2023年湖北省黄冈市、孝感市、咸宁市中考数学适应性试卷（含解析）

2023年湖北省黄冈市、孝感市、咸宁市中考数学适应性试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  原子钟是以原子的规则振动为基础的各种守时装置的统称，其中氢脉泽钟的精度达到了年误差不超过秒数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图为两直线、与相交的情形，其中、分别与、平行．根据图中标示的角度，求的度数为何？(    )

A.
B.
C.
D.

4.  如图是由一个长方体和一个圆锥组成的几何体，它的主视图是(    )

 

A.  B.
C.  D.

5.  如图，内接于，是的直径，若，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  关于的一元二次方程有两根，其中一根为，则这两根之积为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  点，都在二次函数的图象上．若，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，将矩形沿着、、翻折，使得点、、恰好都落在点处，且点、、在同一条直线上，同时点、、在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：；；；；∽．
其中正确的是(    )
 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.  已知，，则          ．

10.  已知点在一次函数的图象上，则代数式的值等于______ ．

11.  如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、作直线，交于点，交于点，连接若，，，则的周长为______ ．

12.  在数据的分析章节测试中，“勇往直前”学习小组位同学的平均成绩是，其各人成绩分别是，，，，，，则这组数据的中位数是______ ．

13.  关于的方程的解是正数，则的取值范围是          ．

14.  如图，海中有一个小岛，一艘轮船由西向东航行，在点处测得小岛在它的北偏东方向上，航行海里到达点处，测得小岛在它的北偏东方向上，那么小岛到航线的距离等于______海里．

15.  斛是中国古代的一种量器．据汉书律历志记载：“斛底，方而圜其外，旁有庣焉．”意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆．”如图所示．问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸即尺，“庣旁”为两寸五分即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为尺，则此斛底面的正方形的边长为          尺．

16.  某民房发生火灾．两幢大楼的部分截面及相关数据如图，小明在甲楼处透过窗户发现乙楼处出现火灾，此时，，在同一直线上．跑到一楼时，消防员正在进行喷水灭火，水流路线呈抛物线，在高的处喷出，水流正好经过，若点和点、点和点的离地高度分别相同，现消防员将水流抛物线向上平移，再向左后退______，恰好把水喷到处进行灭火．

三、计算题（本大题共2小题，共14.0分）

17.  先化简，再求值：，其中．

18.  某体育用品商场采购员要到厂家批发购进篮球和排球共只，付款总额不得超过 元．已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如右表，试解答下列问题：

该采购员最多可购进篮球多少只？
若该商场把这只球全部以零售价售出，为使商场获得的利润不低于元，则采购员至少要购篮球多少只，该商场最多可盈利多少元？

四、解答题（本大题共6小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
为落实“双减提质”，进一步深化“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，某学校拟开展“双减”背景下的初中数学活动型作业成果展示现场会，为了解学生最喜爱的项目，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：

根据以上信息，解答下列问题：
参与此次抽样调查的学生人数是______人，补全统计图要求在条形图上方注明人数；
图中扇形的圆心角度数为______度；
若参加成果展示活动的学生共有人，估计其中最喜爱“测量”项目的学生人数是多少；
计划在，，，，五项活动中随机选取两项作为直播项目，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中，这两项活动的概率．

20.  本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，并与轴交于点，点是线段上一点，连结、，且：：．
求一次函数与反比例函数解析式；
求点的坐标；
若将绕点逆时针旋转，得到，其中点落在轴的正半轴上，判断点是否落在反比例函数图象上，并说明理由．

21.  本小题分
已知：如图，圆是的外接圆，平分．
求证：是等腰三角形；
当，，求边的长．

22.  本小题分
某市某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查，这两种蔬菜的进价和售价如表所示：

该超市购进甲种蔬菜和乙种蔬菜需要元；购进甲种蔬菜和乙种蔬菜需要元求，的值；
该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共进行销售，其中甲种蔬菜的数量不少于，且不大于实际销售时，由于多种因素的影响，甲种蔬菜超过的部分，当天需要打折才能售完，乙种蔬菜能按售价卖完求超市当天售完这两种蔬菜获得的利润额元与购进甲种蔬菜的数量之间的函数关系式，并写出的取值范围；
在的条件下，超市在获得的利润额元取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出元，乙种蔬菜每千克捐出元给当地福利院，若要保证捐款后的盈利率不低于，求的最大值精确到十分位．

23.  本小题分
【问题背景】如图，在中，，于，求证：∽；
【变式迁移】如图，已知，为上一点，且，若，求的值；
【拓展创新】如图，四边形中，，，为边上一点，且，，直接写出的值．

