2022-2023学年江西省吉安市永新县重点中学高二（下）期中数学试卷

这是一份2022-2023学年江西省吉安市永新县重点中学高二（下）期中数学试卷，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江西省吉安市永新县重点中学高二（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  数列，，，，，则是该数列的(    )A. 第项 B. 第项 C. 第项 D. 第项2.  某种细菌在生长过程中，每分钟分裂一次由一个分裂为两个，经过小时后，此细菌可由一个分裂成(    )A. 个 B. 个 C. 个 D. 个3.  周髀算经中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为尺，前九个节气日影长之和为尺，则立夏日影长为(    )A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺4.  设袋子中有个同样大小的球，其中有个红球，个白球，今从中任取个球，令“任取的个球中红球的个数”，则(    )A.  B.  C.  D. 5.  已知数列是等差数列，且，则其前七项和(    )A.  B.  C.  D. 6.  学校安排元旦晚会的个舞蹈节目和个音乐节目的演出顺序，要求个音乐节目要连排，且都不能在第一个演出，则不同的排法种数是(    )A.  B.  C.  D. 7.  已知数列的各项均为正数，若对于任意的正整数，总有，且，则(    )A.  B.  C.  D. 8.  设等差数列的前项和为，已知，，是方程的两根，则能使成立的的最大值为(    )A.  B.  C.  D. 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.  以下列说法中正确的是(    )A. 回归直线至少经过点，，，中的一个点
B. 相关系数的绝对值越接近，两个随机变量的线性相关越强
C. 已知随机变量服从二项分布，若，，则
D. 设服从正态分布，若，则10.  在研究某品牌汽车的使用年限单位：年与残值单位：万元之间的关系时，根据调研数据得到如下的对应值表： 利用最小二乘法，得到回归直线方程为，下列说法正确的是(    )A. 与的样本相关系数
B. 回归直线必过点
C.
D. 预测该品牌汽车使用年后，残值约为万元11.  公差为的等差数列，其前项和为，，，下列说法正确的有(    )A.  B.  C. 中最大 D. 12.  带有编号、、、、的五个球，则(    )A. 全部投入个不同的盒子里，共有种放法
B. 放进不同的个盒子里，每盒至少一个，共有种放法
C. 将其中的个球投入个盒子里的一个另一个球不投入，共有种放法
D. 全部投入个不同的盒子里，没有空盒，共有种不同的放法三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.  设随机变量的概率分布，则 ______ ．14.  已知三数，，成等比数列，则______．15.  已知的展开式中含项的系数为，则        ．16.  数列与均为等差数列，其前项和分别为与，若，则 ______ ，使得为整数的值个数______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
已知各项均为正数的数列满足，数列满足，，．
求证：数列是等比数列；
求数列的通项公式．18.  本小题分
已知数列的前项和为．
求的通项公式；
若数列，求数列前项和．19.  本小题分
已知数列的前项和为，且．
求的通项公式；
设，求数列的前项和．20.  本小题分
年月日至月日，北京冬奥会即第届冬季奥林匹克运动会在北京和张家口举行．某研究机构为了解大学生对冰壶运动是否有兴趣，从某大学随机抽取了人进行调查，经统计男生与女生的人数之比是：，对冰壶运动有兴趣的人数占总数的，女生中有人对冰壶运动没有兴趣．
完成下面列联表，并判断是否有的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关？ 有兴趣没有兴趣合计男   女  合计  按性别用分层抽样的方法从对冰壶运动有兴趣的学生中抽取人，若从这人中随机选出人作为冰壶运动的宣传员，求选出的人中至少有一位是女生的概率．
附：． 21.  本小题分
