四川省成都市第七中学2022-2023学年高二数学（文）下学期5月阶段试题（Word版附解析）

高二下期数学5月阶段测试

数学（文科）

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、单选题（本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1. 已知为虚数单位，复数，则（    ）

A. 1 B.  C.  D. 2

【答案】B

【解析】

【分析】由复数的四则运算可得，再由复数模的计算公式求解即可.

【详解】解：因，

所以.

故选：B.

2. 如图茎叶图记录了甲乙两位射箭运动员的5次比赛成绩（单位：环），若两位运动员平均成绩相同，则运动员乙成绩的方差为（    ）

A. 2 B. 4 C. 9 D. 16

【答案】A

【解析】

【分析】根据数据平均数的计算公式，列出方程求得，结合方差的公式，即可求解.

【详解】由甲乙两位射箭运动员的5次比赛成绩的茎叶图，

可得甲射箭运动员比赛成绩的平均数为，

乙射箭运动员比赛成绩平均数为，

因为两运动员的平均成绩相同，可得，解得，

所以运动员乙成绩的方差为：.

故选：A.

3. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（    ）

A. 2 B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先求得，进而求得双曲线的离心率.

【详解】依题意，双曲线的一条渐近线方程为，

所以.

故选：D

4. 已知m，n表示两条不同的直线，表示平面．下列说法正确的是（    ）

A. 若，，则 B. 若，，则

C. 若，，则 D. 若，，则

【答案】B

【解析】

【分析】根据空间直线与平面间的位置关系判断．

【详解】对于A，若，，则m与n相交、平行或异面，故A错误；

对于B，若，，由线面垂直的性质定理得，故B正确；

对于C，若，，则或，故C错误；

对于D，若，，则n与相交、平行或，故D错误．

故选：B．

5. “”是“直线与直线平行”的（    ）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】由直线与直线平行可求得的值，集合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.

【详解】若直线与直线平行，

则，解得.

因此，“”是“直线与直线平行”的充要条件.

故选：C.

6. 执行该程序框图，若输入的、分别为、，则输出的（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据程序框图列举出循环的每一步，即可得出输出结果.

【详解】第一次循环，，，成立，成立，则；

第二次循环，，，成立，不成立，则；

第三次循环，，，成立，不成立，则；

第四次循环，，，成立，不成立，则.

，则不成立，跳出循环体，输出的值为.

故选：B.

7. 函数的图像大致是（    ）

A.    B.  

C.    D.  

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，得到函数的函数值的正负，可排除A、C项；求得，得出函数的单调区间，可排除B项，即可求解.

【详解】由函数，令，即，解得或，

所以当或时，；当时，，可排除A、C项；

又由，令，可得，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

则可排除B项，选项D符合题意.

故选：D.

8. 已知曲线(为参数).若直线与曲线相交于不同的两点，则的值为

A.  B.  C. 1 D.

【答案】C

【解析】

【详解】分析：消参求出曲线C的普通方程：，再求出圆心到直线的距离，则弦长．

详解：根据 ，求出曲线C的普通方程为，

圆心到直线的距离，所以弦长 ，选C.

点睛：本题主要考查将参数方程化为普通方程，直线与圆相交时，弦长的计算 ，属于中档题．

9. 过椭圆：右焦点的直线：交于，两点，为的中点，且的斜率为，则椭圆的方程为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由与x轴交点横坐标可得半焦距c，设出点A，B坐标，利用点差法求出的关系即可计算作答.

【详解】依题意，焦点，即椭圆C的半焦距，设，，

则有，两式相减得：，

而，且，即有，

又直线的斜率，因此有，而，解得，经验证符合题意，

所以椭圆的方程为.

故选：A

10. 赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据几何概率计算公式，求出中间小三角形区域的面积与大三角形面积的比值即可．

【详解】在中，，，，由余弦定理，得，

所以.

所以所求概率为.

故选A.

【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．

11. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，底面，，E为PC的中点，则异面直线PD与BE所成角的余弦值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】以点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用线线角的向量求法可求得结果.

【详解】以点为坐标原点，为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，如下图所示：

则，，，，，，

设异面直线与所成角为，则.

故选：B.

