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    浙江省丽水市2022-2023学年高二数学上学期期末试题(Word版附解析)
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    浙江省丽水市2022-2023学年高二数学上学期期末试题(Word版附解析)

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    这是一份浙江省丽水市2022-2023学年高二数学上学期期末试题(Word版附解析),共20页。试卷主要包含了01), 若圆与圆外切,则实数, 设,,,则, 下列求导数的运算正确的是等内容,欢迎下载使用。

    丽水市2022学年第一学期普通高中教学质量监控

    高二数学试题卷(2023.01

    一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)

    1. 已知过点的直线的倾斜角为60°,则实数a的值为(   

    A.  B.  C.  D.

    【答案】A

    【解析】

    【分析】根据斜率的定义求解.

    【详解】由题意,得,解得.

    故选:A.

    2. 已知等差数列的前项和为,则   

    A. 65 B. 75 C. 80 D. 85

    【答案】D

    【解析】

    【分析】根据等差数列的通项公式和求和公式可求出结果.

    【详解】设公差为

    依题意得,解得

    所以.

    故选:D

    3. 在平行六面体中,ACBD相交于的中点,设,则   

    A.  B.

    C.  D.

    【答案】C

    【解析】

    【分析】由空间向量的线性运算结合图形计算即可.

    【详解】 

    如图所示,

    故选:C

    4. 若圆与圆外切,则实数   

    A. 1 B. 1 C. 14 D. 4

    【答案】D

    【解析】

    【分析】由两圆的位置关系计算即可.

    【详解】由条件化简得,即两圆圆心为

    设其半径分别为,所以有.

    故选:D

    5. 已知直线与平面,下列四个命题中正确的是(   

    A. ,则

    B. ,则

    C. ,则

    D. 若直线上存在两点到平面的距离相等,则

    【答案】B

    【解析】

    【分析】根据线面垂直的判定定理可判断A;线面垂直的性质定理可判断B;线面平行的性质定理可判断C;线面关系可判断D.

    【详解】对于A,若,且相交才有,故A错误;

    对于B,若,则,故B正确;

    对于C,若,则,或异面,或a、b相交,故C错误;

    对于D,若直线上存在两点到平面的距离相等,则,或相交,故D错误.

    故选:B.

    6. 已知圆柱的底面半径和母线长均为1AB分别为圆、圆上的点,若,则异面直线所成的角为(   

    A.  B.  C.  D.

    【答案】B

    【解析】

    【分析】做平行线,将所求的异面直线夹角转化为同一平面内的直线夹角,

    构造三角形即可求解.

    【详解】

    如上图,过点A平面 的垂线,垂足为D,即AD是母线,连接DB

    平面, ,所以四边形是平行四边形,

    的所成的角就是或其补角;

    由题意可知AB=2AD=1

    在等腰 中,

    由余弦定理

    ,由于异面直线的夹角范围是 ,故取 的补角,

    故选:B.

    7. ,则(   

    A.  B.

    C.  D.

    【答案】B

    【解析】

    【分析】构造函数,利用导数分析这两个函数在上的单调性,可得出的大小关系,再利用对数函数的单调性可得出的大小关系,即可得出结论.

    【详解】因为

    ,则上恒成立,

    所以,函数上单调递增,则,即

    因为,则,所以,

    ,则,当时,

    所以,上单调递增,

    故当时,,即

    所以,,故

    又因为

    ,故

    故选:B.

    8. 在四面体PABC中,是边长为2的等边三角形,若二面角的大小为,则四面体的外接球的表面积为(   

    A.  B.  C.  D.

    【答案】C

    【解析】

    【分析】先根据题意,作出四面体的外接球的球心大致位置,再根据二面角的定义求得,从而在中求得,结合勾股定理即可求得外接球的半径,由此得解.

    【详解】设正的重心为,则是正的外接圆的圆心,

    的中点 因为,所以的外接圆的圆心,

    平面,过平面,如图

     

    为四面体的外接球的球心,

    又二面角的大小为,则

    又在正中,

    则在中,

    设四面体PABC的外接球的半径为

    所以四面体PABC的外接球的表面积为.

    故选:C.

    二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,至少有两个是符合题目要求的,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分)

    9. 下列求导数的运算正确的是(   

    A.  B.

    C.  D.

    【答案】AC

    【解析】

    【分析】根据基本初等函数的导数和求导法则,逐一对各个选项分析判断即可得出结果.

    【详解】选项A,根据基本初等函数及导数的求导法则知,,选项A正确;

    选项B,因为常数,所以,选项B错误;

    选项C,根据基本初等函数及导数的求导法则知,,选项C正确;

    选项D,根据复合函数的求导法则知,,选项D错误.

    故选:AC.

    10. 设正项等比数列的前项和为,前项积为,公比为,已知,则下列结论正确的是(   

    A.