甲、乙两人参加两个项目的对抗赛，每一个项目的对抗赛均采取五局三胜制即有一方先胜局即获胜，比赛结束，且每个项目每一局都没有平局按以往两人比赛结果的统计估计，甲在项目中每一局获胜的概率为，在项目中每一局获胜的概率为，且每一局之间没有影响．
分别求甲在项目、项目中获胜的概率；
设甲获胜的项目个数为，求的分布列及数学期望．22.  本小题分
设数列的前项和为，，．
Ⅰ求，的值及数列的通项公式；
Ⅱ是否存在正整数，使得若存在，求所有满足条件的；若不存在，请说明理由．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：由题意，
，
根号内组成的数列为：，，，，
根号内组成的数列是一个首项为，公差为的等差数列．
第项为：．
．
，
解得：．
故选：．
本题可还原根号，只观察根号内的这一组数列，发现根号内的这一组数列是一个等差数列，由此可解得题目．
本题主要考查等差数列的特点及判定，属基础题．
 2.【答案】 【解析】解：依题意，分钟后细菌的个数为个，分钟后，细菌的个数为个，
每过分钟细菌数量变为原来的倍，
所以小时后，即为分钟后，细菌的个数应为个．
故选：．
分析题意可得每过分钟细菌数变为原来的倍，即可判断．
本题主要考查指数函数的实际应用，属于基础题．
 3.【答案】 【解析】【分析】
本题考查等差数列通项公式及和式的求解方法，立足数学文化，属于基础题．
读懂题目意思，将题干条件转化为数学语言是本题破题关键．
【解答】
解：设数列为，公差为，
，
，
解得，，
立夏日影长为．
故选：．  4.【答案】 【解析】解：由题意可得，．
故选：．
根据已知条件，结合古典概型的概率公式，即可求解．
本题主要考查古典概型的概率公式，属于基础题．
 5.【答案】 【解析】解：设等差数列的公差为，
由题意，，
所以．
故选：．
设等差数列的公差为，由题意可求出，从而利用进行求解即可．
本题考查等差数列的通项公式与前项和公式，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
 6.【答案】 【解析】解：学校安排元旦晚会的个舞蹈节目和个音乐节目的演出顺序，要求个音乐节目要连排，且都不能在第一个演出，
则不同的排法种数是．
故选：．
由排列、组合及简单计数问题，结合相邻问题捆绑法求解即可．
本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了相邻问题捆绑法，属基础题．
 7.【答案】 【解析】解：由题意可得，，，
所以，，
所以．
故选：．
由题意条件能够求出，，从而可求．
本题主要考查数列递推式，考查运算求解能力，属于基础题．
 8.【答案】 【解析】解：，是方程的两根，
，，
，，，
，
，
能使成立的的最大值为．
故选：．
利用等差数列的性质，前项和公式，求解即可．
本题主要考查等差数列的性质，前项和公式的运用，属于中档题．
 9.【答案】 【解析】解：回归直线一定经过样本中心点，而样本中心点并不一定是，，，中的一个点，故A错误；
相关系数的绝对值越接近，两个随机变量的线性相关越强，故B正确；
对，，，所以，则，故C正确；
对，，故D正确．
故选：．
回归直线一定经过样本中心点，即可判断；根据样本相关系数，即可判断；根据二项分布的期望和方差公式，即可判断；根据正态分布的对称性，即可判断．
本题考查线性回归方程，样本相关系数，二项分布，正态分布的应用，属于中档题．
 10.【答案】 【解析】解：随的增大呈递减的趋势，所以与为负相关关系，所以与的样本相关系数，A错误；
因为，，回归直线必过点，所以，得，、C正确；
当时，万元，D错误．
故选：．
由数据知随的增大呈递减的趋势，结合相关系数的性质及回归直线的性质依次判断即可．
本题考查线性回归方程的运用，解题的关键是利用线性回归方程恒过样本中心点，这是线性回归方程中最常考的知识点．属于基础题．
 11.【答案】 【解析】解：由，，
得，可得，，
，则，AC正确，B错误；
，且，，
，故D错误．
故选：．
由已知可得，，且，得到，然后逐一分析四个选项得答案．
本题考查等差数列的性质，考查等差数列的前项和，考查运算求解能力，是基础题．
 12.【答案】 【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，每个小球有种放法，则五个球全部投入个不同的盒子里共有种放法，A正确；
对于，将个小球分为组，放入个盒子，有种放法，B错误；
对于，先在个小球种选出个，放入个盒子的一个盒子，有种放法，C正确；
对于，将个小球分为组，放入个盒子，有种放法，D正确；
故选：．
