2022-2023学年广东省汕尾重点中学高二（下）期中数学试卷

2022-2023学年广东省汕尾重点中学高二（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  某商店进了一批服装，每件进价为元每件售价为元时，每天售出件在一定的范围内这批服装的售价每降低元，每天就多售出件当售价是元时，每天的利润最大．(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知，分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则椭圆的离心率为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  若复数满足是虚数单位，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  在中，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知，双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线左支上一点，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  在等比数列中，如果，，那么等于(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知抛物线的焦点为，其准线与坐标轴交于点，点为上一点，当取最小值时，点恰好在以，为焦点的双曲线上，则双曲线的实轴长等于(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知曲线，则下面结论正确的是(    )

A. 把上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
B. 把上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
C. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
D. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  下列说法正确的有(    )

A. ，
B. ，
C. 若：，，则：，
D. 若：，，则：，

10.  已知事件，，且，，则下列结论正确的是(    )

A. 如果，那么，
B. 如果与互斥，那么，
C. 如果与相互独立，那么
D. 如果与相互独立，那么，

11.  若不等式的解集是，则下列选项正确的是(    )

A.  B. 且
C.  D. 不等式的解集是

12.  已知，，则下列命题正确的是(    )

A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  关于的不等式恒成立，则的取值范围是______．

14.  若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是______ ．

15.  直线：与直线：之间的距离为______

16.  已知函数，且，，使得，则实数的取值范围是______．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
求的值．

18.  本小题分
设函数的最小正周期为，且．
求的表达式；
当时，求的单调区间及最值．

19.  本小题分
如图，在圆台中，平面过上下底面的圆心，，点在上，为的中点，．
求证：平面平面；
当时，与底面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值．

20.  本小题分
若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
解关于的不等式，其中．

21.  本小题分
已知函数．
求函数的单调递增区间；
当时，求函数的值域．

22.  本小题分
某次运动会甲、乙两名射击运动员成绩如下：
甲：，，，，，，，，，；
乙：，，，，，，，，，；
用茎叶图表示甲，乙两个成绩；
分别计算两个样本的平均数和标准差，并根据计算结果估计哪位运动员的成绩比较稳定．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：设每件售价定为元，则销售件数增加了件，每天的利润为，
则每天所获利润，
故当时，每天所获利润最大，
故售价定为每件元时，可获最大利润，
故选：．
设每件售价定为元，则销售件数增加了件，每天的利润为，根据题意列出与的函数关系，即可得出答案．
本题考查根据实际问题选择函数类型，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

2.【答案】 

【解析】解：由题意可知：，，，
直线的方程为：，
由，，则，
代入直线：，整理得：，
离心率．
故选：．
求得直线的方程：根据题意求得点坐标，代入直线方程，即可求得椭圆的离心率．
本题考查椭圆的性质，直线方程的应用，考查转化思想，属于中档题．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
利用复数的运算法则即可得出．
本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：在中，，，
，则，
则．
故选：．
求出，利用两角和差的正切公式进行转化求解即可．
本题主要考查正切值的求解，利用两角和差的正切公式进行转化求解是解决本题的关键，是基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：由双曲线的方程，可得，，即，
，，由题意，，
，
当且仅当，，共线时，等号成立．
的最小值为．
故选：．
根据双曲线的方程，求得焦点坐标，由双曲线的性质，可得，利用三角形三边关系，可得答案．
本题考查双曲线的几何性质，考查运算求解能力，属中档题．
 

6.【答案】 

【解析】解：在等比数列中，
，，，，构成等比数列，
．
故选：．
在等比数列中，，，构成等比数列，由此能求出结果．
本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据抛物线的对称性，不妨设点在第一象限，，，
如图，过点作，垂足为．
根据抛物线的定义，可得，所以，
在中，有，
因为在上单调递增，
所以，当最小时，最小，即最小，
当直线与抛物线相切时，即点为切点时，最小，最小．
由已知可得，，，，
则可设直线方程为，，
联立直线与抛物线的方程可得，．
由直线与抛物线相切，可知，
解得，舍去负值，所以，
代入可得，，此时，
所以切点．
由已知可设双曲线方程为，
因为点在双曲线上，
根据双曲线的定义可知，，
所以，双曲线的实轴长等于．
故选：．
根据抛物线的定义可得，又，可知当直线与抛物线相切时，即点为切点时，最小．设出方程，联立直线与抛物线的方程，根据，可求出的值，进而得出切点的坐标．然后根据双曲线的定义，即可得出答案．
本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，化归转化思想，属中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：把：上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，可得的图象，
再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线：的图象，
故选：．
由题意利用函数的图象变换规律，得出结论．
本题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：当时，，故选项A错误；
当时，，故选项B正确；
若：，，则：，，故选项C正确；
若：，，则：，，故选项D错误．
故选：．
利用命题的真假判断以及含有量词的命题的否定，依次判断四个选项即可．
本题考查了命题的真假判断以及含有量词的命题的否定，要掌握其否定方法：先改变量词，然后再否定结论，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查独立事件及互斥事件概率求法，考查数学运算能力，属于基础题．
根据独立、互斥事件概率计算方法计算即可．

