2023年山西省中考数学试卷（含解析）

这是一份2023年山西省中考数学试卷（含解析），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年山西省中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 计算(−1)×(−3)的结果为(    )
A. 3 B. 13 C. −3 D. −4
2. 全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量．图书馆是开展全民阅读的重要场所．以下是我省四个地市的图书馆标志，其文字上方的图案是轴对称图形的是(    )
A. B. C. D.
3. 下列计算正确的是(    )
A. a2·a3=a6 B. (−a3b)2=−a6b2 C. a6÷a3=a2 D. (a2)3=a6
4. 山西是全国电力外送基地，2022年山西省全年外送电量达到1464亿千瓦时，同比增长18.55％.数据1464亿千瓦时用科学记数法表示为(    )


A. 1.464×108千瓦时 B. 1464×108千瓦时
C. 1.464×1011千瓦时 D. 1.464×1012千瓦时
5. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC，BD为对角线，BD经过圆心O.若∠BAC=40°，则∠DBC的度数为(    )

A. 40° B. 50° C. 60° D. 70°
6. 一种弹簧秤最大能称不超过10 kg的物体，不挂物体时弹簧的长为12 cm，每挂重1 kg物体，弹簧伸长0.5 cm.在弹性限度内，挂重后弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)之间的函数关系式为(    )

A. y=12−0.5x B. y=12+0.5x C. y=10+0.5x D. y=0.5x
7. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点，若∠1=155°，∠2=30°，则∠3的度数为(    )


A. 45° B. 50° C. 55° D. 60°
8. 若点A(−3,a)，B(−1,b)，C(2,c)都在反比例函数y=kx (k<0)的图象上，则a，b，c的大小关系用“<”连接的结果为(    )
A. b 9. 中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线(即圆弧)，高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A，B的两条切线相交于点C，列车在从A到B行驶的过程中转角α为60°.若圆曲线的半径OA=1.5 km，则这段圆曲线AB的长为(    )


A. π4km B. π2km C. 3π4km D. 3π8km
10. 蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P，Q，M均为正六边形的顶点．若点P，Q的坐标分别为(−2 3，3)，(0,−3)，则点M的坐标为(    )


A. (3 3，−2) B. (3 3，2) C. (2,−3 3 ) D. (−2,−3 3 )
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 计算：( 6+ 3)( 6− 3)的结果为          ．
12. 如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，…依此规律，第n个图案中有          个白色圆片(用含n的代数式表示)．


13. 如图，在□ABCD中，∠D=60°.以点B为圆心，以BA的长为半径作弧交边BC于点E，连接AE.分别以点A，E为圆心，以大于12AE的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AE于点O，交边AD于点F，则OFOE的值为          ．

14. 中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．若从这四部著作中随机抽取两本(先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本)，则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是          ．


15. 如图，在四边形ABCD中，∠BCD=90°，对角线AC，BD相交于点O.若AB=AC=5，BC=6，∠ADB=2∠CBD，则AD的长为          

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题10.0分)
(1)计算：|−8|×(−12)2−(−3+5)×2−1；
(2)计算：x(x+2)+(x+1)2−4x．

17. (本小题7.0分)
解方程：1x−1+1=32x−2．

18. (本小题9.0分)
为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有20名学生报名参加选拔．报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分(满分100分)，取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按4︰4︰2的比例计算出每人的总评成绩．

小悦、小涵的三项测试成绩和总评成绩如下表，这20名学生的总评成绩频数直方图(每组含最小值，不含最大值)如下图．
选手
测试成绩/分
总评成绩/分
采访
写作
摄影
小悦
83
72
80
     78
小涵
86
84




(1)在摄影测试中，七位评委给小涵打出的分数如下：67，72，68，69，74，69，71.这组数据的中位数是________分，众数是________分，平均数是________分；
(2)请你计算小涵的总评成绩；
(3)学校决定根据总评成绩择优选拔12名小记者．试分析小悦、小涵能否入选，并说明理由．

