2023年广东省东莞市中考数学三模试卷（含解析）

2023年广东省东莞市中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  年卡塔尔世界杯比赛用球由中国制造，如图，检测个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  今年“五一”假期，我市某主题公园共接持游客人次，用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  有一组数据：，，，，，，，下列结论错误的是(    )

A. 众数为 B. 中位数为 C. 平均数为 D. 极差是

5.  计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  不等式的解集是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  在不透明的布袋中装有个红球，个白球，个黑球，它们除颜色外完全相同，从袋中任意摸出一个球，摸出的球是红球的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在中，弦，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，正方形的边长为，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在长方形中，，，动点沿折线从点开始运动到点设运动的路程为，的面积为，那么与之间的函数关系的图象大致是(    )
 

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）

11.  关于原点的对称点的坐标是______ ．

12.  一个正边形的一个外角是，那么 ______ ．

13.  若与是同类项，则 ______ ．

14.  若，则的值为______ ．

15.  如图，沿折叠矩形纸片，使点落在边的点处已知，，则 ______ ．

16.  如图，点是反比例函数上的一点，过点作轴，垂足为点，交反比例函数的图象于点，点是轴上的动点，则的面积为______．

17.  如图，，分别是正方形的边，上的点，且，与相交于下列结论：且；；；连接，当为边的中点时，值为，其中正确的结论有______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

18.  某校开展了“互助、平等、感恩、和谐、进取”主题班会活动，活动后，就活动的个主题进行了抽样调查每位同学只选最关注的一个，根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息，解答下列问题：

这次调查的学生共有多少名？
请将条形统计图补充完整，并在扇形统计图中计算出“进取”所对应的圆心角的度数．
如果要在这个主题中任选两个进行调查，根据中调查结果，用树状图或列表法，求恰好选到学生关注最多的两个主题的概率将互助、平等、感恩、和谐、进取依次记为、、、、．

四、解答题（本大题共7小题，共54.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：．

20.  本小题分
先化简，后求值：，从，，，选一个合适的值，代入求值．

21.  本小题分
如图，已知在中，，．
用尺规作边的垂直平分线；保留作图痕迹，不写作法
若边的垂直平分线交于、交于；连接，求的周长．

22.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函的图象交于点，．
求一次函数和反比例函数的表达式；
请根据函数图象直接写出关于的不等式的解．
连接，，求的面积．

23.  本小题分
为响应垃圾分类的要求，营造干净整洁的学习生活环境，创建和谐文明的校园环境．工大附中准备购买、两种分类垃圾桶，通过市场调研得知：种垃圾桶每组的单价比种垃圾桶每组的单价少元，且用元购买种垃圾桶的组数量是用元购买种垃圾桶的组数量的倍．
求、两种垃圾桶每组的单价分别是多少元；
该学校计划用不超过元的资金购买、两种垃圾桶共组，则最多可以购买种垃圾桶多少组？

24.  本小题分
如图，是的直径，是的中点，于，过点作的平行线，连接并延长与相交于点．
求证：是的切线；
若，，求的值．

25.  本小题分
如图，已知一次函数的图象经过，两点，且与轴交于点，二次函数的图象经过点，，连接．
求一次函数和二次函数的解析式．
求的正弦值．
在点右侧的轴上是否存在一点，使得与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，，且．
离标准最近．
故选：．
先比较各个数的绝对值，绝对值最小的数，表示它离标准最近．
本题考查了正、负数和绝对值，理解绝对值表示的意义是解决本题的关键．要注意从轻重的角度看，最接近标准的是绝对值最小的数．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种表示数的方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．
本题考查科学记数法表示较大的数，科学记数法是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．
【解答】
解：是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
【点评】
本题考查轴对称图形与中心对称图形的知识，关键是掌握轴对称图形与中心对称图形的概念．判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，沿对称轴折叠后图形两部分可重合；判断中心对称图形的关键是寻找对称中心，图形旋转后与原图重合．  

