2022高考数学选填经典题型汇编 题型4 具有关于某点对称的函数的最值性质

题型4   具有关于某点对称的函数的最值性质

【方法点拨】

1.若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝0.

2.关于某一点中心对称的函数在对称区间上的最值的解决方法同上，可以使用图象变换，转化为奇函数在对称区间上的最值问题. 一般的，若单调函数f(x)关于点(m，n)对称，且在D上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝2n.

【典型题示例】

例1   设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.

【答案】2

【分析】本题解法较多，利用函数的奇偶性应当最为简单.将函数解析式适当作如下变形，，设，显然为奇函数，由题意知其最大值、最小值一定存在，根据函数图象的对称性，最大值与最小值互为相反数，其和为0，所以，本题应填2.

【解析】　显然函数f(x)的定义域为R，

f(x)＝＝1＋，

设g(x)＝，则g(－x)＝－g(x)，

∴g(x)为奇函数，

由奇函数图象的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0，

∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2

答案：2.

点评:

1.本题欲求最大值与最小值的和，上述解法没有运用常规的求最值的基本工具，如：求导、基本不等式、单调性、反解等，而是充分利用函数的性质——奇偶性，舍弃解析式其外在的“形”转而研究函数的“性”，这种策略和方法在解题中经常涉及.由于考生受定势思维的影响，此类题目多为考生所畏惧.

2. 发现函数隐藏的单调性、对称性是解决此类问题之关键，对于单调奇函数有下列性质：若单调奇函数f(x)满足f(a)＋f(b)＝0，则a＋b＝0.更一般的，若单调函数f(x)关于点(m，n)对称，且满足f(a)＋f(b)＝2n，则a＋b＝2m.

例2    已知函数，，则________．

【答案】

【解析】因为

所以,故答案为：.

例3   已知，设函数，的最大值、最小值分别为，则的值为          .

【答案】4039

【分析】研究函数的对称性，利用函数（其中是奇函数）在对称区间上的最大值、最小值的和为.

【解析】

设

则

所以的图象关于点对称

所以的图象关于点对称

故的值为4039..

【巩固训练】

1.已知函数f(x)＝ln(－3x)＋1，则f(lg 2)＋f＝(　　)

A.－1   B.0   C.1   D.2

2．已知定义在上的函数，则在上的最大值与最小值之和等于（    ）

A． B． C． D．

3.已知函数的最大值为，最小值为，则的值为（   ）

A．0 B．1 C．2 D．3

4.已知函数在区间的值域为，则的值为_______.

5. 已知函数,在区间上的最大值为最小值为则_____.

【答案与提示】

1.【答案】　D

【解析】　令g(x)＝ln(－3x)，x∈R，则g(－x)＝ln(＋3x)，因为g(x)＋g(－x)＝ln(－3x)＋ln(＋3x)＝ln(1＋9x2－9x2)＝ln 1＝0，所以g(x)是定义在R上的奇函数.

又lg ＝－lg 2，所以g(lg 2)＋g＝0，

所以f(lg 2)＋f＝g(lg 2)＋1＋g＋1＝2.

2． 【解析】根据题意，设，，

有，

即函数为奇函数，其图象关于原点对称，则，

则有，变形可得，所以，当时，函数的最大值与最小值之和等于.故选：C．

3.【解析】，

令，即,

而是在R上的奇函数，设其最大值为,最小值为，由奇函数性质可得，所以，故选择C

4.【答案】2

【分析】本题的难点在于发现函数内隐藏的奇偶性、对称性.

【解析】因为

设，则为定义在上的单调递增函数

所以在区间单增，且关于点（0,1）对称

所以=2.

5. 【答案】2

【解析】.

令

,且, 为奇函数,

设其最大值为,则其最小值为,

∴函数的最大值为,最小值为

, .故答案为:.