四川省内江市第六中学2023届高三下学期强化训练（二）数学（理）试卷（含答案）

四川省内江市第六中学2023届高三下学期强化训练（二）数学（理）试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则z的共轭复数(   )

A. B. C. D.

2、已知集合，则(   )

A. B. C. D.

3、已知非零向量，，，满足，则是的(   )

A.充分不必要条件  B.必要不充分条件

C.充分必要条件  D.既不充分也不必要条件

4、已知，为的导函数，则的图象大致是(   )

A.  B.

C.  D.

5、某圆台的侧面展开图如图所示，其中，，，则该圆台的体积为(   )

A. B. C. D.

6、声音是由物体振动产生的声波.我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数.音有四要素：音调、响度、音长和音色，它们都与函数及其参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利.像我们平时听到乐音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音.我们听到的声音函数是.结合上述材料及所学知识，你认为下列说法中错误的(   )

A.函数不具有奇偶性；

B.函数在区间上单调递增；

C.若某声音甲对应函数近似为，则声音甲的响度一定比纯音响度大；

D.若某声音甲对应函数近似为，则声音甲一定比纯音更低沉.

7、“冰墩墩”是2022年北京冬奥会吉祥物，在冬奥特许商品中，已知一款“冰墩墩”盲盒外包装上标注隐藏款抽中的概率为，出厂时每箱装有6个盲盒.小明买了一箱该款盲盒，他抽中个隐藏款的概率最大，则k的值为(   )

A.0 B.1 C.2 D.3

8、在锐角中，，，则BC的取值范围是(   )

A. B. C. D.

9、在四棱锥中，底面ABCD为菱形，底面ABCD，，则的重心到平面PAD的距离为(   )

A. B. C. D.

10、除以7的余数是(   )

A.0 B.1 C.2 D.3

11、设双曲线的焦距为2c，离心率为e，且a，c，成等比数列，A是E的一个顶点，F是与A不在y轴同侧的焦点，B是E的虚轴的一个端点，PQ为E的任意一条不过原点且斜率为的弦，M为PQ中点，O为坐标原点，则下列判断错误的是(   )

A.E的一条渐进线的斜率为

B.

C.(，分别为直线OM，PQ)

D.，则恒成立

12、已知两个不相等的正实数x，y满足，则下列结论一定正确的是(   )

A. B. C. D.

二、填空题

13、用秦九韶算法计算多项式当的值时，其中的值为______.

14、某校为促进拔尖人才培养开设了数学、物理、化学、生物、信息学五个学科竞赛课程，现有甲、乙、丙、丁四位同学要报名竞赛课程，由于精力和时间限制，每人只能选择其中一个学科的竞赛课程，则恰有两位同学选择数学竞赛课程的报名方法数为_____.

15、已知函数在处切线方程为，若对恒成立，则___________.

16、已知函数的部分图象如图1所示.A，B分别为图象的最高点和最低点，过A作x轴的垂线，交x轴于，点C为该部分图象与x轴的交点.将绘有该图象的纸片沿x轴折成直二面角，如图2所示，此时，则给出下列四个结论:①；②图2中，；③图2中，过线段AB的中点且与AB垂直的平面与x轴交于点C；④图2中，S是及其内部的点构成的集合，设集合，则T表示的区域的面积大于.其中所有正确结论的序号是_________.

图一 图二

三、解答题

17、①数列中，已知，对任意的p，都有，令.②函数对任意有，数列满足

，令在①，②中选取一个作为条件，求解如下问题.

（1）数列是等差数列吗?请给予证明.

（2）求数列的前n项和.

18、在某次现场招聘会上，某公司计划从甲和乙两位应聘人员中录用一位，规定从6个问题中随机抽取3个问题作答.假设甲能答对的题目有4道，乙每道题目能答对的概率为；
（1）求甲在第一次答错的情况下，第二次和第三次均答对的概率：
（2）请从期望和方差的角度分析，甲、乙谁被录用的可能性更大?

19、如图，在三棱锥中，侧面底面ABC,,是边长为2的正三角形，,E,F分别是PC,PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线l.

（1）证明：直线平面PAC.

（2）若Q在直线l上且为锐角，当时，求二面角的余弦值.