4.【答案】 

【解析】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：，，，，，，，
则众数为：和，
中位数为：，
平均数为：，
极差为：．
故选：．
根据极差、平均数、中位数、众数的概念求解．
本题考查了极差、平均数、中位数、众数的知识，解答本题的关键是掌握各知识点的概念．
 

5.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
利用幂的乘方的法则进行运算即可．
本题主要考查幂的乘方，解答的关键是对幂的乘方的法则的掌握．
 

6.【答案】 

【解析】解：不等式，
系数化为得：．
故选：．
不等式系数化为，即可求出解集．
此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：在不透明的布袋中装有个红球，个白球，个黑球，
从袋中任意摸出一个球，摸出的球是红球的概率是：．
故选：．
由在不透明的布袋中装有个红球，个白球，个黑球，利用概率公式直接求解即可求得答案．
此题考查了概率公式的应用．注意概率所求情况数与总情况数之比．
 

8.【答案】 

【解析】解：由圆周角定理得：，
，
，
故选：．
先根据圆周角定理求出的度数，再根据两直线平行，内错角相等即可得出的度数．
本题考查了圆周角定理和平行线的性质．熟记圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
 

9.【答案】 

【解析】解：是等腰直角三角形，
，，
，
，
即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
根据等腰直角三角形的性质结合勾股定理以及三角形的面积公式可得出部分、、、的值，根据面积的变化即可找出变化规律“，依此规律即可解决问题．
本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质、正方形的面积以及规律型中数字的变化类，根据面积的变化找出变化规律“是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
由题意当时，，当时，由此即可判断．
【解得】
解：由题意当时，，
当时，．
故选：．  

11.【答案】 

【解析】解：根据关于原点对称的点的坐标的特点，
点关于原点过对称的点的坐标是．
故答案为：．
根据“平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答．
本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特点，比较简单．
 

12.【答案】 

【解析】解：正边形的一个外角是，边形的外角和为，
．
故答案为：．
由正边形的一个外角是，边形的外角和为，即可求得的值．
此题考查了正边形的性质与多边形的外角和定理．此题比较简单，注意掌握多边形的外角和为．
 

13.【答案】 

【解析】解：与是同类项，
，，
．
故答案为：．
根据所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，得出，的值，进而得出答案．
本题主要考查的是同类项的定义，熟练掌握同类项的概念是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
先将化简，再将代入即可求解．
本题考查代数式求值，解题的关键是对代数式进行化简．
 

15.【答案】 

【解析】解：四边形为矩形，
，，，
根据折叠的性质可得，，，
，
，
，
，
，
在中，，即，
解得：．
故答案为：．
由折叠可知，，进而得到，由同角的余角相等可得，则，在中，，以此即可求解．
本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、解直角三角形，解题关键是利用矩形和折叠的性质推理论证得出，进而利用锐角三角函数解决问题．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，连接、、，

轴，
，，
，
故答案为：．
连接、、，由于轴，根据三角形的面积公式以及反比例函数比例系数的几何意义得到，，然后利用进行计算．
本题考反比例函数的几何意义．解本题熟练掌握反比例函数的几何意义．
 

17.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，．
，
．
在和中，
，
≌．
，故正确．
≌，
．
，
，
，即，故正确．
≌，
．
，，即，故正确．
如图过点作，交于点，连接，
在正方形中，
，
四边形为矩形，
，
在中，
为钝角，
不是以点为顶点的等腰，
，
即，
故错误．
如图，连接，延长使，交延长线于点，过点作交于点，
是边的中点，
，
在和中，
，
≌，
所以，
点、、共线，

设边，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，，
在中，，
，
在中，，
故正确．
故答案为：．
根据正方形中的十字架模型找出全等三角形，利用对应边相等，对应角相等推出结论；
根据全等三角形面积相等，再减去共同的面积后面积仍相等推出结论；
过点作，交于点，连接，判断形成的三角形是否可以是以点为顶点的等腰三角形，推出结论；
利用平行线线段中点构造全等三角形，解出其中的直角三角形，得出结论．
本题以几何为背景考查了正方形模型、直角三角形、全等三角形的性质，考查学生对辅助线和三角函数的灵活运用．本题综合性较强，掌握全等三角形的判定与性质，倍长中线，三角函数的运用是解决问题的关键．
 