19. (本小题9.0分)
风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞．该大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行．现有一辆自重8吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输．已知1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨，2个A部件和3个B部件的质量相等．
(1)求1个A部件和1个B部件的质量各是多少；
(2)该卡车要运输这种成套设备通过此大桥，一次最多可运输多少套这种设备．

20. (本小题8.0分)
2023年3月，水利部印发《母亲河复苏行动河湖名单(2022—2025年)》，我省境内有汾河、桑干河、洋河、清漳河、浊漳河、沁河六条河流入选．在推进实施母亲河复苏行动中，需要砌筑各种驳岸(也叫护坡).某校“综合与实践”小组的同学把“母亲河驳岸的调研与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．请根据活动报告计算BC和AB的长度(结果精确到0.1 m.参考数据： 3≈1.73， 2≈1.41 )．

课题
母亲河驳岸的调研与计算
调查方式
资料查阅、水利部门走访、实地查看了解
调查内容
功能
驳岸是用来保护河岸，阻止河岸崩塌成冲刷的构筑物
材料
所需材料为石料、混凝土等
驳岸剖面图

相关数据及说明：图中，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，AE和CD均与地面平行，岸墙AB⊥AE于点A，∠BCD=135°，∠EDC=60°，
ED=6 m，AE=1.5 m，CD=3.5 m．
计算结果
…
交流展示
…

21. (本小题7.0分)
阅读与思考
下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
瓦里尼翁平行四边形   
    我们知道，如图1，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，顺次连接E，F，G，H，得到的四边形EFGH是平行四边形．   
    我查阅了许多资料，得知这个平行四边形EFGH被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁(Varingnon,Pierre 1654−1722)是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切．     
①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形．   
②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系．   
③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半．此结论可借助图1证明如下：   
证明：    
如图2，连接AC，分别交EH，FG于点P，Q，过点D作DM⊥AC于点M，交HG于点N．
∵H，G分别为AD，CD的中点，∴HG // AC，HG=12AC.(依据1)   
∴DNNM=DGGC.∵DG=GC，∴DN=NM=12DM.   
∵四边形EFGH是瓦里尼翁平行四边形，
∴HE // GF，即HP // GQ.   
∵HG // AC，即HG // PQ，   
∴四边形HPQG是平行四边形．(依据2)
∴S◻HPQG=HG⋅MN=12HG⋅DM.   
∵S△ADC=12AC⋅DM=HG⋅DM，
∴S◻HPQG=12S△ADC.同理，…
任务：(1)填空：材料中的依据1是指：________；
依据2是指：________；
(2)请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形ABCD及它的瓦里尼翁平行四边形EFGH，使得四边形EFGH为矩形；(要求同时画出四边形ABCD的对角线)
(3)在图1中，分别连接AC，BD得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长与对角线AC，BD长度的关系，并证明你的结论．


22. (本小题12.0分)
综合与实践
问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为△ABC和△DFE，其中∠ACB=∠DEF=90°，∠A=∠D.将△ABC和△DFE按图2所示方式摆放，其中点B与点F重合(标记为点B)．
当∠ABE=∠A时，延长DE交AC于点G.试判断四边形BCGE的形状，并说明理由．

  
数学思考：(1)请你解答老师提出的问题；
深入探究：(2)老师将图2中的△DBE绕点B逆时针方向旋转，使点E落在△ABC内部，并让同学们提出新的问题．
①“善思小组”提出问题：如图3，当∠ABE=∠BAC时，过点A作AM⊥BE交BE的延长线于点M，BM与AC交于点N.试猜想线段AM和BE的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；

②“智慧小组”提出问题：如图4，当∠CBE=∠BAC时，过点A作AH⊥DE于点H，若BC=9，AC=12，求AH的长．请你思考此问题，直接写出结果．


23. (本小题13.0分)
综合与探究
如图，二次函数y=−x2+4x的图象与x轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点B(1,3)，与y轴交于点C．
(1)求直线AB的函数表达式及点C的坐标；