20、已知抛物线上一点到其焦点F的距离为3，A，B为抛物线C上异于原点的两点.延长AF，BF分别交抛物线C于点M，N，直线AN，BM相交于点Q

（1），求四边形ABMN

（2）证明：点Q在定直线上.

21、已知.

（1）证明：当时，在上单调递增；

（2）当时，关于x的不等式在上恒成立，求实数k的取值范围.

22、在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.

（1）求曲线C的直角坐标方程

（2）已知直线l过点，l与曲线C交于A，B两点，Q为弦AB的中点，且，求l的斜率.

23、已知函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若，，求a的取值范围.

参考答案

1、答案：A

解析：因为复数z对应的点的坐标是，所以，所以z的共轭复数.

2、答案：D

解析：因为，，故.

3、答案：B

解析：由，即，不能推出.当时，，，所以成立.综上，是的必要不充分条件.

4、答案：A

解析：因为，则.又因为，所以为奇函数，由此可排除B，D；，，说明的图像在区间上函数值存在负数，由此C不满足，故A正确.

5、答案：B

解析：

设圆台上、下底面的圆心分别为M，N，一条母线为EF，则，且的弧长为，的弧长为.所以，，所以，所以圆台的体积.

6、答案：A

解析：对A，的定义域为R，又，即为奇函数，故A错误；对B，时，，，，故，，，，在上均为增函数，故在区间上单调递增，故B正确；对C，的振幅为，，则，所以的振幅大于的振幅，故声音甲的响度一定比纯音响度大，故C正确；对D，易知的周期为，则其频率为，而的周期为，则其频率为.由，得声音甲比纯音更低沉，故D正确.

7、答案：B

解析：由题意可得小明抽中k个隐藏款的概率为，其中，.要使得最大，只需要最大，则，即，则.又因为，，则.

8、答案：B

解析：由正弦定理得，所以.因为锐角中，，所以，所以.所以，所以，即.

9、答案：C

解析：设AC与BD交于点O，以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系.则，，，，，.设平面PAD的法向量为，则，令，得.因为的重心G的坐标为，，即，所以.故点G到平面PAD的距离为.

10、答案：A

解析：因为，其中.所以.故除以7的余数是0.

11、答案：D

解析：A选项，因为a，c，成等比数列，所以，所以且，解得(负根舍)，所以，所以，即E的一条渐近线的斜率为，故A正确；B选项，不妨设F为左焦点，B为虚轴的上端点，则A为右顶点，则BF的斜率，AB的斜率，所以，所以，故B正确；C选项，，故C正确；D选项，设直线，则直线，将代入双曲线方程，得，则，.将换成，则与b的值有关，故D错误.

12、答案：C

解析：

因为，，，所以，则，即.令，则.当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；所以.对于，总有，即在上单调递增，故，即在上恒成立.所以对于，对于任意，在上取，则.所以当且x趋向于0时，趋向于无穷大；当x趋向于无穷大时，趋向于无穷大，趋向于0，故趋向于无穷大.所以的大致图像如图所示.对于，因为，，不妨设，由图象可知，，故，故错误；对于，假设成立，取，则，，显然不满足，故B错误；对于C，令，又，则，所以在上单调递增.又，则，即.又，则.因为，所以.又，在上单调递增，所以，即，故C正确.

13、答案：36

解析：.当时，，，，.

14、答案：96

解析：由题知先安排甲，乙，丙，丁四位同学的2名选择数学竞赛课程，则有:种情况.剩下2名同学在选择物理，化学，生物，信息学四个学科竞赛课程时有:①2名同学选择1个学科竞赛则有:种情况，②2名同学各选择1个学科竞赛则有种情况，所以恰有两位同学选择数学竞赛课程的报名方法数为:种情况.

15、答案：

解析：函数的导数为，可得在处切线斜率为，

所以在处切线方程为，

设，故，

由对恒成立，转化为对恒成立，则在R上为增函数.

因为，设，则，

由解得，单调递增；由解得，单调递减，

所以当时取得最小值，所以，即，

而在R上为增函数等价于在R上恒成立，即，

而此时只能，得出.

