2023年新高考北京卷数学真题试卷+答案

2023年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）

数 学

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B．

C． D．

2．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（    ）

A． B．

C． D．

3．已知向量满足，则（    ）

A． B． C．0 D．1

4．下列函数中，在区间上单调递增的是（    ）

A． B．

C． D．

5．的展开式中的系数为（    ）．

A． B． C．40 D．80

6．已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（    ）

A．7 B．6 C．5 D．4

7．在中，，则（    ）

A． B． C． D．

8．若，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

9．坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为（    ）

A． B．

C． D．

10．已知数列满足，则（    ）

A．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立

B．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立

C．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立

D．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立

二、填空题

11．已知函数，则____________．

12．已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为____________．

13．设，函数，给出下列四个结论：

①在区间上单调递减；

②当时，存在最大值；

③设，则；

④设．若存在最小值，则a的取值范围是．

其中所有正确结论的序号是____________．

三、双空题

14．已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为__________， _________．

15．我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则___________；数列所有项的和为____________．

四、解答题

16．如图，在三棱锥中，平面，．

(1)求证：平面PAB；

(2)求二面角的大小．

17．设函数．

(1)若，求的值．

(2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值．

条件①：；

条件②：；

条件③：在区间上单调递减．

注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

18．为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同．

用频率估计概率．

(1)试估计该农产品价格“上涨”的概率；

(2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；

(3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）

19．已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，．

(1)求的方程；

(2)设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：．

20．设函数，曲线在点处的切线方程为．

(1)求的值；

(2)设函数，求的单调区间；

(3)求的极值点个数．

21．已知数列的项数均为m，且的前n项和分别为，并规定．对于，定义，其中，表示数集M中最大的数.

(1)若，求的值；

(2)若，且，求；

(3)证明：存在，满足 使得．

参考答案

1．A

2．D

3．B

4．C

5．D

6．D

7．B

8．C

9．C

10．B

【解答】因为，故，

对于A ，若，可用数学归纳法证明：即，

证明：当时，，此时不等关系成立；

设当时，成立，

则，故成立，

由数学归纳法可得成立.

而，

，，故，故，

故为减数列，注意

故，结合，

所以，故，故，

若存在常数，使得恒成立，则，

故，故，故恒成立仅对部分成立，

故A不成立.

对于B，若可用数学归纳法证明：即，

证明：当时，，此时不等关系成立；

设当时，成立，

则，故成立即

由数学归纳法可得成立.

而，

，，故，故，故为增数列，

若，则恒成立，故B正确.

对于C，当时， 可用数学归纳法证明：即，

证明：当时，，此时不等关系成立；

设当时，成立，

则，故成立即

由数学归纳法可得成立.

而，故，故为减数列，

又，结合可得：，所以，

若，若存在常数，使得恒成立，

则恒成立，故，的个数有限，矛盾，故C错误.

对于D，当时， 可用数学归纳法证明：即，

证明：当时，，此时不等关系成立；

设当时，成立，

则，故成立

由数学归纳法可得成立.

而，故，故为增数列，

又，结合可得：，所以，

若存在常数，使得恒成立，则，

故，故，这与n的个数有限矛盾，故D错误.

故选：B.

11．1

12．

13．②③

【解答】依题意，，

当时，，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线；

当时，，易知其图像是，圆心为，半径为的圆在轴上方的图像（即半圆）；

当时，，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线；

对于①，取，则的图像如下，

显然，当，即时，在上单调递增，故①错误；

对于②，当时，

当时，；

当时，显然取得最大值；

当时，，

综上：取得最大值，故②正确；

对于③，结合图像，易知在，且接近于处，的距离最小，

当时，，当且接近于处，，

此时，，故③正确；

对于④，取，则的图像如下，

因为，

结合图像可知，要使取得最小值，则点在上，点在，

同时的最小值为点到的距离减去半圆的半径，

此时，因为的斜率为，则，故直线的方程为，

联立，解得，则，

显然在上，满足取得最小值，

即也满足存在最小值，故的取值范围不仅仅是，故④错误.

故答案为：②③.

14．    

【解答】因为在上单调递增，若，则，

取，

则，即，

令，则，

因为，则，

即，则.