(2)点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点P作直线PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，设点P的横坐标为m．
①当PD=12OC时，求m的值；
②当点P在直线AB上方时，连接OP，过点B作BQ⊥x轴于点Q，BQ与OP交于点F，连接DF.设四边形FQED的面积为S，求S关于m的函数表达式，并求出S的最大值．

答案和解析

1.【答案】A 
【解析】
【分析】
根据有理数的乘法，两数相乘，同号得正，异号得负，，并把绝对值相乘，即可解答．
本题考查了有理数的乘法，解决本题的关键是熟记两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
【解答】
解：(−1)×(−3)=3．
故选A．
  
2.【答案】C 
【解析】
【分析】
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴..
【解答】
解：C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
A，B，D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以都不是轴对称图形．
故选C．  
3.【答案】D 
【解析】
【分析】
直接利用同底数幂的乘法、积的乘方、同底数幂的除法、幂的乘方分别判断，进而得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘法、积的乘方、同底数幂的除法、幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
【解答】
 解：A. a2·a3=a5，故此选项不合题意;
B.(−a3b)2=a6b2，故此选项不符合题意;
C. a6÷a3=a3，故此选项不符合题意;
D.(a2)3=a6，故此选项符合题意．
故选D．
  
4.【答案】C 
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【解答】
  解：1464亿=146400000000=1.464×1011，
  故选C．  
5.【答案】B 
【解析】
【分析】
由同弧所对圆周角相等及直角三角形的性质即可求解．
本题考查了直径所对的圆周角是直角，同圆中同弧所对的圆周角相等，直角三角形两锐角互余，掌握它们是解题的关键．
【解答】
 解：∵BC=BC，
∴∠BDC=∠BAC=40∘，
∵BD为圆的直径，
∴∠BCD=90∘，
∴∠DBC=90∘−∠BDC=50∘;
故选B．  
6.【答案】B 
【解析】
【分析】
根据题意可知，弹簧长度y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间符合一次函数关系，直接得出即可．
此题主要考查了根据实际问题列一次函数关系式，掌握y与x的函数关系是解题关键．
【解答】
  解：根据题意知，弹簧长度y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间符合一次函数关系为y=kx+12．
∵每挂重1 kg，弹簧就伸长0.5 cm，
∴该一次函数解析式为y=0.5x+12．
故选B．  
7.【答案】C 
【解析】
【分析】
利用平行线的性质及三角形的外角性质即可求解．
本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握这两个知识点是关键．
【解答】
解：如图，
∵AB//OF，
∴∠1+∠BFO=180∘，
∴∠BFO=180∘−155∘=25∘，
∵∠POF=∠2=30∘，
∴∠3=∠POF+∠BFO=30∘+25∘=55∘，
故选C．
  
8.【答案】D 
【解析】
【分析】
先根据反比例函数中k<0判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得
出结论．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象的性质是解答此题的关键．
【解答】
 解：∵反比例函数y=kx中k<0，
∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大．
∵−3<0，−1<0，
∴A(−3,a)，B(−1,b)位于第二象限，
∴a>0，b>0，
∵−3<−1<0，
∴b>a>0．
∵2>0，
∴点C(2,c)位于第四象限，
∴c<0，
∴c 故选D．  
9.【答案】B 
【解析】
【分析】
由转角α为60∘可得∠ACB=120∘，由切线的性质可得∠OAC=∠OBC=90∘，根据四边形的内角和定理可得∠AOB=360∘−∠ACB−∠OAC−∠OBC=60∘，然后根据弧长公式计算即可．
本题主要考查了圆的切线的性质、弧长公式等知识点，根据题意求得∠AOB=60∘是解答本题的关键．
【解答】
解：如图：

∵∠α=60∘，
∴∠ACB=120∘，
∵过点A，B的两条切线相交于点C，
∴∠OAC=∠OBC=90∘，
∴∠AOB=360∘−∠ACB−∠OAC−∠OBC=60∘，
∴60∘×π×1.5180∘=π2km．
故选B．  
10.【答案】A 
【解析】
【分析】
连接PF，设正六边形的边长为a，由正六边形的性质及点P的坐标可求得a的值，即可求得点M的坐标．
本题考查了坐标与图形，正六边形的性质，勾股定理，含30度角直角三角形的性质等知识，掌握这些知识是解题的关键．
【解答】
 解：连接PF，如图，设正六边形的边长为a，

