2022-2023学年湖北省部分省级示范高中高一（下）期中数学试卷

2022-2023学年湖北省部分省级示范高中高一（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  设复数满足，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  最接近(    )

A.  B.  C.  D.

4.  关于向量，下列说法中，正确的是(    )

A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则

5.  已知一个足球场地呈南北走向在一次进攻时，某运动员从点处开始带球沿正北方向行进米到达处，再转向北偏东方向行进了米到达处，然后起脚射门，则，两点的距离为(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

6.  已知向量，满足，则在方向上的投影向量为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知，则(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知锐角，，，则边上的高的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  若复数为虚数单位，则下列结论正确的是(    )

A.  B. 的虚部为 C. 为纯虚数 D.

10.  已知函数，则下列说法正确的是(    )

A. 函数的一个周期为
B. 直线是的一条对称轴
C. 点是的一个对称中心
D. 在区间上单调递减

11.  已知中，角，，的对边分别为，，，且，则下列说法正确的是(    )

A.
B. 若的面积为，则的最小值为
C. 若，，则的面积为
D. 若，，则满足条件的有且仅有一个

12.  在中，，，分别是边，，中点，下列说法正确的是(    )

A.
B.
C. 若，则是在方向上的投影向量
D. 若点是线段上的动点，且，则的最大值为

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知向量，，则 ______ ．

14.  若复数的虚部小于，且，则 ______ ．

15.  将函数的图象上每个点的横坐标扩大为原来的两倍纵坐标保持不变，再向左平移个单位长度后得到函数的图象，则函数在上的单调递减区间为______ ．

16.  已知点，是函数图象上的任意两点，角的终边经过点，且当时，的最小值为若，不等式恒成立，则实数的取值范围是______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知复数，．
计算．
若，且复数的实部为复数的虚部，求复数．

18.  本小题分
已知向量，．
若，求的值；
若，求与的夹角的余弦值．

19.  本小题分
在中，角，，对边分别为，，，且，．
求；
若，边上中线，求的面积．

20.  本小题分
如图已知中，点在线段上，且，延长到，使设，．
用，表示向量，；
若向量与共线，求的值．

21.  本小题分
已知函数．
若点是函数图象的一个对称中心，且，求函数在上的值域；
若函数在上单调递增，求实数的取值范围．

22.  本小题分
已知向量，，函数，，．
当时，求的值；
若的最小值为，求实数的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为，
所以．
故选：．
由已知利用同角三角函数基本关系式即可求解．
本题考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
则，
故．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，复数模公式，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
其中为第三象限角，且当为第三象限角时，，
其中，又，
而较，离更近，
综上，最接近．
故选：．
先利用诱导公式得到，从而利用特殊角的三角函数值，判断出答案．
本题主要考查了三角函数值符号的判断，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：对于，若，则，的模长相等，但方向不一定相同，故A错误；
对于，向量模长可以比较大小，但向量不能比较大小，故B错误；
对于，若，则向量，互为相反向量，则，则C正确；
对于，若，则向量，方向相同或相反，故D错误．
故选：．
利用向量的模、相等向量、相反向量、共线向量等相关概念进行判断．
本题主要考查向量的模、相等向量、相反向量、共线向量等相关概念，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图，根据题意可知，，，，
由余弦定理可得：，
解得，米，
故选：．
根据条件作出示意图，利用余弦定理求解．
本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：由已知条件得：，即，
又在方向上的投影向量为．
故选：．
根据向量的数量积运算，对两边同时平方得到，再由投影向量的定义即可求解．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：因为，
则．
故选：．
由已知利用二倍角的余弦公式化简所求即可求解．
本题考查了二倍角的余弦公式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：因为为锐角三角形，，设边上的高为，
所以，解得
由正弦定理可得，
所以，，因为，
所以

因为，所以，所以，
所以，
所以边上的高的取值范围为．
故选：．
设边上的高为，根据题意得，再结合条件得，再分析求值域即可．
本题考查解三角形问题，正弦定理的应用，函数思想，属中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
对于，，A正确；
对于，由虚部定义知：的虚部为，B正确；
对于，为纯虚数，C正确；
对于，由共轭复数定义知：，D错误．
故选：．
根据复数模长、虚部定义、乘方运算和共轭复数定义依次判断各个选项即可．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：对于，，所以最小正周期，A正确；
对于，将代入函数解析式得：，
所以是一条对称轴， B正确；
对于，因为可以看作是函数向上平移个单位后的函数，
所以对称中心的纵坐标不可能是，C错误；
对于，当时，则，
而正弦函数在上单调递减，
所以在区间上单调递减，D正确．
故选：．
对应的性质逐项分析即可．
本题考查三角函数的性质，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
由正弦定理得，即，
对于：由余弦定理得，
，，故A错误；
对于：由题意得，，
由余弦定理得，
，当且仅当时等号成立，故的最小值为，故B正确；
对于：由题意得，由正弦定理得，
，
的面积，故C正确；
对于：由余弦定理得，即，
，解得或，故D错误．
故选：．
由正、余弦定理及已知得，再根据选项综合应用正、余弦定理和三角形面积公式求解，即可得出答案．
本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图所示：