    B. 为递增数列,则

    C.

    D. 为递减数列,当且仅当时,取得最大值

    【答案】BC

    【解析】

    【分析】结合题意,利用等比数列的性质逐项进行求解即可.

    【详解】因为数列为等比数列,所以,又因为

    所以

    时,则,解得(舍去),

    时,则,解得(舍去),

    综上,故选项A错误,C正确;

    为递增数列,则

    ,故,故选项B正确;

    为递减数列,则

    故当且仅当时,取得最大值,故选项D错误;

    故选:BC.

    11. 在棱长为2的正方体中,分别是棱BC的中点,点满足,下列结论正确的是(   

    A. ,则平面MPQ

    B. ,则过点的截面面积是

    C. ,则点到平面MPQ的距离是

    D. ,则AB与平面MPQ所成角的正切值为

    【答案】BD

    【解析】

    【分析】时有MA重合,对于A选项,可以利用反证法判定;对于B选项,根据平面的性质计算即可;时,MAB中点,对于CD选项,建立合适的空间直角坐标系,利用空间向量处理即可.

    【详解】如图所示,时有MA重合,

    对于A选项,延长PQBB1L,连接AL,易得平面平面MPQ=AL,若平面MPQ,则,显然,且BL不重合,矛盾,故A错误;

    对于B项,连接AD1D1Q,易知平面APQD1即该截面,显然该截面为等腰梯形,易得,故B正确;

     

    如图所示,时,MAB中点,以D为中心建立空间直角坐标系,

    设平面MPQ法向量为,则

    ,则,故

    对于C项,设点到平面MPQ的距离为,则,即C错误;

    对于D项,设AB与平面MPQ所成角为,则

    所以,即D正确.

    故选:BD


     

    12. 已知抛物线,点,过点的直线与抛物线交于两点,APAQ分别交抛物线N两点,为坐标原点,则(   

    A. 焦点坐标为 B. 向量的数量积为5

    C. 直线MN的斜率为 D. 若直线PQ过焦点,则OF平分

    【答案】BCD

    【解析】

    【分析】由抛物线方程即可判定A项;设直线AP方程与抛物线联立利用韦达定理计算数量积即可判定B项;设直线PQ方程及PQ坐标,用来表示直线APAQ,并与抛物线联立求得MN坐标,即可判定C项;设直线PQ方程及PQ坐标,与抛物线联立结合韦达定理求得APAQ斜率关系即可判定D.

    【详解】 

    对于A项,由抛物线标准方程可得焦点,即A错误;

    对于B项,可设直线AP方程为:,设

    与抛物线联立可得

    ,故B正确;

    对于C项,可设直线QP方程为:

    直线QP方程与抛物线方程联立

    化简可得

    又由上可知,同理有

    ,故C正确;

    对于D项,由上设直线QP方程为:

    联立抛物线有

    PQ过焦点F,则有,即结合上,及可知

    此时,即直线APQA关于横轴对称,OF平分,故D正确.

    故选:BCD

    三、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)

    13. 已知点,向量,则点的坐标为______

    【答案】

    【解析】

    【分析】由向量的坐标运算计算即可.

    【详解】,则

    ,故.

    故答案为:

    14. 在平面直角坐标系中,已知点,点在圆上运动,则线段AP的中点的轨迹方程是______

    【答案】

    【解析】

    【分析】由几何性质计算即可.

    【详解】 

    如图所示,取OA中点D,连接DQ,则DQ的一条中位线,

    即有DQOP,且,故Q在以D为圆心,DQ长为半径的圆上,

    所以Q的轨迹方程为.

    故答案为:.

    15. 若曲线处的切线经过点,则实数______

    【答案】##-0.5

    【解析】

    【分析】根据导数的几何意义得到切线斜率,然后利用点斜式写出切线方程,最后将点代入切斜方程求解即可.

    【详解】由题意得,所以曲线处的切线的斜率为,切点为,则切线方程为

    将点代入切线方程中可得:,解得.

    故答案为:.

    16. 一个圆锥母线与底面所成的角为,体积为,过圆锥顶点的平面截圆锥,则所得截面面积的最大值为______

    【答案】8

    【解析】

    【分析】设圆锥的顶点为,底面圆心为,过圆锥顶点的平面截圆锥所得截面为,根据,圆锥体积为,求出,再用表示截面面积,根据二次函数知识可求出结果.

    【详解】设圆锥的顶点为,底面圆心为,过圆锥顶点的平面截圆锥所得截面为

    的中点,则

     

    则圆锥的体积为

    由题意得,解得

    所以

    因为

    所以当时,取得最大值为.

    故答案为:.

    17. 某牧场今年年初牛的存栏数为1200,预计以后每年存栏数的增长率为10%,且在每年年底卖出100牛.设牧场从今年起,第年年初的存栏数为,则______.(

    【答案】1472

    【解析】

    【分析】根据条件建立等量关系,构造新数列求通项即可.