18.【答案】解：名，
答：这次调查的学生共有名；
名，名，
补全条形统计图，如图所示，
根据题意得：，，
答：“进取”所对应的圆心角是；
由中调查结果知：学生关注最多的两个主题为“进取”和“感恩”用列表法为：

用树状图为：

共种情况，恰好选到“”和“”有种，
恰好选到“进取”和“感恩”两个主题的概率是． 

【解析】根据“平等”的人数除以占的百分比得到调查的学生总数即可；
求出“互助”与“进取”的学生数，补全条形统计图，求出“进取”占的圆心角度数即可；
列表或画树状图得出所有等可能的情况数，找出恰好选到“”与“”的情况数，即可求出所求的概率．
此题考查了列表法与树状图法，扇形统计图，以及条形统计图，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

19.【答案】解：


． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

20.【答案】解：

，
，，，
，，，
当时，
原式
． 

【解析】先通分，把能分解的进行分解，除法转为乘法，再约分，再考虑分母不能为，从中先取合适的数运算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握，并明确分母不能为．
 

21.【答案】解：如图，即为所求；

是边的垂直平分线，
，
，，
的周长． 

【解析】利用基本作图作的垂直平分线即可；
根据线段垂直平分线的性质得到，然后利用等线段代换得到的周长；
本题考查了作图基本作图，熟练掌握种基本作图是解决此类问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质．
 

22.【答案】解：点，在反比例函数的图象上，
．
，，
反比例函数表达式为，点的坐标为．
点和在一次函数的图象上，
，解得，
一次函数表达式为；

由图象可知，关于的不等式的解为或；
是直线与轴的交点，
当时，．
点．
．
． 

【解析】利用待定系数法即可求得；
通过观察图象即可求得；
把三角形的面积看成是三角形和三角形的面积之和进行计算．
本题主要考查了一次函数和反比例函数的交点问题，函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，数形结合是解题的关键．
 

23.【答案】解：设种垃圾桶每组的单价为元，则种垃圾桶每组的单价为元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：种垃圾桶每组的单价为元，种垃圾桶每组的单价为元．
设购买种垃圾桶组，则购买种垃圾桶组，
依题意得：，
解得：，
又为正整数，
的最大值为．
答：最多可以购买种垃圾桶组． 

【解析】设种垃圾桶每组的单价为元，则种垃圾桶每组的单价为元，利用数量总价单价，结合用元购买种垃圾桶的组数量是用元购买种垃圾桶的组数量的倍，列出分式方程，解之经检验后即可得出结论；
设购买种垃圾桶组，则购买种垃圾桶组，利用总价单价数量，结合总价不超过元，列出一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再取其中的最大整数值即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

24.【答案】证明：连接交于点，
是的中点，
垂直平分，
，
，
是的半径，且，
是的切线．
解：是的直径，
，
，，
，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
的值是． 

【解析】连接交于点，由是的中点，根据垂径定理得垂直平分，因为，所以，即可证明是的切线；
由是的直径，得，可证明四边形是矩形，由得，则，而，所以，则，所以，，即可求得．
此题重点考查切线的判定、圆周角定理、垂径定理、勾股定理、平行线的性质、矩形的判定、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 

25.【答案】解：将，代入，
，
解得，
，
令，则，
，
将，代入，
，
解得，
；
过点作交于，
，，
，
，
，
，
，
，
；
存在点，使得与相似，理由如下：
点在点右侧，
，
，
或，
当时，∽，
，
，，，
，
；
当时，∽，
，
，
；
综上所述：点坐标为或． 

【解析】用待定系数法求函数的解析式即可；
过点作交于，分别求出，，即可求；
分两种情况讨论：当时，∽，可求；当时，∽，可求．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角函数值定义，三角形相似的判定及性质是解题的关键．