∵∠ABC=120∘，
∴∠ABO=60∘，
∵∠AOB=90∘，
∴∠BAO=30∘，
∴OB=12a，OA= 3a2，
∴AC=CE= 3a，OF=OB+BF=3a2，
∵点P的坐标为(−2 3,3)，
∴3a2=3，即a=2;
∴OE=OC+CE=3 3a2=3 3，EM=2，
∴点M的坐标为(3 3,−2)．
故选A．  
11.【答案】3 
【解析】
【分析】
此题用平方差公式计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是利用平方差公式进行计算．
【解答】
 解：( 6+ 3)( 6− 3)
       = 62− 32
       =6−3
        =3
故答案为3．
         
12.【答案】(2n+2) 
【解析】
【分析】
由于第1个图案中有4个白色圆片4=2+2×1，第2个图案中有6个白色圆片6=2+2×2，第3个图案中有8个白色圆片8=2+2×3，第4个图案中有10个白色圆片10=2+2×4，⋯，可得第n(n>1)个图案中有白色圆片的总数为2+2n．
此题考查图形的变化规律，解题关键是总结归纳出图形的变化规律．
【解答】
 解：第1个图案中有4个白色圆片4=2+2×1，
第2个图案中有6个白色圆片6=2+2×2，
第3个图案中有8个白色圆片8=2+2×3，
第4个图案中有10个白色圆片10=2+2×4，
......
∴第n(n>1)个图案中有(2+2n)个白色圆片．
故答案为(2n+2)．  
13.【答案】 3 
【解析】
【分析】
证明BO⊥AE，AO=OE，∠BAO=∠FAO=60∘，再利用正切函数的定义求解即可．
本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，尺规作图一作角平分线，等边三角形的判定和性质，正切函数的定义，求得∠BAO=∠FAO=60∘是解题的关键．
【解答】
 解：∵在▱ABCD中，∠D=60∘，
∴∠ABC=60∘，AD//BC，
由作图知BP平分∠ABC，BA=BE，
∴△ABE是等边三角形，∠ABF=∠EBF=12∠ABC=30∘，
∴BO⊥AE，AO=OE，
∵AD//BC，
∴∠AFB=∠EBF=30∘，
∴∠AFB=∠ABF=30∘，
∴AB=AF，
∵BO⊥AE，
∴∠BAO=∠FAO=12×(180∘−30∘−30∘)=60∘，
∴OFOE=OFAO=tan∠FAO=tan60∘= 3，
故答案为 3．  
14.【答案】 16 
【解析】
【分析】
用树状图把所有情况列出来，即可求解．
此题考查了用树状图或列表法求概率，解题的关键是熟悉树状图或列表法，并掌握概率计算公式．
【解答】
解：画出树状图，

总共有12种组合，《论语》和《大学》的概率212=16，
故答案为16．  
15.【答案】 973 
【解析】
【分析】
过点A作AH⊥BC于点H，延长AD，BC交于点E，根据等腰三角形性质得出BH=HC=12BC=3，根据勾股定理求出AH= AC2−CH2=4，证明∠CBD=∠CED，得出DB=DE，根据等腰三角形性质得出CE=BC=6，证明CD//AH，得出CDAH=CEHE，求出CD=83，根据勾股定理求出DE= CE2+CD2= 62+(83)2=2 973，根据CD//AH，得出DEAD=CECH，即2 97AD=63，求出结果即可．
本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，平行线的判定，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质．
【解答】
解：过点A作AH⊥BC于点H，延长AD，BC交于点E，如图所示：