 

24.  本小题分
如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，且．
求二次函数的解析式；
如图，过点作轴交二次函数图象于点，是二次函数图象上异于点的一个动点，连接、，若，求点的坐标；
如图，若点是二次函数图象上位于下方的一个动点，连接交于点设点的横坐标为，试用含的代数式表示的值，并求的最大值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定的值以及的值．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数绝对值时，是负整数．
【解答】
解：，
故选B．  

2.【答案】 

【解析】

【分析】
利用合并同类项，同底数幂的乘除法以及积的乘方法则进行判断即可．
【解答】
解：，因此选项A不符合题意；
，因此选项B不符合题意；
，因此选项C符合题意；
，因此选项D不符合题意．
故选C．
【解答】
本题考查合并同类项，同底数幂的乘除法以及积的乘方的计算方法，掌握计算法则是解题关键．  

3.【答案】 

【解析】解：因为、分别与、平行，
所以，，
所以，，
所以．
故选：．
由两直线平行，同旁内角互补可得出和的度数，再根据三角形内角和可得出的度数．
本题主要考查平行线的性质，三角形内角和定理等知识，根据两直线平行，同旁内角互补得出和的度数是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：从正面看，“底座长方体”看到的图形是矩形，“上部圆锥体”看到的图形是等腰三角形，因此选项C的图形符合题意，
故选：．
根据简单几何体的主视图的画法，利用“长对正”，从正面看到的图形．
本题考查简单几何体的三视图的画法，画三视图时要注意“长对正、宽相等、高平齐”．
 

5.【答案】 

【解析】解：连接，

是的直径，
，
，
，
，
故选：．
连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可求出的度数，然后利用同弧所对的圆周角相等即可解答．
本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：方程的其中一个根是，
，解得，
两根的积为，
两根的积为，
故选：．
直接把代入一元二次方程即可求出的值，根据根与系数的关系即可求得．
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：，是一元二次方程的两根时，，．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据已知列出关于的不等式．
根据列出关于的不等式即可解得答案．
【解答】
解：点，都在二次函数的图象上，
，
，
，
，
，
即，
．  

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理以及相似三角形的判定，熟练运用折叠的性质进行线段和角度的转换是解题的关键．
根据折叠的性质，推出，，得到可判断；设，，表示出相关线段的长度，在中，利用勾股定理推出可判断，再进一步在中，设，利用勾股定理推出，从而可进一步判断；假定∽，列出比例式，通过计算得出比例式不成立，即可判断．
【解答】
解：由折叠性质可得：，，，
，，，，
，，
，
，故正确；
设，，则，，
，
在中，，
，解得：，
，故错误；
在中，设，则，
，解得：，
，，
在中，，
，，故正确；
若∽，则，
而，，，，
∽是错误的，故错误；
综上，正确的是，
故选：．  

9.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了平方差公式，正确将原式变形是解题关键．
直接利用平方差公式将原式变形，代入得出答案．
【解答】
解：，，



．
故答案为：．  

10.【答案】 

【解析】解：点在一次函数的图象上，
，
，
故答案是：．
直接把点代入一次函数，求出的值，代入代数式进行计算即可．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
垂直平分，
，
的周长是，
，
，，
，
的周长是，
故答案为：．
根据题意可知垂直平分，即可得到，然后即可得到，从而可以求得的周长．
本题考查线段垂直平分线的性质，三角形的周长，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

12.【答案】 

【解析】解：学习小组位同学的平均成绩是，
，
解得，
把数据按由小到大的顺序排序：，，，，，，
中位数为：．
故答案为：．
先根据平均成绩求出，然后根据中位数的定义求解即可．
本题考查了算术平均数以及中位数，将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
 

13.【答案】且 

【解析】

【分析】
先去分母得，可解得，由于关于的方程的解是正数，则并且，即且，解得且．
本题考查了分式方程的解：先把分式方程化为整式方程，解整式方程解分式方程要记得检验是否为增根．
【解答】
解：去分母得，
解得，
关于的方程的解是正数，
且，
且，解得且，
的取值范围是且．
故答案为：且．  

14.【答案】 

【解析】解：过点作交的延长线于点，
由题意得：海里，，，
，
，
海里，
在中，，
海里，
即小岛到航线的距离是海里，
故答案为：．
过点作交的延长线于点，根据三角形的外角性质得，由等腰三角形的判定得，再由锐角三角函数定义求出的长即可．
本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，掌握方向角的概念，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，

