初高中数学衔接讲义01数与式的运算 2课时（含答案）
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目录1.1 数与式的运算1.1.1 绝对值1.1.2 乘法公式1.1.3 二次根式1.1.４ 分式1．2 分解因式1.1 数与式的运算1.１.1．绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，数和数之间的距离．例1 解不等式：＞4．解法一：由，得；由，得；①若，不等式可变为，即＞4，解得x＜0，又x＜1，∴x＜0；②若，不等式可变为，即1＞4，∴不存在满足条件的x；③若，不等式可变为，即＞4， 解得x＞4．又x≥3，\点B之间的距离|PB|，即|PB|＝|x－3|．所以，不等式‘由|AB|＝2，可知点P 在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧． x＜0，或x＞4．练 习1．填空：（1）若，则x=_________；若，则x=_________.（2）如果，且，则b＝________；若，则c＝________. 2．选择题：下列叙述正确的是 （ ）（A）若，则 （B）若，则 （C）若，则 （D）若，则3．化简：|x－5|－|2x－13|（x＞5）．1.1.2. 乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 ；（2）完全平方公式 ．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 ；（2）立方差公式 ；（3）三数和平方公式 ；（4）两数和立方公式 ；（5）两数差立方公式 ．对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．例1 计算：．解法一：原式= = =．解法二：原式= = =．例2 已知，，求的值． 解： ．练 习1．填空：（1）（ ）；（2） ；（3） ．2．选择题：（1）若是一个完全平方式，则等于 （ ）（A） （B） （C） （D）（2）不论，为何实数，的值 （ ） （A）总是正数 （B）总是负数 （C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数 1.1.3．二次根式 一般地，形如的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如 ，等是无理式，而，，等是有理式．1．分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与，与，与，等等． 一般地，与，与，与互为有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．2．二次根式的意义例1 将下列式子化为最简二次根式：（1）； （2）； （3）． 解： （1）； （2）； （3）．例2 计算：．
解法一： ＝ ＝ ＝ ＝ ＝．解法二： ＝ ＝ ＝ ＝ ＝．
例3 试比较下列各组数的大小：（1）和； （2）和.解： （1）∵， ，又，∴＜． （2）∵ 又 4＞2， ∴＋4＞＋2， ∴＜.例4 化简：．解： ＝ ＝ ＝ ＝．例 5 化简：（1）； （2）．
解：（1）原式 ． （2）原式=，∵，， 所以，原式＝．
例 6 已知，求的值 ． 解： ∵，， ∴．练 习1．填空：（1）＝__ ___；（2）若，则的取值范围是_ _ ___；（3）__ ___；（4）若，则______ __．2．选择题：等式成立的条件是 （ ）（A） （B） （C） （D）3．若，求的值．4．比较大小：2－ －（填“＞”，或“＜”）． 1.1.４．分式1．分式的意义形如的式子，若B中含有字母，且，则称为分式．当M≠0时，分式具有下列性质：； ．上述性质被称为分式的基本性质．2．繁分式像，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．例1 若，求常数的值．解： ∵， ∴ 解得 ．例2 （1）试证：（其中n是正整数）； （2）计算：； （3）证明：对任意大于1的正整数n， 有．（1）证明：∵， ∴（其中n是正整数）成立．（2）解：由（1）可知 ＝．（3）证明：∵ ＝ ＝， 又n≥2，且n是正整数， ∴一定为正数， ∴＜．例3 设，且e＞1，2c2－5ac＋2a2＝0，求e的值．解：在2c2－5ac＋2a2＝0两边同除以a2，得 2e2－5e＋2＝0， ∴(2e－1)(e－2)＝0， ∴e＝＜1，舍去；或e＝2． ∴e＝2．练 习1．填空题：对任意的正整数n， ()；2．选择题：若，则＝ （ ） （A）１ （B） （C） （D）3．正数满足，求的值．4．计算． 习题1．1A 组1．解不等式： (1) ； (2) ； (3) ． ２．已知，求的值． 3．填空：（1）＝________；（2）若，则的取值范围是________；（3）________． B 组1．填空： （1），，则____ ____；（2）若，则__ __；2．已知：，求的值．C 组1．选择题：（1）若，则 （ ） （A） （B） （C） （D）（2）计算等于 （ ）（A） （B） （C） （D）2．解方程．3．计算：．4．试证：对任意的正整数n，有＜． 1.1.1．绝对值1．（1）； （2）；或 2．D 3．3x－181.1.2．乘法公式1．（1） （2） （3） 2．（1）D （2）A1.1.3．二次根式1． （1） （2） （3） （4）．2．C 3．1 4．＞1.1.4．分式1． 2．B 3． 4．习题1．1A组1．（1）或 （2）－4＜x＜3 （3）x＜－3，或x＞32．1 3．（1） （2） （3） B组1．（1） （2），或－ 2．4．C组1．（1）C （2）C 2． 3．4．提示： 1．2 分解因式因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1 分解因式： （1）x2－3x＋2； （2）x2＋4x－12； （3）； （4）． 解：（1）如图1．2－1，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x，就是x2－3x＋2中的一次项，所以，有x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)． 说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．2－1中的两个x用1来表示（如图1．2－2所示）．（2）由图1．2－3，得x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6)．（3）由图1．2－4，得 ＝（4）＝xy＋(x－y)－1＝(x－1) (y+1) （如图1．2－5所示）．2．提取公因式法与分组分解法例2 分解因式： （1）； （2）．解： （1）== =． 或＝＝＝ ＝ ＝． （2）= ==．或 = = =．3．关于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解．若关于x的方程的两个实数根是、，则二次三项式就可分解为.例3 把下列关于x的二次多项式分解因式：（1）； （2）．解： （1）令=0，则解得，， ∴= =．（2）令=0，则解得，， ∴=．练 习1．选择题：多项式的一个因式为 （ ）（A） （B） （C） （D） 2．分解因式：（1）x2＋6x＋8； （2）8a3－b3；（3）x2－2x－1； （4）．习题1．21．分解因式： （1） ； （2）； （3）； （4）．2．在实数范围内因式分解：（1） ； （2）； （3）； （4）．3．三边，，满足，试判定的形状．4．分解因式：x2＋x－(a2－a)． 1.2分解因式1． B 2．（1）(x＋2)(x＋4) （2）（3） （4）．习题1．21．（1） （2） （3） （4） 2．（1）； （2）； （3）； （4）．3．等边三角形4．