则∠AHC=∠AHB=90∘，
∵AB=AC=5，BC=6，
∴BH=HC=12BC=3，
∴AH= AC2−CH2=4，
∵∠ADB=∠CBD+∠CED，∠ADB=2∠CBD，
∴∠CBD=∠CED，
∴DB=DE，
∵∠BCD=90∘，
∴DC⊥BE，
∴CE=BC=6，
∴EH=CE+CH=9，
∵DC⊥BE，AH⊥BC，
∴CD//AH，
∴△ECD∽△EHA，
∴CDAH=CEHE，
即CD4=69，
解得：CD=83，
∴DE= CE2+CD2= 62+(83)2=2 973，
∵CD//AH，
∴DEAD=CECH，
即2 973AD=63，
解得：AD= 973．
故答案为 973．  
16.【答案】解：(1)原式 =8×14−2×12=2−1=1．
      (2)原式=x2+2x+x2+2x+1−4x=2x2+1．
 
【解析】(1)根据绝对值，有理数的乘方，负整数指数幂以及有理数的混合运算，可以解答本题；
(2)根据单项式乘多项式，完全平方和公式，合并同类项可以解答本题；
本题考查了实数的运算，整式的混合运算，解答本题的关键是明确它们的各自计算方法．

17.【答案】解：原方程可化为 1x−1+1=32(x−1) ．
方程两边同乘2(x−1)，得2+2(x−1)=3．
解得 x=32 ．
检验：当 x=32 时，2(x−1)≠0．
∴原方程的解是 x=32 ．
 
【解析】方程两边同时乘以2(x−1) ，则可以把方程转化为整式方程，即可求得x的值，把所求的值代入2(x−1)进行检验即可．
本题主要考查了分式方程的解法，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，注意解分式方程一定要验根．

18.【答案】(1)69；69；70；
(2)小涵的总评成绩：x=86×4+84×4+70×24+4+2=82(分)．
    答：小涵的总评成绩为82分．
(3)结论：小涵能入选，小悦不一定能入选
理由：由频数直方图可得，总评成绩不低于80分的学生有10名，总评成绩不低于70分且小于80分的学
生有6名.小涵和小悦的总评成绩分别是82分，78分，学校要选拔12名小记者，小涵的成绩在前12名，
因此小涵一定能入选;小悦的成绩不一定在前12名，因此小悦不一定能入选． 
【解析】
【分析】
(1)从小到大排序，找出中位数、众数即可，算出平均数．
(2)将采访、写作、摄影三项的测试成绩按4: 4: 2的比例计算出的总评成绩即可．
(3)小涵和小悦的总评成绩分别是82分，78分，学校要选拔12名小记者，小涵的成绩在前12名，因此
小涵一定能入选;小悦的成绩不一定在前12名，因此小悦不一定能入选．
此题考查了中位数、众数、平均数，解题的关键是熟悉相关概念．
【解答】
解：(1)从小到大排序，67，68，69，69，71，72，74，
∴中位数是69，众数是69，
平均数：67+68+69+69+71+72+747=70
故答案为：69，69，70
(2)见答案；
(3)见答案．  
19.【答案】(1)设一个A部件的质量为x吨，一个B部件的质量为y吨．
根据题意，得x+2y=2.82x=3y，解得x=1.2y=0.8．
答：一个A部件的质量为1.2吨，一个B部件的质量为0.8吨．
(2)设该卡军一次可运输m套这种设备通过此大桥．
根据题意，得(1.2+0.8×3)m+8≤30.解得m≤559．
因为m为整数，m取最大值，所以m=6．
答：该卡车一次最多可运输6套这种设备通过此大桥． 
【解析】(1)设一个A部件的质量为x吨，一个B部件的质量为y吨.，然后根据等量关系“1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨”和“2个A部件和3个B部件的质量相等”列二元一次方程组求解即可;
(2)设该卡军一次可运输m套这种设备通过此大桥.根据“载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行”列
不等式再结合m为整数求解即可．
本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用等知识点，正确列出二元一次方程组和不等式是解答本题的关键．

