2022-2023学年广东省湛江市雷州重点中学高一（下）第一次月考数学试卷

这是一份2022-2023学年广东省湛江市雷州重点中学高一（下）第一次月考数学试卷，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省湛江市雷州重点中学高一（下）第一次月考数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  已知集合，，，则(    )A.  B.  C.  D. 2.  (    )A.  B.  C.  D. 3.  如图，等于(    )

 A.  B.  C.  D. 4.  设为虚数单位，若复数，则复数的实部与虚部的和为(    )A.  B.  C.  D. 5.  已知，则、、的大小关系为(    )A.  B.  C.  D. 6.  在中，若为边上的中线，点在上，且，则(    )A.  B.  C.  D. 7.  函数在上的图象大致为(    )A.  B.
C.  D. 8.  在中，，为边上的动点，则的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.  已知为虚数单位，则以下四个说法中正确的是(    )A.  B. 复数的虚部为
C. 若复数为纯虚数，则 D. 10.  若，则下列不等式一定成立的是(    )A.  B.  C.  D. 11.  下列结论正确的是(    )A. 是第二象限角
B. 函数的最小正周期是
C. 若，则
D. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为12.  中，内角，，的对边分别为，，，为的面积，且，，下列选项正确的是(    )A.
B. 若，则有两解
C. 若为锐角三角形，则取值范围是
D. 若为边上的中点，则的最大值为三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.  已知为虚数单位，复数在复平面内对应的点在直线上，则的共轭复数 ______ ．14.  下列四个说法：若，则；若，则或；若，则；若，，则其中错误的是______ 填序号．15.  ______．16.  函数的最大值是______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
解答下列各题：
设向量，，求；
已知两点和，点满足，求点的坐标．18.  本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，且．
求角；
若，，求，的值．19.  本小题分
已知，．
若，求；
若与垂直，求当为何值时，？20.  本小题分
已知函数的部分图象如图所示．
求的解析式；
当时，求的最值．
21.  本小题分
为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气象仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气象观测．如图所示，，，三地位于同一水平面上，这种仪器在地进行弹射实验，观测点，两地相距米，在地听到弹射声音的时间比地晚秒．在地测得该仪器至最高点处的仰角为．
求，两地的距离；
求这种仪器的垂直弹射高度已知声音的传播速度为米秒
22.  本小题分
已知函数是定义在上的偶函数，且．
求实数、的值，并用定义法证明函数在上是增函数；
解关于的不等式．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：因为，，，
所以，
所以，
故选：．
先求集合的补集，再利用交集运算求解．
本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
 2.【答案】 【解析】解：，
故选：．
利用诱导公式把要求的式子化为，从而求得结果．
本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点，属于基础题．
 3.【答案】 【解析】解：根据题意，得；

．
故选：．
结合图形，利用向量的线性运算法则，求出运算结果．
本题考查了平面向量的线性运算问题，解题时应结合图形，利用向量的运算法则进行解答，是基础题．
 4.【答案】 【解析】解：，
故复数的实部与虚部的和为．
 故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及实部、虚部的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及实部、虚部的定义，属于基础题．
 5.【答案】 【解析】解：，，，，，，即，．
故选：．
利用指数函数与对数函数的单调性，结合中间值法判断得，再利用角的范围判断得余弦值的符号，从而进行判断即可．
本题主要考查数的大小的比较，属于基础题．
 6.【答案】 【解析】解：如图所示，

因为为边上的中线，
所以，
又点在上，且，
所以，
所以．
故选：．
利用三角形法则和平行四边形法则表示向量．
本题主要考查向量的线性运算，属于基础题．
 7.【答案】 【解析】解：因为，，
所以的定义域关于原点对称，
又，
所以为奇函数，则的图像关于原点对称，排除；
又，排除；
因为排除了选项ABC，而选项D的图像满足上述的性质，故D正确．
故选：．
先由函数奇偶性定义推得为奇函数，排除；再由排除，从而得解．
本题主要考查了函数奇偶性的判断，考查了函数图象的变换，属于基础题．
 8.【答案】 【解析】【分析】本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查运算求解能力，是中档题．
由题意画出图形，建立平面直角坐标系，再由平面向量的坐标运算求解．【解答】解：以为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，

