2022-2023学年广东省佛山市顺德区重点学校高一（下）期中数学试卷

2022-2023学年广东省佛山市顺德区重点学校高一（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若角的终边经过点，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知，是夹角为的单位向量，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图所示，一力作用在小车上，其中力的大小为，方向与水平面成角．当小车向前运动时，则力做的功为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  要得到函数的图象，只需将函数的图象(    )

A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位
C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位

5.  已知非零向量，满足且，则与的夹角为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  的一段图象如图，则其解析式为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，正方形中，是的中点，若，则(    )

 

A.  B.  C.  D.

8.  在中，角，，所对的边分别为，，，若为锐角三角形，且满足，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  下列各组向量中，可以作为基底的是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

10.  在中，下列命题正确的是(    )

A.
B.
C. ，则为钝角三角形
D. 点为的内一点，且，则为等边三角形

11.  已知函数，则(    )

A. 的最小正周期为
B. 是曲线的一个对称中心
C. 是曲线的一条对称轴
D. 在区间上单调递增

12.  已知函数，且在区间上单调递减，则下列结论正确的有(    )

A. 的最小正周期是
B. 若，则
C. 若恒成立，则满足条件的有且仅有个
D. 若，则的取值范围是

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  非零向量，，若与共线，则 ______ ．

14.  已知，是第三象限角，则的值为______ ．

15.  已知函数的最小正周期为，其图象关于直线对称，则 ______ ．

16.  如图，在四边形中，，，，且，，则实数的值为          ，若，是线段上的动点，且，则的最小值为          ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知，求下列各式的值．
；
 

18.  本小题分
已知的三个内角，，所对的边分别为，，，．
求；
设，，求．

19.  本小题分
已知函数．
求的值和的最小正周期；
若，求函数的值域．

20.  本小题分
已知，．
若向量与的夹角为，求及在上的投影；
若向量与与向量垂直，求向量与的夹角．

21.  本小题分
如图，在直角梯形中，，，，为上靠近的三等分点，交于，为线段上的一个动点．
用和表示；
求；
设，求的取值范围．

22.  本小题分
从秦朝统一全国币制到清朝末年，圆形方孔铜钱简称“孔方兄”是我国使用时间长达两千多年的货币如图，这是一枚清朝同治年间的铜钱，其边框是由大小不等的两同心圆围成的，内嵌正方形孔的中心与同心圆圆心重合，正方形外部，圆框内部刻有四个字“同治重室”某模具厂计划仿制这样的铜钱作为纪念品，其小圆内部图纸设计如图所示，小圆直径厘米，内嵌一个大正方形孔，四周是四个全等的小正方形边长比孔的边长小，每个正方形有两个顶点在圆周上，另两个顶点在孔边上，四个小正方形内用于刻铜线上的字设，五个正方形的面积和为．
求面积关于的函数表达式，并求定义域；
求面积的最小值及此时的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：角的终边经过点，
则．
故选：．
根据已知条件，结合三角函数的定义，即可求解．
本题主要考查三角函数的定义，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：由题意，，，

．
故选：．
根据数量积的性质，将转化为来计算，代入已知向量的模及夹角，即可求解．
本题考查平面向量数量积的性质，属基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：力做的功为．
故选：．
根据力做功公式，计算即可．
本题考查了平面向量的数量积计算问题，是基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：因为，
而，
所以将向右平移个单位即可得图象．
故选：．
根据图象的平移变换左加右减法则得出结果即可．
本题主要考查了三角函数的图象变换，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：设与的夹角为因为满足，
所以．
又，所以又，所以．
故选：．
利用向量的垂直关系，结合向量的数量积，转化求解即可．
本题主要考查向量的数量积，向量的夹角，是基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，
根据图象可得函数最大值为，则，
点对应五点作图的第三个点，
则，，
则函数的解析式为：
故选：．
根据图象可确定周期，从而求出；观察最高点和最低点可确定，再根据五点法确定．
本题考查三角函数的图象，根据图象确定解析式，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】

考查向量加法、减法，及数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，相等向量的概念，平面向量基本定理，属于基础题．
根据向量加法、减法及数乘的几何意义便可得出，代入并进行向量的数乘运算便可得出，而，这样根据平面向量基本定理即可得出关于，的方程组，解出，便可得出的值．

【解答】

解：，，；


；
由平面向量基本定理得：；
解得；
．
故选：．

8.【答案】 

【解析】解：，
由正弦定理得，，可得：，
可得：，
由和差化积公式得，代入上式得，，
，
，即，
在中，，得，则，
为锐角三角形，
，
解得：，则：，
，
由得，，则，
取值范围是，
故选：．
根据正弦定理化简已知式子，由二倍角的余弦公式变形、和差化积公式和诱导公式化简后，由内角的范围和正弦函数的性质求出与关系，由锐角三角形的条件求出的范围，利用商得关系、两角差的正弦公式化简所求的式子，由正弦函数的性质求出所求式子的取值范围．
本题是综合题，考查了正弦定理，三角恒等变换中公式，以及正弦函数的性质，涉及知识点多、公式多，综合性强，考查化简、变形能力，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查向量共线的坐标运算，考查基底的定义，属于基础题．
利用基底的定义，判断两个向量是否共线，即可得到结果．

