浙江省2023年6月数学学业水平适应性考试试题（Word版附解析）

2023年6月浙江省学业水平适应性考试

数学学科试题

考生须知

1.本试题卷共4页，满分100分，考试时间80分钟.

2、答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号.

3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效.

4.考试结束后，只需上交答题卷.

选择题部分

一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）

1. 已知全集，集合，，则（    ）

A. {2，4} B. {6，8，10} C. {6，8} D. {2，4，6，8，10}

【答案】C

【解析】

【分析】先求出集合的补集，再求即可

【详解】因为全集，集合，

所以，

因为，

所以，

故选：C

2. 函数的定义域是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据对数函数中真数大于0与零次幂中底数不等于0列式求解即可.

【详解】由题意知，且，

故函数的定义域为.

故选：B.

3. 设，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】根据绝对值不等式以及一元二次不等式化简不等式，即可由充要条件进行判断.

【详解】由得，由得，所以“”是“”的充要条件，

故选：C

4. 已知一个圆柱的侧面展开图内切圆的半径为1，则该圆柱的体积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据圆柱的侧面展开图即可求解,由体积公式即可求解.

【详解】设圆柱的底面圆半径为，高为，由侧面展开图的内切圆半径为1可知：，

所以圆柱的体积为，

故选：A

5. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则角C为（    ）

A.  B. 或 C.  D. 或

【答案】B

【解析】

【分析】根据正弦定理化简可得，结合角的范围求角即可.

【详解】，

，

由正弦定理，,

由角B为三角形内角，则，可得，

由，可得或，

故选：B

6. 下列说法正确的是（    ）

A. 一个平面里有三个不同的点到另一个平面的距离都相等，则这两个面平行

B. 和同一条直线都相交的两条直线一定相交

C. 经过空间中三个点有且只有一个平面

D. 经过两条相交直线有且只有一个平面

【答案】D

【解析】

【分析】根据空间中点线面的位置关系即可结合选项逐一求解.

【详解】对于A, 一个平面里有三个不同的点到另一个平面的距离都相等，则这两个面可能相交也可能平行，例如在正方体中, 平面中的点到平面的距离均相等，但是平面 与平面相交，不平行，故A错误，

对于B, 和同一条直线都相交的两条直线不一定相交，例如正方体中 均与相交，但是不相交，故B错误，

对于C，经过空间中三个不共线的点有且只有一个平面，故C错误，

对于D, 两条相交直线可以确定一个平面,因此经过两条相交直线有且只有一个平面，故D正确，

故选：D

7. 函数的大致图象是（    ）

A.    B.  

C.    D.  

【答案】A

【解析】

【分析】根据函数的奇偶性判断BC错误，再由函数自变量趋向正无穷大时，函数值的变化趋势判断AD.

【详解】因为定义域为，

且，

所以函数为奇函数，故图象关于原点成中心对称，故BC错误；

当趋向正无穷时，显然的分子增长快于分母增长，趋向正无穷，故A正确B错误.

故选：A

8. 已知点在角的终边上，则角的最大负值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据三角函数的定义以及终边相同的角即可求解.

【详解】由题意可知点在第四象限，且，所以,

故当此时为最大的负值，

故选：C

9. 正实数x，y满足，则的最小值是（    ）

A. 3 B. 7 C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据基本不等式即可求解.

【详解】由得，所以，

由于，

由于 为正数，所以，当且仅当 时等号成立，

故选：C

10. 已知函数的定义域是R，值域为，则下列函数中值域也为的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据函数的定义及定义域求解即可.

【详解】根据函数的定义域为，值域为，

可知，的值域为，的值域为，

的值域为，的值域为，

故选：B

11. 下列命题中，正确的是（    ）

A. 第三象限角大于第二象限角

B. 若P(2a，a)是角终边上一点，则

C. 若、的终边不相同，则

D. 的解集为

【答案】D

【解析】

【分析】利用象限角的定义，结合反例即可判断AC,由三角函数的定义即可判断B,由正切函数的性质即可判断D.

【详解】对于A,若分别为第三象限以及第二象限的角，但是，故A错误，

对于B，，故B错误，

对于C，当时，，故C错误，

对于D，得，所以D正确，

故选：D

12. 已知函数则函数的零点个数是（    ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

【答案】C

【解析】

【分析】通过换元，，则可以转化为与的交点的个数，画出图像既可以解决.

【详解】设，则，

令，即，

转化为与的交点，画出图像如图所示：

由图像可知，，所以函数有一个解，

有两个解，故的零点个数是4个.

故选：

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对且没错选得2分，不选、错选得0分）

13. 已知是虚数单位，，复数是共轭复数，则下列结论正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】依题意可得，再根据复数代数形式的运算法则一一判断即可.

【详解】因为，复数是共轭复数,

所以，所以，故A正确；

，故B正确；

因为虚数不能比较大小，故C错误；

，故D正确；

故选：ABD

14. 给定数6，4，3，6，3，8，8，3，1，8，则这组数据的（    ）

A. 中位数为5 B. 方差为 C. 平均数为5 D. 85%分位数为8

【答案】ACD

【解析】

【分析】将数据从小到大排列，再求出平均数、中位数、方差及第分位数.

【详解】将数6，4，3，6，3，8，8，3，1，8按小到大的顺序排列为：

1,3,3,3,4,6,6,8,8,8则这组数据的中位数为，故A正确；

平均数为：，故C正确；

则方差，故B错误；

因为，所以第分位数是从小到大第9个数字为，故D正确，

故选：ACD

15. 已知向量，，则下列说法正确的是（    ）

A.  B. 向量在向量上的投影向量为

C.  D.

【答案】BD

【解析】

【分析】根据向量的数量积的坐标运算判断A，由投影向量的定义利用坐标运算即可判断B，根据垂直的数量积表示判断CD.