【点睛】方法点睛：本题考查线线角的求法，利用空间向量求立体几何常考查的夹角：设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则

①两直线所成的角为(),；

②直线与平面所成的角为(),；

③二面角的大小为(),

12. 已知不等式对任意实数x恒成立，则的最大值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】将不等式转化为对任意实数恒成立，令，利用导数得恒成立，于是有，构造函数，，利用导数求最大值即可．

【详解】因为对任意实数恒成立，即对任意实数恒成立，

令，则，

当时，，在上单调递增，

当趋于时，趋于，不满足在上恒成立；

当时，令，则，

当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以，

又因为在上恒成立，所以，

所以，

所以，

令，，

则，

所以 在上单调递增，在上单调递减，

所以，

所以．

故选：D．

【点睛】对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分．把答案填在答题卡的相应位置．）

13. 已知函数，则______．

【答案】

【解析】

【分析】求出，代值计算可得出的值.

【详解】因为，则，故.

故答案为：.

14. 天府绿道是成都人民朋友圈的热门打卡地，经统计，天府绿道旅游人数x（单位：万人）与天府绿道周边商家经济收入y（单位：万元）之间具有线性相关关系，且满足回归直线方程为，对近五个月天府绿道旅游人数和周边商家经济收入统计如下表：

则表中值为___________.

【答案】88

【解析】

【分析】根据样本平均值满足回归直线方程求解.

【详解】样本平均值满足回归直线方程，x的平均值为，

则y的平均值，解得，

故答案为：88.

15. 已知函数，在区间内任取两个实数，，且，若不等式恒成立，则实数a的最小值为______．

【答案】

【解析】

【分析】化简题目所给不等式，构造函数，由在区间上恒成立分离常数，结合基本不等式即可求得的取值范围，从而得到结果.

【详解】不妨设，

则，

即，

令

则，

∴在单调递增，

对恒成立，即，

因为，则，

当且仅当时，即时，等号成立，

所以，即a的最小值为，

故答案为:

16. 已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则________．

【答案】2

【解析】

【分析】方法一：利用点差法得到AB的斜率，结合抛物线定义可得结果.

【详解】［方法一］：点差法

设，则，所以

所以，

取AB中点,分别过点A,B作准线的垂线，垂足分别为

因为,，

因为为AB中点，所以平行于x轴，

因为M(-1,1)，所以，则即．

故答案为：2.

［方法二］：【最优解】焦点弦的性质

记抛物线的焦点为F，因为，则以为直径的圆与准线相切于点M，由抛物线的焦点弦性质可知，所以．

［方法三］： 焦点弦性质+韦达定理

记抛物线的焦点为F，因为，则以为直径的圆与准线相切于点M，记中点为N，则，设，代入中，得，所以，得，所以．

［方法四］：【通性通法】暴力硬算

由题知抛物线的焦点为，设直线的方程为，代入中得，设，则，同理有，由，即．又，所以，得．

［方法五］：距离公式+直角三角形的性质

 设直线为，与联立得，则从而，可得的中点，所以．

又由弦长公式知．

由得，解得，所以．

［方法六］：焦点弦的性质应用

由题可知，线段为抛物线焦点弦，，由于以抛物线的焦点弦为直径的圆必与准线相切，又点M恰为抛物线准线上的点，因此，以为直径的圆必与准线相切于点M．

过点M作平行于轴的直线交于点N，则N为圆心．

设，则．

又因为，所以联立解得．将的值代入中求得．

因为抛物线C的焦点，所以．

【整体点评】方法一：根据点差法找出直线的斜率与两点纵坐标的关系，再根据抛物线定义求出中点坐标，从而解出；

方法二：直接根据焦点弦的性质解出，是该题的最优解；

方法三：根据焦点弦性质可知，直线过点，再根据韦达定理求出直线的斜率；

方法四：直接设出直线方程，联立运算，属于解决直线与抛物线位置关系问题通性通法，思路直接，运算复杂；

方法五：反设直线，再通过联立，利用直角三角形的性质求解，运算较复杂；

方法六：利用焦点弦的性质直接求出其中一点的坐标，再根据斜率公式求出．

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

选修4-4：坐标系与参数方程

17. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.

（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；

（2）已知直线l与曲线C交于A，B两点，设，求的值.

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据直线参数方程消掉参数t即可得到直线的普通方程；

（2）由直线参数方程中t的几何意义即可求解.

【小问1详解】

∵直线l的参数方程为（t为参数），

∴消去t可得直线l的普通方程为:.

∵曲线C的极坐标方程为，即，

又∵，，

∴曲线C的直角坐标方程为.

【小问2详解】

将（t为参数）代入，

得，显然，即方程有两个不相等的实根，

设点A，B在直线l的参数方程中对应的参数分别是，，

则，，

∴.