对于，，故A错误；
对于，

，故B正确；
对于，分别为平行于的单位向量，
由平面向量加法可知：为的平分线表示的向量，
，为的平分线，
为的中点，，
在的投影为，
则是在方向上的投影向量，故C错误；
对于，如图所示：

在上，即，，三点共线，
设，，
，，
，，
令，
当时，取得最大值，故D正确．
故选：．
利用平面向量的加减法运算即可判断，；由题中条件得到为的平分线，从而得到，再由平面向量的投影的概念即可判断；先由，，三点共线，设，，再由已知得到，从而得到即可判断．
本题主要考查平面向量的加法、减法的几何意义，数形结合为解决本题的关键，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：因为，，
则，
因此，．
故答案为：．
求出向量的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得的值．
本题考查平面向量的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：设，，，且，，
，，，，
．
故答案为：．
设出复数的代数形式，由建立方程组，求出复数，再由复数运算即可求解．
本题考查复数的概念及其运算，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：将函数的图象上每个点的横坐标扩大为原来的两倍纵坐标保持不变，
可得的图象；
再向左平移个单位长度后得到函数的图象．
令，，则，，
所以的减区间为，．
则函数在上的单调递减区间为．
故答案为：．
由题意，利用函数的图象变换规律，求得的解析式，再根据正弦函数的单调性，得出结论．
本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：由于函数图象上的任意两点，角的终边经过点，
所以，故，
当时，的最小值为．
所以函数的最小正周期为：，
解得．
所以函数
由于，
所以，
于是，
由于，不等式恒成立，
所以，
当取最大值时，的最大值为，
故的取值范围为，
故答案为：．
首先利用正弦型函数的性质的应用求出函数的关系式，最后利用恒成立问题的应用求出参数的取值范围．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，恒成立问题的应用，参数的取范围的确定，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

17.【答案】解：由题意，复数，，
可得；
设，
因为，所以，
由复数，
所以复数的虚部为，
又因为复数的实部为复数的虚部，所以，
又由，解得，所以或． 

【解析】由复数的乘法运算法则，即可求解；
设，由和，根据题意求得，的值，即可求得复数．
本题主要考查复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题．
 

18.【答案】解：因为，所以，
即，所以或．
若，则若，即，
所以，
所以，即．
所以，，，
． 

【解析】由题意，利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，计算求得的值．
由题意，利用两个向量垂直的性质求出的值，再利用两个向量夹角公式，求得结果．
本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，两个向量夹角公式，属于基础题．
 

19.【答案】解：由正弦定理得，
因为，所以得，
所以，即，
因为，故，；
在和中，，
因为，，则，
因为，所以，
所以． 

【解析】由正弦定理和已知可得，利用三角函数的平方关系可得答案；
在和中，由余弦定理可得，，求出代入三角形面积公式可得答案．
本题考查正余弦定理，考查三角形的面积公式，考查运算求解能力，属中档题．
 

20.【答案】解：根据题意知，为边的中点，，，且，
，，
，
；
，且，向量与共线，
存在实数，使，即，
，解得． 

【解析】根据条件知为边的中点，从而得出，且得出，然后即可得出，然后根据向量加法和减法的几何意义即可得出，；
根据共线向量基本定理可得出，然后根据平面向量基本定理即可得出的值．
本题考查了共线向量和平面向量基本定理，向量加法、减法和数乘的几何意义，向量的数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．
 

21.【答案】解：由题意得：，，，．
，，，
，，
，
故函数在上的值域为．
令，
解得，
函数在上单调递增，
，，
，即，
又，，
，，
，即的取值范围为． 

【解析】由题意利用正弦函数的图象的对称性求得，可得函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，得出结论．
由题意利用正弦函数的单调性，求出实数的取值范围．
本题主要考查正弦函数的图象的对称性，正弦函数的定义域和值域，正弦函数的单调性，属于中档题．
 

22.【答案】解：因为，
所以，
，

当时，，
有；
因为，所以，
则，
令，则，
则，函数图象开口向上，对称轴，
当，即时，在上单调递增，
当时，函数取得最小值，此时最小值，解得舍去；
当，即时，
当时，函数取得最小值，此时最小值，
解得，或舍去；
当，即时，在上单调递减，
当时，函数取得最小值，此时最小值，解得舍去．
综上可知，若的最小值为，则实数． 

【解析】先根据向量的坐标表示求出．
根据写出的表达式，再求的值；
根据，写出的表达式并利用余弦二倍角公式化为关于的三角函数，再利用换元法将问题转化为求二次函数已知定区间上的最小值求参数问题，再利用分类讨论求解．
本题考查了平面向量和三角函数的综合应用，属于中档题．