20.【答案】解：过点E作EF⊥CD于点F，延长AB，DC交于点H，则∠EFD=90∘．

由题意得，在Rt△EFD中，∠EDF=60∘，ED=6，sin∠EDF=EFED，cos∠EDF=FDED．
∴EF=ED⋅sin∠EDF=6×sin60∘=6× 32=3 3．
∴FD=ED⋅cos∠EDF=6×cos60∘=6×12=3．
由题意得，∠H=90∘，四边形AEFH是矩形．
∴AH=EF=3 3，HF=AE=1.5．
∵CF=CD−FD=3.5−3=0.5，
∴CH=HF−CF=1.5−0.5=1．
在Rt△BCH中，∠H=90∘，∠BCH=180∘−∠BCD=180∘−135∘=45∘．
cos∠BCH=CHBC，tan∠BCH=BHCH．
∴BC=CHcos∠BCH=1cos45∘=1 22= 2≈1.4(m)．
∴BH=CH⋅tan∠BCH=tan45∘=1，
∴AB=AH−BH=3 3−1≈3×1.73−1≈4.2(m)．
答：BC的长约为1.4m，AB的长约为4.2m． 
【解析】过点E作EF⊥CD于点F，延长AB，DC交于点H，首先根据∠EDF的三角函数值求出EF=ED⋅sin∠EDF=3 3，FD=ED⋅cos∠EDF=3，然后得到四边形AEFH是矩形，进而得到CH=HF−CF=1.5−0.5=1，然后在Rt△BCH中利用∠BCH的三角函数值求出BC=CHcos∠BCH= 2，进而求解即可．
本题是解直角三角形的应用，考查了矩形的判定与性质，解直角三角形，关键是构造适当的辅助线便于在直角三角形中求得相关线段．

21.【答案】(1)三角形中位线定理(或三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半)；平行四边形的定义(或两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形)
(2)答案不唯一，只要是对角线互相垂直的四边形，它的瓦里尼翁平行四边形即为矩形均可.例如：如图
即为所求，

(3)瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长等于四边形ABCD的两条对角线AC与BD长度的和，
  证明如下：∵点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，
∴EF=12AC，GH=12AC．
∴EF+GH=AC．
同理EH+FG=BD．
∴四边形EFGH的周长=EF+GH+EH+FG=AC+BD．
即瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长等于对角线AC与BD长度的和． 
【解析】(1)根据三角形中位线定理和平行四边形的定义解答即可;
(2)作对角线互相垂直的四边形，再顺次连接这个四边形各边中点即可;
(3)根据三角形中位线定理得瓦里尼翁平行四边形一组对边和等于四边形的一条对角线，即可得出结论．
本题考查平行四边形的判定，矩形的判定，三角形中位线，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．

22.【答案】(1)四边形BCGE为正方形.理由如下：
∵∠BED=90∘，
∴∠BEG=180∘−∠BED=90∘．
∵∠ABE=∠A，
∴AC//BE．
∴∠CGE=∠BED=90∘．
∵∠C=90∘，
∴四边形BCGE为矩形．
∵△ACB≌△DEB，
∴BC=BE．
∴矩形BCGE为正方形．
(2) ①AM=BE．
证明：∵∠ABE=∠BAC，
∴AN=BN．
∵∠C=90∘，
∴BC⊥AN．
∵AM⊥BE，即AM⊥BN，
∴S△ABN=12AN⋅BC=12BN⋅AM．
∵AN=BN，
∴BC=AM．
由(1)得BE=BC，
∴AM=BE．
 ②AH的长为275，
如图：设AB，DE的交点为M，过M作MG⊥BD于G，