故答案为：

16、答案：，②③

解析：函数的最小正周期为.在图2中，以点O为坐标原点，，的方向分别为，轴的正方向建立如右图所示的空间直角坐标系.设点，则点，，.因为，解得，所以，，则，可得，又因为函数在附近单调递减，且，所以，，①错；因为，可得，又因为点A是函数的图象在y轴左侧距离y轴最近的最高点，则，可得，所以，，因为点C是函数在y轴右侧的第一个对称中心，所以，，可得.翻折后，则有，，，，所以，，，所以，在图2中，，②对，在图2中，线段AB的中点为，因为，则，即，③对；在图2中，设点，可得，，，，易知为锐角，则，所以，区域T是坐标平面内以点为圆心，半径为，且圆心角为的扇形及其内部，故区域T的面积，④错.

17、答案：（1）证明见解析

（2）

解析：（1）若选(1)，数列是等差数列，证明如下:因为，对任意的p，都有.令，，所以.则.又因为，所以数列是以为首项，为公差的等差数列.若选(2)，数列是等差数列，证明如下:因为函数对任意有.令，得，即，又.两式相加，得.所以，.又因为，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列.

（2）若选(1)，由(1)知，，所以.所以.若选(2)，由(1)知，，所以.所以.

18、答案：（1）

（2）甲，理由见解析

解析：（1）记“该甲自媒体平台公司第一次答错”为事件A，“该甲自媒体平台公司第二次和第三次均答对”为事件B，则，.故甲自媒体平台公司在第一次答错的的条件下，第二次和第三次均答对的概率为.

（2）设甲自媒体平台公司答对的问题数为X，则X的所有可能取值为1，2，3.，，.则X的分布列为:

可得，；设乙自媒体平台公司答对的问题数为Y，则Y的所有可能取值为0，1，2，3.

，，，.则Y的分布列为:

可得，.由，可得，甲自媒体平台公司竞标成功的可能性更大.

19、答案： (1)见解析

(2)

解析：（1）证明E,F分别是PC,PB的中点，，平面AEF

平面ABC，平面平面,，平面平面ABC，平面平面，，平面PAC.平面PAC

（2）EF是的中位线，，又，当时，，又因为故此时，以C为原点，直线CA为x轴，直线CB

为y轴，过点C且垂直于平面ABC的直线为Z轴，建立空间直角坐标系，

则，,,，，

,，令平面PAQ的法向量为，则，，令则，令平面PQB的法向量为，则，，令则，因为，所以二面角的余弦值为.

20、答案：（1）32

（2）证明见解析

解析：（1）由抛物线定义可知，，解得，即抛物线C方程为.由题意，设，，直线AM的方程.由，消去x得恒成立.由韦达定理可知:，故.因为，所以直线BN的方程为.于是，则，当且仅当，即时等号成立.所以四边形ABMN面积的最小值为32.

（2）设，，，因为A，B，M，N都在C上，所以，.因为A，N，Q三点共线，所以有，即，整理得:.同理，因为B，M，Q三点共线，可得，即.解得:.由(1)可知，，代入上式可得:，得，即点Q在定直线上.

21、答案：（1）证明见解析

（2）实数k的取值范围为

解析：（1）证明：因为，所以，因为，所以，又，所以，所以在上单调递增.

（2）当时，，即，所以，即在上恒成立.令，则，令，则.因为，所以，所以，所以在上单调递增，所以.①当，即时，在上，，即，所以在上单调递增，所以对，，即在上恒成立，符合题意；②当，即时，，又，若，则在上，，即，所以在上单调递减，所以，不合题意；若，则存在，使得，所以在上，，即，所以在上，单调递减，所以对，不合题意.综上所述，关于x的不等式在上恒成立，实数k的取值范围为.

22、答案：（1）

（2）

解析：（1）由得，，，，，即，所以曲线C的直角坐标方程为.

（2）易知直线l过点，设直线倾斜角为，则直线l的参数方程为(t为参数).代入得，易得.设A，B对应的参数分别为，，则，.故解得，则，，，l的斜率为.

23、答案：（1）

（2）

解析：（1）因为，所以.当时，原不等式转化为，不等式无解，当时，原不等式转化为，解得；当时，原不等式转化为，解得.综上所述，不等式的解集为.

（2）因为，所以恒成立等价于.当时，则，解得；当时，则，解得.综上所述，a的取值范围为.