2022高考数学选填经典题型汇编 题型48 一类貌似神离的不等式求最值

题型48   一类貌似神离的不等式求最值

【方法点拨】

1.已知，求的最值型（其中、、、均为正数）.

此类问题应归结为“知和求和”型，解决的策略是利用常数代换，即将“1”将已知与所求进行相乘，从而得到常数项与互为倒数的两项，然后利用均值不等式求解；也可用“权方和不等式”求解.

2.已知，求的最值型.

此类问题应采取“强分”的方法，即将分解为，然后直接使用基本不等式求解为最简单途径.

说明:关键要分清题设的条件的不同，根据不同的“结构特征”寻找解题的突破口，决不要“张冠李戴”.

【典型题示例】

例1    已知，求的最小值.

【答案】

【解析一】对两边同时除以得

（等号成立条件略）

即的最小值.

【解析二】（权方和不等式）对两边同时除以得

所以

所以（等号成立条件略）

即的最小值.

说明：

1. 已知，则有：（当且仅当时，等号成立）.上式称为二元变量的权方和不等式，用于“知和求和型”求最值.
2. 此类问题还可以通过消元以达到减元的目的来求解，由，再代入到所求表达式，求出最值即可，但要注意的范围需由缩定.

例2   已知，求的最小值.

【解析】因为

所以

所以，

即.

说明：

此类问题还可以通过消元以达到减元的目的来求解，由，再代入到所求表达式，求出最值即可，但要注意的范围需由缩定 .

【巩固训练】

1.已知正实数满足，则的最小值为__________

2. 已知，，则的最小值为        .

3.如图，已知三角形 ABC 中，AB ＝1，AC ＝ 2 ，若点 M 为线段 BC 的三等分点(靠近 B 点)，则的最小值为 　　 ．

4．已知a＞0，b＞0，且则的最小值是       ．

5.已知x＞1，y＞1，则的最小值是       ．

6.已知a＞0，b＞0，且，则的最小值是       ．

7.已知x＞1，y＞1，xy＝10，则的最小值是       ．

8. 已知正数满足，则的最小值为        .

9.已知，则的最小值为        .

10.已知正实数x，y满足x+y＝xy，则的最小值是　   　．

11.已知a＞0，b＞0，且，则的最小值是       ．

【答案与提示】

1.【答案】

【提示】由强分即可.

2.【答案】

【提示】权方和不等式立得，或换元等.

3.【答案】

【解析】，，

.

4.【答案】

【解析】,当，即时，等号成立．

5.【答案】8

【解析】令

当，即，两个等号同时成立．

6.【答案】

【解析】

当，即，．

7.【答案】：9

【解析】∵x＞1，y＞1，xy＝10，

∴，且

      ∴，当且仅当时取“＝”．

8.【答案】

【解析】

当且仅当，等号成立.

9.【答案】

【解析】

当且仅当时,等号成立.

10.【答案】15

【解析】x+y＝xy可化为，

.

11.【答案】

【解析】

当，即，．