【解答】

解：， 与不共线，A正确，
，与共线，B错误，
，与共线，C错误，
，与不共线，D正确，
故选：．

10.【答案】 

【解析】解：对于，，故A错误；
对于，，故B正确；
对于，，，为钝角，故C正确；
对于，，，
，为等腰三角形，故D错误．
故选：．
利用平面向量加法法则、平面向量数量积的定义逐一判断选项即可．
本题考查命题真假的判断，平面向量加法法则，平面向量数量积等你基础知识，还考查了运算能力，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
：，A正确；
：因为为函数的最小值，故不是函数的对称中心，但是函数的对称轴，B错误，C正确；
：令，则，故函数在上单调递增，D正确．
故选：．
先利用二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质检验各选项即可判断．
本题主要考查了二倍角公式，辅助角公式的应用，还考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：对于，因为函数在区间上单调递减，所以，
所以的最小正周期，即的最小正周期的最小值为，故A错误；
对于，因为，所以的图像关于点对称，所以，故B正确；
对于，若恒成立，则为函数的周期或周期的倍数，
所以，所以，因为，所以，
又，所以，所以，即满足条件的有且仅有个，故C正确；
对于，由题意可知为单调递增区间的子集，
所以，其中，解得，，
当时，，当时，，
故的取值范围是，故D正确．
故选：．
利用单调区间长度不超过周期的一半，求出周期范围可判断，根据中心对称即可求值，可判断；由周期的范围求出的范围，利用函数平移求出周期，可判断；结合已知单调区间得出范围后可判断．
本题考查三角函数的综合，考查学生的综合能力，属中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：非零向量，，与共线，
则，
故．
故答案为：．
根据已知条件，结合向量共线的性质，即可求解．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：因为，是第三象限角，
则，
所以．
故答案为：．
由已知结合同角基本关系即可求解．
本题主要考查了同角基本关系的应用，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：函数的最小正周期，
，，又的图象关于直线对称，
，，
，，又，
，
，
．
故答案为：．
先根据题意及三角函数的性质求出函数的解析式，再计算，即可得解．
本题考查三角函数的性质，化归转化思想，属基础题．
 

16.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了向量在几何中的应用，考查了向量的共线和向量的数量积，以及二次函数的性质，属于中档题．
以为原点，以为轴建立如图所示的直角坐标系，根据向量的平行和向量的数量积即可求出点的坐标，即可求出的值，再设出点，的坐标，根据向量的数量积可得关于的二次函数，根据二次函数的性质即可求出最小值．
【解答】
解：以为原点，以为轴建立如图所示的直角坐标系，

，，
，
，
，
，
，
设，
，，
，解得，
，
，，
，
，
，
设，则，其中，
，，
，
当时取得最小值，最小值为，
故答案为：；．  

17.【答案】解：因为，
；
． 

【解析】由已知结合诱导公式及同角基本关系进行化简即可求解．
本题主要考查了诱导公式，同角基本关系在三角化简求值中的应用，属于基础题．
 

18.【答案】解：由正弦定理得，
因为，
所以，
又因为，，
所以，
又，
所以．
由余弦定理，，
可得，解得． 

【解析】本题考查正弦定理及余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
由正弦定理，三角函数恒等变换化简已知等式可得，结合，可求的值．
由已知利用余弦定理即可解得的值．
 

19.【答案】解：


，
，
的最小正周期；
由知，
又，，
，
故函数的值域为． 

【解析】先恒过三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再根据三角函数的性质，即可分别求解；
根据三角函数的性质，化归转化，即可求解．
本题考查三角函数的性质，三角恒等变换，化归转化思想，属中档题．
 

20.【答案】解：向量与向量的夹角为，
由；
在方向上的投影为；
由向量与向量垂直，即，

则，
可得，
，
故得向量与的夹角为． 

【解析】由，即可求解；根据在方向上的投影为即可得答案；
由向量与向量垂直，，即可求解向量与的夹角．
本题考查向量的数量积的运算，向量的垂直应用，考查计算能力．属于基础题．
 

21.【答案】解：依题意，，
，
．
设，则，
，，三点共线，，则，
，．
由已知，
因是线段上动点，则令，
则，
又不共线，
则有，，，，
在上递增，
当时，取得最小值为，
当时，取得最大值为，
故的取值范围是． 

【解析】利用平面向量基本定理求解即可．
利用三点，，共线，求解即可．
先得到，，再对比得到，再利用二次函数求最值即可．
本题考查了平面向量基本定理，三点共线性质的应用，二次函数求最值，考查了学生的运算转化能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：过点分别作小正方形边，大正方形边的垂线，垂足分别为，，

因为内嵌一个大正方形孔的中心与同心圆圆心重合，
所以点，分别为小正方形和大正方形边的中点，
所以小正方形的边长为，
大正方形的边长为，
所以五个正方形的面积和为，
因为小正方形边长小于内嵌一个大正方形的边长，
所以，，，
所以的取值范围为，；

，

，其中，，
所以，此时，
因为，所以，
所以，
所以，
则，化简得：，
由此解得：，
因为，所以． 

【解析】过点分别作小正方形边，大正方形边的垂线，垂足分别为，，求出小正方形的边长，大正方形的边长，推出五个正方形的面积和的表达式，然后求解的取值范围为，其中；
利用两角和与差的三角函数化简的表达式，利用三角函数有界性，求解最值即可．
本题考查函数的实际应用，三角函数的有界性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．