【解答】

解：如果，那么，，对；
如果与互斥，那么，，对；
如果与相互独立，那么，错；
如果与相互独立，那么，，对．
故选ABD．

11.【答案】 

【解析】解：因为不等式的解集是，
所以和是方程的解，且，故选项A正确；
由根与系数的关系知，
所以，，故选项B正确；
又，故选项C错误；
不等式可化为，
即，解得，
所以该不等式的解集是，故选项D错误．
故选：．
根据不等式的解集判断，用表示出和，再判断选项中的命题是否正确．
本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：对于，若，则错误，反例：，，故A错误：
对于，若，则正确，故B正确；
对于，若，则错误，反例：，，故C错误；
对于，若，则正确，故D正确，
故选：．
根据互为相反数的两个数的平方相等，对各选项分析判断利用排除法求解即可．
本题考查不等式性质，考查基本判断能力，属于基础题，熟记概念是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意可得，得，
则原不等式可转化为在上恒成立，
设直线：，上半圆：，即，半径为，
则由点线距离公式可知，表示上半圆上任意一点到直线的距离小于或等于，且直线：过定点，如图，

设圆心原点到直线的距离为，由于上半圆上的点到直线的最大距离为，
所以，即，即，解得或，
所以的取值范围为．
故答案为：．
先由题设条件求得，再将不等式转化为上半圆上任意一点到直线的距离小于或等于，结合图像，可得，由此可得的取值范围．
本题考查不等式的恒成立问题，考查直线与圆的综合运用，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于中档题．
 

14.【答案】 

【解析】解：关于的不等式的解集为，
，
解得，
即的取值范围为．
故答案为：．
利用一元二次不等式的解法即可得到，从而求出的取值范围．
本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：直线：与直线：，即为之间的距离为，
故答案为：．
先把直线方程中、的系数化为相同的，再利用两条平行直线间的距离公式即可求出．
本题考查了两平行线之间的距离公式，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：依题意，，
即函数在上的值域是函数在上的值域的子集．
因为在上的值域为或，
在上的值域为，
故或，
解得
故答案为：．
根据条件转化为函数在上的值域是函数在上的值域的子集；分别求值域即可得到结论．
本题考查分段函数的图象与性质，考查数学运算能力以及函数与方程思想．
 

17.【答案】解：原式



． 

【解析】由同角三角函数的关系，结合两角差的正弦公式求解即可．
本题考查了同角三角函数的关系，重点考查了两角差的正弦公式，属基础题．
 

18.【答案】解：由题意，函数的最小正周期为，
可得最小正周期，解得，
又由，
因为，所以，
所以函数的解析式为；
由知，，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
令，解得，
令，解得，
令，可得在上单调递增；在上单调递减，
又因为，
所以的最大值为，最小值为． 

【解析】由正弦型函数最小正周期求得，再由，求得，即可求解；
由，结合余弦型函数的图象与性质，接口求得函数的单调区间和最值．
本题主要考查了余弦函数的图像和性质，属于中档题．
 

19.【答案】证明：在中，为中点，，
在圆台中，底面，，
，，平面，
平面，
又平面，平面平面，
当时，，故分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系如图：
设，则，，，
故，，
所在平面的法向量为
记与底面所成角为，
则，解得，
，，
设平面的法向量为，
由，，得，
令，则，，即，
平面的法向量为，记二面角的大小为，
则，
则二面角的余弦值为． 

【解析】根据面面垂直的判定定理进行证明即可．
建立坐标系求出平面的法向量，先根据线面角的值求出圆台的高，然后求出两个平面的法向量，利用向量法进行求解即可．
本题主要考查空间面面垂直的判定以及线面角，二面角的求解，建立坐标系求出平面的法向量，利用向量法进行求解是解决本题的关键，是中档题．
 

20.【答案】解：不等式化为，
由知，，
化简得，解得，
所以实数的取值范围是；
时，不等式化为，且，
解得或，
所以不等式的解集为或；
时，不等式化为，
解得，
所以不等式的解集为；
时，不等式化为，且，
解得，
所以不等式的解集为．
综上知，时，不等式的解集为或；
时，不等式的解集为；
时，不等式的解集为． 

【解析】利用列不等式求出实数的取值范围；
讨论、和，分别求出对应不等式的解集．
本题考查了不等式恒成立问题和含有字母系数的不等式解法与应用问题，是基础题．
 

21.【答案】解：．
令，解得，
所以的单调递增区间为．
当时，，则，
所以的值域为． 

【解析】本题考查三角恒等变换，三角函数的图象与性质，属于基础题．
利用二倍角公式，辅助角公式化简，再结合的单调增区间求的单调递增区间；
先求出的范围，再求值域．
 

22.【答案】解：如图所示，茎表示成绩的整数环数，叶表示小数点后的数字．

解：
，



因为，这说明了甲运动员的波动大于乙运动员的波动，
所以我们估计，乙运动员比较稳定． 

【解析】用茎表示成绩的整数环数，叶表示小数点后的数字，画出茎叶图表示甲，乙两个人的成绩；
利用平均值公式及标准差公式求出两个样本的平均数和标准差，根据标准差越大，波动越大，得到乙运动员的成绩比较稳定．
本题考查茎叶图，考查根据样本数据的平均数、方差来确定数据的平均程度及样本数据稳定性情况，属于基础题．