18. 已知函数，若曲线在处的切线方程为．

（1）求a，b的值；

（2）讨论函数的单调性．

【答案】（1）；   

（2）在和(1，2)上单调递增，在上单调递减

【解析】

【分析】（1）根据函数的切线方程即可求得参数值；

（2）先求函数的导函数，判断函数单调性.

【小问1详解】

由已知可得．又，所以

【小问2详解】

由（1）可知，，

令，解得或，

令，解得或，

所以在和(1，2)上单调递增，在上单调递减．

19. 某校组织全体学生参加“数学以我为傲”知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：[40，50），[50，60），[60，70），……，[90，100]，统计结果如图所示：

（1）试估计这100名学生得分的平均数（同一组中的数据用该组区间中点值代表）；

（2）现在按分层抽样的方法在[80，90）和[90，100]两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加这次竞赛的交流会，求两人都在[90，100]的概率．

【答案】（1）70.5   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据频率分布直方图直接代入平均数的计算公式即可求解；

（2）根据分层抽样在分组中抽取的人数为人，在分组中抽取的人数为2人，利用古典概型的概率计算公式即可求解.

【小问1详解】

由频率分布直方图的数据，可得这100名学生得分的平均数：

分．

【小问2详解】

在和两组中的人数分别为：100×(0.015×10)=15人和100×(0.01×10)=10人，

所以在分组中抽取的人数为人，记为a，b，c，

在分组中抽取的人数为2人，记为1，2，

所以这5人中随机抽取2人的情况有：，共10种取法，

其中两人得分都在的情况只有，共有1种，

所以两人得分都在的概率为．

20. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，为正三角形，平面平面，、分别是、的中点．

（1）证明：平面；

（2）若是棱上一点，且，求三棱锥与三棱锥的体积之比．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

【分析】（1）连接，利用菱形的性质可得出，由中位线的性质得出，可得出，利用面面垂直的性质定理推导出平面，可得出，利用线面垂直的判定定理可证得平面；

（2）计算出与、与的等量关系，由此计算得出三棱锥与三棱锥的体积之比．

【详解】（1）证明：如图，连接，

且是的中点，，

又平面平面，平面平面，平面，

平面．

又平面，，

、分别为棱、的中点，，

因为四边形为菱形，，，

又，，平面；

（2）解：如图，连接、，

，，，

又底面为菱形，、分别是、的中点．

，故．

因此，三棱锥与三棱锥的体积之比为.

【点睛】方法点睛：证明线面垂直的方法：

一是线面垂直的判定定理；

二是利用面面垂直的性质定理；

三是平行线法（若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面），解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；

另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形（或给出线段长度，经计算满足勾股定理）、直角梯形等等．

21. 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为、，为的上顶点，且的周长为．

（1）求椭圆的方程；

（2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由椭圆的定义以及离心率可得出、的值，进而可求得的值，由此可得出椭圆的方程；

（2）分析可知直线的斜率存在，设直线的方程为，设、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，由结合可求得的取值范围.

【小问1详解】

设椭圆的半焦距为．

因为的周长为，①

因为椭圆的离心率为，所以，②

由①②解得，．则，所以椭圆的方程为．

【小问2详解】

若直线轴，此时，直线为轴，则、、三点共线，不合乎题意，

设直线的方程为，设、，

联立，

，解得，

由韦达定理可得，，

则，

又为锐角，、、不共线，则，

即

，解得，所以，，解得或，

所以实数的取值范围为．

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：

（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；

（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；

（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.

22. 已知．

（1）若，且对任意恒成立，求a的范围；

（2）当时，求证：．

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）利用分离参数得对任意恒成立，再设，利用导数求出其最值即可；

（2）证法1：通过隐零点法得，然后构造新函数求解其范围即可；

证法2：令，利用导数证明，则得.

【小问1详解】

∵，若对任意恒成立，

则对任意恒成立，即对任意恒成立，

令，则，令，解得，

当时，，则单调递增，

当时，，则单调递减，

所以当时，函数取得最大值．

所以.

【小问2详解】

证法1，由（1）可得时，在上单调递增．

又因为，当x趋近于0时，趋近于．

∴使得，即．

当时，，时，．

∴在递减，在递增．

∴，，

令，，

当时，，，则在上，，

∴单调递减，∴．∴当时，．

证法2：令，，，

当时，，当时，．

∴在上单调递减，在上单调递增，

∴，∴．

∵，∴．∴．

【点睛】关键点睛：本题通过隐零点法得到，利用导函数与函数最值关系得，再次构造函数，利用导数求出其范围即可.