（2）过作,垂足为，

由(1)得平面平面

所以平面平面，

又因为平面平面,

平面,,

所以平面，

根据等面积法,

即到平面的距离等于.

20．若函数在一个周期内的图象如图所示.

  (1)写出函数的解析式；

(2)求函数的单调增区间.将函数的图象向右移动个单位后，得到函数的图象，求函数在上的值域.

【答案】(1)

(2)的增区间为，，函数的值域为

【分析】（1）根据函数的图象可得及周期，即可求出，再利用待定系数法求出即可；

（2）根据正弦函数的单调性结合整体思想即可求出函数的单调区间，根据平移变换的原则求出函数的解析式，再根据正弦函数的性质即可得解.

【详解】（1）由图可知，

则，所以，

故，

又，则，

所以，即，

又，所以，

所以；

（2）令，得，

所以的增区间为，，

由题意，

由，得，则，

所以函数在上的值域为.

21．如图，在平面四边形中，，，．

  (1)若，求的面积；

(2)若，，求．

【答案】(1)      (2)

【分析】（1）根据条件，利用余弦定理求出，再利用面积公式即可求出结果；

（2）在和中，利用正弦定理，建立等量关系和，从而得到，再化简即可得出结果.

【详解】（1）因为，，，由余弦定理得，

所以，即，解得，

所以．

（2）设，

在中，由正弦定理得，所以①，   

在中，，，

则，即②     

由①②得：，即，∴，

整理得，所以．

22．已知函数，若存在实数m、k（），使得对于定义域内的任意实数x，均有成立，则称函数为“可平衡”函数；有序数对称为函数的“平衡”数对．

(1)若，求函数的“平衡”数对；

(2)若m＝1，判断是否为“可平衡”函数，并说明理由；

(3)若、，且、均为函数的“平衡”数对，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)是

(3)

【分析】(1)根据“平衡数对”定义建立方程，根据恒成立求解即可；

(2) 时,判断是否存在使等式恒成立，利用三角函数化简求解即可；

(3)根据“平衡数对”的定义将用关于的三角函数表达,再利用三角函数的取值范围求解即可.

【详解】（1）根据题意可知,对于任意实数,,

即,即对于任意实数恒成立,

只有,,故函数的“平衡”数对为,

（2）若,则,

,

要使得为“可平衡”函数,需使对于任意实数均成立,只有,

此时,,故存在,所以是“可平衡”函数.

（3）假设存在实数，对于定义域内的任意均有

则

均为函数的“平衡”数对，

，函数单调递增，

即的取范围为