不妨取，即满足题意.

故答案为：.

15．     48     384

【解答】方法一：设前3项的公差为，后7项公比为，

则，且，可得，

则，即，可得，

空1：可得，

空2：

方法二：空1：因为为等比数列，则，

且，所以；

又因为，则；

空2：设后7项公比为，则，解得，

可得，

所以.

故答案为：48；384.

16．【解答】（1）因为平面平面，

所以，同理，

所以为直角三角形，

又因为，，

所以，则为直角三角形，故，

又因为，，

所以平面.

（2）由（1）平面，又平面，则，

以为原点，为轴，过且与平行的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，

则，

所以，

设平面的法向量为，则，即

令，则，所以，

设平面的法向量为，则，即，

令，则，所以，

所以，

又因为二面角为锐二面角，

所以二面角的大小为.

17．【解答】（1）因为

所以，

因为，所以.

（2）因为，

所以，所以的最大值为，最小值为.

若选条件①：因为的最大值为，最小值为，所以无解，故条件①不能使函数存在；

若选条件②：因为在上单调递增，且，

所以,所以,,

所以，

又因为，所以，

所以，

所以，因为，所以.

所以，；

若选条件③：因为在上单调递增，在上单调递减，

所以在处取得最小值，即.

以下与条件②相同．

18．【解答】（1）根据表格数据可以看出，天里，有个，也就是有天是上涨的，

根据古典概型的计算公式，农产品价格上涨的概率为：

（2）在这天里，有天上涨，天下跌，天不变，也就是上涨，下跌，不变的概率分别是，，，

于是未来任取天，天上涨，天下跌，天不变的概率是

（3）由于第天处于上涨状态，从前次的次上涨进行分析，上涨后下一次仍上涨的有次，不变的有次，下跌的有次，

因此估计第次不变的概率最大.

19．【解答】（1）依题意，得，则，

又分别为椭圆上下顶点，，所以，即，

所以，即，则，

所以椭圆的方程为.

（2）因为椭圆的方程为，所以，

因为为第一象限上的动点，设，则，

易得，则直线的方程为，

，则直线的方程为，

联立，解得，即，

而，则直线的方程为，

令，则，解得，即，

又，则，，

所以

，

又，即，

显然，与不重合，所以.

20．【解答】（1）因为，所以，

因为在处的切线方程为，

所以，，

则，解得，

所以.

（2）由（1）得，

则，

令，解得，不妨设，，则，

易知恒成立，

所以令，解得或；令，解得或；

所以在，上单调递减，在，上单调递增，

即的单调递减区间为和，单调递增区间为和.

（3）由（1）得，，

由（2）知在，上单调递减，在，上单调递增，

当时，，，即

所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，

此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；

所以在上有一个极小值点；

当时，在上单调递减，

则，故，

所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，

此时，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减；

所以在上有一个极大值点；

当时，在上单调递增，

则，故，

所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，

此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；

所以在上有一个极小值点；

当时，，

所以，则单调递增，

所以在上无极值点；

综上：在和上各有一个极小值点，在上有一个极大值点，共有个极值点.

21．【解答】（1）由题意可知：，

当时，则，故；

当时，则，故；

当时，则故；

当时，则，故；

综上所述：，，，.

（2）由题意可知：，且，

因为，则，当且仅当时，等号成立，

所以，

又因为，则，即，

可得，

反证：假设满足的最小正整数为，

当时，则；当时，则，

则，

又因为，则，

假设不成立，故，

即数列是以首项为1，公差为1的等差数列，所以.

（3）（ⅰ）若，构建，由题意可得：，且为整数，

反证，假设存在正整数，使得，

则，可得，

这与相矛盾，故对任意，均有.

①若存在正整数，使得，即，

可取，使得；

②若不存在正整数，使得，

因为，且，

所以必存在，使得，

即，可得，

可取，使得；

（ⅱ）若，构建，由题意可得：，且为整数，

反证，假设存在正整数，使得，

则，可得，

这与相矛盾，故对任意，均有.

①若存在正整数，使得，即，

可取，使得；

②若不存在正整数，使得，

因为，且，

所以必存在，使得，

即，可得，

可取，使得；

综上所述：存在使得．