【详解】因为，，，

所以，故A错误；

向量在向量上的投影向量，故B正确；

因为，，

所以，故C错误；

因为，所以，故D正确.

故选：BD

16. 已知且，，则下列说法正确的是（    ）

A. 一条对称轴方程为

B. 时值域为

C. 的图像可由的图像向左平移个单位得到

D. 的一个对称中心为

【答案】AD

【解析】

【分析】根据代入求出，再利用诱导公式化简，最后根据正弦函数的性质一一分析即可.

【详解】因为且，

所以，

即，所以，

因为，所以，

所以

，

因为，所以一条对称轴方程为，故A正确；

当时，，所以，则，故B错误；

将的图像向左平移个单位得到，故C错误；

因为，所以的一个对称中心为，故D正确；

故选：AD

非选择题部分

三、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）

17. 计算__________，__________.

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】根据指数幂的运算法则及对数的运算法则计算可得.

【详解】，

.

故答案为：；

18. 一个袋中有6个大小形状完全相同的小球，其中黄色球有4个，红色球有2个，现在从中取出2个小球，则2个小球恰好一个红色一个黄色的概率为__________.

【答案】

【解析】

【分析】根据组合数公式及古典概型的概率公式计算可得.

详解】依题意将个黄色球看做不一样，个红色球也看做不一样，

从中取个球一共有种取法，

其中恰好一个红色一个黄色有种取法，所以概率.

故答案为：

19. 在矩形ABCD中，，，点M、N满足，，，则__________.

【答案】14

【解析】

【分析】根据向量的线性运算，由基底表示向量，由数量积的运算即可求解.

【详解】,

,所以,

故答案为：14

20. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是2，且所在的平面互相垂直.可以滚动的弹珠M，N分别从A，F出发沿对角线AC，FB匀速移动，已知弹珠N的速度是弹珠M的速度的3倍，且当弹珠N移动到B处时试验终止，则弹珠M，N间的最短距离是__________.

【答案】

【解析】

【分析】设出与长度，根据已知的面面垂直得到，再利用余弦定理与勾股定理求得的长度表达式，即可得到最小值.

【详解】过点M做MH垂直AB于H，连接NH，如图所示，

因为面面，面面，MH在面ABCD内，

，则面，面，所以.

由已知弹子N的速度是弹子M的速度的3倍，

设，则，

因为，为正方形，

，则，，

所以，

所以，，

由余弦定理可得

所以，

当时，，

所以,

故答案为：.

四、解答题（本大题共3小题，共33分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

21. 已知函数.

（1）求的最小正周期及其图象的对称轴方程；

（2）若，且，求的值.

【答案】（1）；   

（2）

【解析】

【分析】（1）先根据三角恒等变换，将原式化简整理，得到，再结合正弦函数的周期性和对称性，即可求出结果；

（2）先根据题中条件，确定，再由同角三角函数基本关系，以及诱导公式，即可求出结果.

【小问1详解】

因为 ，

所以的最小正周期为；

由可得，

即的对称轴为；

【小问2详解】

因，所以，

又，所以，

因此，

故.

22. 浙江某公司有甲乙两个研发小组，它们开发一种芯片需要两道工序，第一道工序成功的概率分别为和.第二道工序成功的概率分别为和.根据生产需要现安排甲小组开发芯片A，乙小组开发芯片B，假设甲、乙两个小组的开发相互独立.

（1）求两种芯片都开发成功的概率；

（2）政府为了提高该公司研发的积极性，决定只要有芯片研发成功就奖励该公司500万元，求该公司获得政府奖励的概率.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）分别计算甲乙小组研发成功的概率，再根据相互独立事件同时发生的概率求解；

（2）根据对立事件，计算甲乙小组同时研发不成功的概率，即可得解.

【小问1详解】

甲小组研发芯片A成功的概率为 ，乙小组研发芯片B成功的概率为，

由于甲、乙两个小组的开发相互独立,

所以两种芯片开发都成功的概率.

【小问2详解】

该公司获得政府奖励则需有芯片研发成功，

根据对立事件可知获奖的概率：

.

23. 已知函数，.

（1）若是奇函数，求a的值并判断的单调性（单调性不需证明）；

（2）对任意，总存在唯一的，使得成立，求正实数a的取值范围.

【答案】（1），在上单调递增   

（2）

【解析】

【分析】（1）函数为奇函数，举特例求出的值，再证明函数为奇函数，根据的正负，可观察出 在上单调性.

（2）由题意可知，而，分，， 讨论求解.

小问1详解】

∵为奇函数，

则，解得.

此时，

又，又的定义域为，

此时为奇函数

所以若为奇函数，，

当时，在上单调递增，

当时，在上单调递增，

又为定义在上的连续函数，

故在上单调递增.

【小问2详解】

当时，，∴

.

①当时，在上单调递增，∴，，∴.

②当时，在上单调递减，在上单调递增.

∴，，∴.

③当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.

∴，，不成立.

综上可知，.

【点睛】关键点点睛：本题中对任意，总存在唯一的，使得成立的理解及合理转化是解题的关键所在，先处理任意，求出函数的值域，为，则总存在唯一的，使得成立转化为值域包含且在时函数单调，据此可分类讨论，列出不等式求解.