∵△ACB≌△DEB，
∴BE=BC=9，DE=AC=12，AB=BD，∠BAC=∠EDB，∠ABC=∠DBE，
∴∠CBE=∠DBM;
∵∠CBE=∠BAC，
∴∠DBM=∠BAC
∴∠DBM=∠EDB，
∴MD=MB，
∵MG⊥BD，
∴点G是BD的中点;
由勾股定理得AB= AC2+BC2=15，
∴BD=AB=15，DG=12BD=152;
∵∠DGM=∠DEB=90°，∠D=∠D，
∴△DEB∽△DGM，
∴DGDE=DMBD，
∴DM=DG⋅BDDE=152×1512=758，即BM=DM=758;
∴AM=AB−BM=15−758=458;
∵AH⊥DE，BE⊥DE，∠AMH=∠BME，
∴△AMH∼△BME，
∴AHBE=AMBM=35，
∴AH=35BE=35×9=275，即AH的长为275． 
【解析】(1)先证明四边形BCGE是矩形，再由△ACB≌△DEB可得BC=BE，从而得四边形BCGE是正方形;
(2) ①由已知∠ABE=∠BAC可得AN=BN，再由等积方法S△ABN=12AN⋅BC=12BN⋅AM，再结合已知即可证明结论;
 ②设AB，DE的交点为M，过M作MG⊥BD于G，则易得MD=MB，点G是BD的中点;利用相似可求得DM的长，进而求得AM的长，利用相似三角形的性质即可求得结果．
本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识点，适当添加的辅助线、构造相似三角形是解题的关键．

23.【答案】(1)由y=−x2+4x得，当y=0时，−x2+4x=0．
解得x1=0，x2=4．
∵点A在x轴正半轴上．
∴点A的坐标为(4,0)．
设直线AB的函数表达式为y=kx+b(k≠0)．
将A，B两点的坐标(4,0)，(1,3)分别代入y=kx+b，
得4k+b=0k+b=3，
解得k=−1b=4，
∴直线AB的函数表达式为y=−x+4．
将x=0代入y=−x+4，得y=4．
∴点C的坐标为(0,4);
(2) ①解：∵点P在第一象限内二次函数y=−x2+4x的图象上，且PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点
D，其横坐标为m．
∴点P，D的坐标分别为P(m,−m2+4m)，D(m,−m+4)．
∴PE=−m2+4m，DE=−m+4，OE=m．
∵点C的坐标为(0,4)，
∴OC=4．
∵PD=12OC，
∴PD=2．
如图，当点P在直线AB上方时，PD=PE−DE=−m2+4m−(−m+4)=−m2+5m−4．

∵PD=2，
∴−m2+5m−4=2⋅
解得m1=2，m2=3．
如图2，当点P在直线AB下方时，PD=DE−PE=−m+4−(−m2+4m)=m2−5m+4．

∵PD=2，
∴m2−5m+4=2⋅
解得m=5± 172，
∵0 ∴m=5− 172．
综上所述，m的值为2或3或5− 172;
 ②如图3，由(1)得，OE=m，PE=−m2+4m，DE=−m+4．

∵BQ⊥x轴于点Q，，交OP于点F，点B的坐标为(1,3)，
∴OQ=1．
∵点P在直线AB上方，
∴EQ=m−1．
∵PE⊥x轴于点E，
∴∠OQF=∠OEP=90∘．
∴FQ//PE，
∴△FOQ∽△POE．
∴FQPE=OQOE．
∴FQ−m2+4m=1m．
∴FQ=−m2+4mm=−m+4．
∴FQ=DE．
∴四边形FQED为平行四边形．
∵PE⊥x轴，
∴四边形FQED为矩形．
∴S=EQ⋅FQ=(m−1)(−m+4)．
即S=−m2+5m−4．
S=−m2+5m−4=−(m−52)2+94
∵1 ∴当m=52时，S的最大值为94． 
【解析】(1)利用待定系数法可求得直线AB的函数表达式，再求得点C的坐标即可;
(2) ①分当点P在直线AB上方和点P在直线AB下方时，两种情况讨论，根据PD=2列一元二次方程求解即可;
 ②证明△FOQ∽△POE，推出FQ=−m+4，再证明四边形FQED为矩形，利用矩形面积公式得到二次函数的表达式，再利用二次函数的性质即可求解．
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数、一次函数、等腰三角形、矩形、勾股定理、相似三角形等知识点，第二问难度较大，需要分情况讨论，画出大致图形，用含m的代数式表示出FQ是解题的关键．