则，，，
设，，
则，，
可得，，
的取值范围是．
故选：．  9.【答案】 【解析】解：因为，A正确；
复数的虚部为，不正确；
若，则，，不正确；
设，，所以，
，D正确．
故选：．
根据复数的运算可得，，的正误，根据复数虚部的概念可知的正误．
本题主要考查了复数的概念及性质，属于基础题．
 10.【答案】 【解析】解：当，时，满足，但，A错误；
当，时，满足，但，C错误，
，，又指数函数为增函数，
，B正确，
幂函数在上为增函数，，，D正确．
故选：．
利用举实例判断，利用指数函数的单调性判断，利用幂函数的单调性判断．
本题考查函数的单调性，属于基础题．
 11.【答案】 【解析】【分析】本题考查象限角的定义，三角函数的周期性，正余弦齐次式的计算，扇形面积公式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
逐项求解，即可判断得解．【解答】解：对于：根据象限角的范围，为第二象限角，故正确；
对于：函数的最小正周期为，故正确；
对于：若，则，故错误；
对于：若圆心角为的扇形的弧长为，利用，解得，
故该扇形的面积为，故正确．
故选ABD．  12.【答案】 【解析】【分析】本题考查了正余弦定理，三角形的面积公式，不等式的应用，向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，考查了计算能力，属于中档题．
根据即可得出，从而求出，然后即可得出；可得出，从而得出有两解，判断出B正确；根据为锐角即可得出，然后根据正弦定理可得出，从而可求出的范围，从而可判断的正误；根据条件得出，进而可得出，由余弦定理可得出，然后可得出，从而可得出，从而可求出的最大值．【解答】解：对于，因为，所以，，又，所以，A错误；
对于，若，且，则，三角形有两解，B正确；
对于，若为锐角三角形，则，，所以，，，，C正确；
对于，若为边上的中点，则，，
又，，
，，当且仅当时等号成立，
所以，所以，当且仅当时等号成立，D正确．
故选：．  13.【答案】 【解析】解：复数在复平面内对应的点在直线上，
则，即，
故，即．
故答案我：．
根据已知条件，结合复数的几何意义，求出，再结合共轭复数的定义，即可求解．
本题主要考查复数的几何意义，以及共轭复数的定义，属于基础题．
 14.【答案】 【解析】解：根据零向量的定义知正确；
时，可能不共线，错误；
时，的方向相同或相反，长度不一定相等，错误；
，不平行时，满足，得不出，错误．
故答案为：．
根据零向量的定义可判断的正误，根据向量的定义可判断的正误，根据平行向量的定义可判断的正误，根据零向量与任意向量平行可判断的正误．
本题考查了向量和零向量的定义，平行向量的定义，考查了推理能力，属于基础题．
 15.【答案】 【解析】解：．
故答案为：．
根据指数与对数的运算即可得解．
本题考查对数的运算法则的应用，是基础题．
 16.【答案】 【解析】解：，
当时，取得最大值．
故答案为：．
根据倍角公式和添加辅助角变换化简函数，再求最值即可．
本题考查三角函数的恒等变换及最值问题，属基础题．
 17.【答案】解根据题意，向量，，
则；
根据题意，设的坐标为，
和，
可得，，
由于，则有，
则有，解可得，则点的坐标为 【解析】根据题意，由向量的坐标计算公式计算可得答案；
根据题意，设的坐标为，由向量的坐标计算可得，可得关于、的方程，解可得答案．
本题考查向量的坐标计算，涉及向量的坐标，属于基础题．
 18.【答案】解：因为，
则由正弦定理得：，
即，
显然，化简可得：，
因为角为内角，
所以；
由可知，因为，，
则由余弦定理可得：，即，
解得，所以． 【解析】利用正弦定理化简即可求解；利用余弦定理化简即可求出的值，由此即可求出的值．
本题考查了解三角形问题，涉及到正余弦定理的应用，考查了学生的运算能力，属于中档题．
 19.【答案】解：，，
所以；
因为与垂直，
所以，即，
解得，
当时，，
即，
解得，
所以当时，． 【解析】根据向量模长公式即可求出结果；
根据与垂直可以求出，根据即可求出的值．
本题主要考查平面向量的数量积运算，属于中档题．
 20.【答案】解：根据函数的部分图象，可得．
由图象可知：最小正周期，．
又，
，，解得：，，
又，，
．
当时，，
当，即时．
当，即时，，
当时，的最小值是，最大值是． 【解析】根据题意，由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由特殊点的坐标求出的值，可得函数的解析式．
由题意，利用正弦函数的定义域和值域，得出结论．
本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由特殊点的坐标求出的值，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
 21.【答案】解：由题意，设，则
在地听到弹射声音的时间比地晚秒
，
在内，由余弦定理：，
即，解得．
在中，，，
米．
答：该仪器的垂直弹射高度为米． 【解析】利用在地听到弹射声音的时间比地晚秒，求出，利用余弦定理，即可求得结论；
在中，，，利用正弦函数，可得结论．
本题考查余弦定理的运用，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
 22.【答案】解：因为函数是定义在上的偶函数，
恒成立，
即，
，，
．
综上，，．
证明如下：因为，，
任取，，使得，
则，，，，
，
，
，即，
在上为增函数．
，
，
是定义在上的偶函数，
，
当时，，
结合可得在，上单调递增，
，即，
．
故不等式的解集为． 【解析】由已知结合偶函数的定义即可求解，，然后结合函数单调性的定义即可判断；
由已知结合函数的单调性及奇偶性即可求解不等式．
本题主要考查了函数的奇偶性及单调性的判断，还考查了奇偶性及单调性在不等式求解中的应用，属于中档题．