    详解】由题意可得,所以

    .

    故答案为:1472.

    18. 已知椭圆的右焦点为,点在椭圆上,为坐标原点,且,则椭圆的离心率是______

    【答案】

    【解析】

    【分析】根据题意,由条件可得为直角三角形,再结合椭圆的定义列出方程,由离心率的计算公式即可得到结果.

    【详解】 

    设椭圆的左焦点为,设

    因为,所以为直角三角形且

    因为,所以

    因为,所以

    所以,解得

    所以,所以,所以

    即椭圆的离心率是.

    故答案为:.

    四、解答题(本大题共5小题,每小题12分,共60分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

    19. 已知函数

    1求函数的单调递减区间;

    2若函数有三个零点,求的取值范围.

    【答案】1   

    2

    【解析】

    【分析】1)对函数直接求导,根据导数正负与原函数单调性关系直接求解即可;

    2)根据(1)中单调性得到函数极大值与极小值,通过变化趋势列出不等式组求解即可.

    【小问1详解】

    函数的导数

    时,

    时,.

    所以的单调递减区间为.

    【小问2详解】

    由(1)得:当时,取得极大值

    时,取得极小值.

    由三次函数性质知:当时,

    时,.

    所以若有三个零点,则,解得.

    所以的取值范围为.

    20. 已知圆经过点,且圆关于直线对称.

    1求圆的方程;

    2过点作直线与圆相切,求直线的方程.

    【答案】1   

    2.

    【解析】

    【分析】1)由题意可知圆心为AB中垂线与的交点,计算圆心再求半径,由圆的标准方程表示即可;

    2)分类讨论,设切线方程,由圆心到切线的距离等于半径计算即可.

    【小问1详解】

    ,故AB的中点坐标为

    AB的垂直平分线为:

    解得圆心,半径

    故圆的方程为

    小问2详解】

    若直线的斜率存在,方程可设为,即

    圆心到直线的距离为,解得

    所求的一条切线为

    当直线的斜率不存在时,圆心的距离为4,即与圆相切,

    所以直线的方程为

    21. 设正项数列的前项和为

    1求数列的通项公式;

    2,求数列的前项和

    【答案】1   

    2

    【解析】

    【分析】1)根据推出,再由等差数列的通项公式可求出结果;

    2)根据错位相减法可求出结果.

    【小问1详解】

    时,,得

    时,

    化简得

    ,所以

    所以数列是首项为1,公差为2的等差数列,

    所以

    【小问2详解】

    因为

    所以

    所以

    所以

    所以

    整理得.

    22. 如图,在四边形ABCD中(如图1),F分别是边BDCD上的点,将沿BC翻折,将沿EF翻折,使得点与点重合(记为点),且平面平面BCFE(如图2

     

    1求证:

    2求二面角的余弦值.

    【答案】1证明见解析   

    2

    【解析】

    【分析】1)根据题意,由面面垂直的性质定理可得平面PBC从而可得.

    2)根据题意,取BC中点,连接PO,以为原点,CBCF所在直线分别为轴,轴建立空间直角坐标系,然后由空间向量的坐标运算即可得到结果.

    【小问1详解】

    证明:平面平面

    平面平面BCFE,又平面BCFE,且

    平面PBC,且平面

    【小问2详解】

    BC中点,连接PO

    平面平面,平面平面平面

    平面BCFE

    为原点,CBCF所在直线分别为轴,轴建立如图所示的空间直角坐标系,

     

    ,则,设

    ,解得,所以

    ,由,解得

    ,则

    平面BEF的一个法向量,设平面PEF的一个法向量

    ,令,得

    设二面角的平面角为,易知为锐角,则

    二面角的余弦值为

    23. 已知双曲线,在双曲线右支上存在不同于点的两点,记直线的斜率分别为,且成等差数列.

    1的取值范围;

    2的面积为为坐标原点),求直线的方程.

    【答案】1   

    2

    【解析】

    【分析】1)设,直线,代入双曲线方程,根据,根据以及斜率公式推出,代入可求出结果;

    2)利用弦长公式求出,利用点到直线距离公式求出点到直线的距离,再利用三角形面积列式求出可得直线的方程.

    【小问1详解】

    ,直线

    ,消去,

    依题意可得,得

    成等差数列,

    所以

    所以

    因为不同于,即不在直线上,

    所以,即

    所以,即,即

    所以,即,代入,得

    ,因为,所以,即

    所以.

    【小问2详解】

    到直线PQ的距离

    所以

    两边平方得

    ,代入

    ,因为,所以

    代入得,整理得

    所以,解得

    由(1)知,,所以,,

    时,,直线的方程为

    时,,直线的方程为

    综上所述:直线PQ方程为.

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