根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
 13.【答案】 【解析】解：由题意概率的和为，知：
，
解得．
故答案为：．
利用概率和为，列出方程，求出．
本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意离散型随机变量的分布列的合理运用．
 14.【答案】 【解析】解：三数，，成等比数列，
则，
解得或，
当时，即三个数为，，，不为等比数列，故舍去，
当时，即三个数为，，，为等比数列，
所以．
故答案为：．
根据等比数列的性质可得，解得即可求出．
本题考查了等比数列的性质，考查了运算求解能力，属于基础题．
 15.【答案】 【解析】解：，
又的展开式通项为，的展开式通项为，
，解得．
故答案为：．
求出的展开式通项，然后利用含项的系数为列方程求解．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
 16.【答案】   【解析】解：由等差数列的性质可得，
，
若为整数，且，故能被整除，故或，解得或，
所以，使得为整数的值个数为．
故答案为：；．
利用等差数列的基本性质可得出，即可得出的值；计算得出，可知能被整除，求出的可能取值，可得出结轮．
本题主要考查了等差数列的性质的应用，属于中档题．
 17.【答案】证明：，
则，即，
，
故数列是首项为，公比为的等比数列；
解：由可得，，
则，，，，
故，
所以． 【解析】根据已知条件，结合等比数列的性质，即可求证；
根据已知条件，结合的结论，以及累加法，即可求解．
本题主要考查数列的递推式，考查转化能力，属于中档题．
 18.【答案】解：
，，
两式相减可得，，
又时，也满足上式，
；
证明：由得，

． 【解析】根据数列的前项和作差即可求解；
根据裂项求和法即可求解．
本题考查由数列的前项和作差求通项，裂项求和法的应用，属基础题．
 19.【答案】解：已知数列的前项和为，且，
当时，，解得，
当时，，
整理得，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
故；
由可知，，
则，
，
两式相减得
，
故，
数列的前项和． 【解析】由与的关系可得为等比数列，求通项公式即可；
根据错位相减法求解即可．
本题考查了等比数列的通项公式和错位相减求和，属于中档题．
 20.【答案】解：由题意，从某大学随机抽取了人进行调查，经统计男生与女生的人数之比是：，
男生有人，女生有人，
又由冰壶运动有兴趣的人数占总数的，所以有人，没有兴趣的有人，
因为女生中有人对冰壶运动没有兴趣，所以男生有兴趣的有人，无兴趣的有人，
女生有兴趣的有人，
可得如下列联表：  有兴趣没有兴趣合计男女合计所以，
所以没有的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关．
解：对冰壶运动有兴趣的一共有人，
从中抽取人，抽到的男生人数、女生人数分别为：人，人，记名女生分别是，，，名男生分别是，，，，，
则从中选出人的基本事件是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共个，
选出的人至少有一位是女生的事件有个，
所以选出的人至少有一位是女生的概率． 【解析】根据已知条件，补充列联表，再结合独立性检验公式，即可求解．
根据已知条件，结合分层抽样的定义，以及古典概型的概率公式，即可求解．
本题主要考查独立性检验公式，考查转化能力，属于中档题．
 21.【答案】解：记“甲在项目中获胜”为事件，包含甲三局获胜，其概率为，
甲四局获胜前三局甲胜任意两局，第四局甲胜，其概率为，
甲五局获胜前四局甲胜任意两局，第五局甲胜，其概率为，
则，
记“甲在项目中获胜”为事件，同理可求．
的可能取值为：，，，
所以，
，
，
所以分布列为： 所以． 【解析】分析比赛过程，二项分布的概率公式和概率的乘法即可分别求出概率；
由题意分析的可能取值，分别求概率，写出分布列，求出数学期望．
本题考查离散型随机变量的分布列和期望，是中档题．
 22.【答案】解：Ⅰ由题设可得：，，
当为奇数时，，则；
当为偶数时，，
综上所述，；
Ⅱ由Ⅰ可得：当时，，则；
当时，，则，
当时，有；
当时，有或，
综上所述，存在，． 【解析】Ⅰ先由题设求得与，再对分奇数、偶数两种情况分别求得即可；
Ⅱ先由Ⅰ和题设求得与，再利用，求得满足题意的．
本题主要考查由数列的递推关系式求数列的通项公式及数列的求和，属于有一定难度的题．