四边形为正方形，
，，
为内圆直径，，
由题意得：尺，
尺，
尺．
故答案为：．
根据正方形性质确定为等腰直角三角形，为内圆直径，根据题意求出正方形外接圆的直径，求出，问题得解．
本题考查了正方形外接圆的性质，等腰直角三角形性质，解题关键是判断出正方形对角线为其外接圆直径．
 

16.【答案】 

【解析】解：由图可知：，，，，
点和点、点和点的离地高度分别相同，
，
设的直线解析式为，
，
，
，
，，在同一直线上．
，
设过，，三点的抛物线为，
，
，
水流抛物线向上平移，设向左退了米，
，
设平移后的抛物线为，经过点，
或舍，
向后退了米．
故答案为．
设的直线解析式为，将点与代入求解析式，能求出点坐标；设过，，三点的抛物线为，求出抛物线；水流抛物线向上平移，设向左退了米，设平移后的抛物线为，将代入求出即可；
本题考查二次函数与一次函数的综合应用，二次函数的实际应用；熟练利用代入系数法求解函数的表达式，设出平移后的函数表达式是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式，
当时，
原式． 

【解析】将括号里先通分，除法化为乘法，化简，再代值计算．
本题考查了分式的化简代值计算，二次根式的化简．关键是按照分式混合运算的步骤解题．
 

18.【答案】解：设采购员最多可购进篮球只，则排球是只，
依题意得
解得
是整数

答：购进篮球和排球共只时，该采购员最多可购进篮球只．

设篮球只，则排球是只，
则，由得，，由得，，
篮球的利润大于排球的利润，因此这只球中，当篮球最多时，商场可盈利最多，
故篮球只，此时排球只，商场可盈利元．
即该商场可盈利元． 

【解析】首先设采购员最多购进篮球，排球只，列出不等式方程组求解；
如图看图可知篮球利润大于排球，则可推出篮球最多时商场盈利最多．
本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．要注意本题的中的不等关系是“付款总额不得超过 元”．
 

19.【答案】解：，；

；
人，
答：参加成果展示活动的名学生中，最喜爱“测量”项目的学生大约有人；
在，，，，五项活动中随机选取两项，所有可能出现的结果如下：

共有种可能出现的结果，其中恰好选中，这两项活动的有种，
所以恰好选中，这两项活动的概率为． 

【解析】解：调查学生总数为人，
选择“数学园地设计”的有人，
故答案为：，补全统计图如下：

，
故答案为：；
人，
答：参加成果展示活动的名学生中，最喜爱“测量”项目的学生大约有人；
在，，，，五项活动中随机选取两项，所有可能出现的结果如下：

共有种可能出现的结果，其中恰好选中，这两项活动的有种，
所以恰好选中，这两项活动的概率为．
从两个统计图中可得样本中选择“七巧板”的有人，占调查人数的，根据频率即可求出答案，进而补全条形统计图；
求出扇形所占的百分比，即可求出相应的圆心角的度数；
求出样本中参与“测量”所占的百分比，进而估计总体中“测量”的百分比，求出相应人数即可；
用列表法表示所有可能出现的结果，进而求出相应的概率即可．
本题考查扇形统计图、条形统计图，列表法或树状图法求简单随机事件的概率，理解条形统计图、扇形统计图中数量之间的关系以及列举出所有可能出现的结果是正确解答的前提．
 

20.【答案】解：将点代入，
得，
解得，
将点代得，，
，
一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；
如图，过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，

，
，
点的坐标为，
，
，
点在第三象限，
点的纵坐标为，
把代入中，
得，
点；
由题意可知，，如图，过点作轴于点，

把代入得，，解得，
，
，
，
，即，
，
在中，
，
点坐标，
，
点不在函数的图象上． 

【解析】将点分别代入一次函数和反比例函数求解可得：
过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，根据面积的比得到和的比，求出的长，即点纵坐标，从而求解；
根据旋转的性质得到，求出的长，进而求得点的坐标，判断是否在反比例函数图象上．
本题是反比例函数的综合题，主要考查了待定系数法求反比例和一次函数表达式、直角坐标系内三角形面积的计算、反比例函数上点的性质，解题关键是能够将面积的关系转化到线段之间的关系，从而求出所需要点的坐标．
 

21.【答案】解：连接、，
，平分，
，
在和中，
，
≌，

即是等腰三角形；

延长交于点，
平分，，
，，
设，，
，，，，
，
解得，，
． 

【解析】连接、，先证明，再证明≌得，问题得证；
延长交于点，先证明，，设，，根据，，由勾股定理列出、的方程组，解得、，便可得．
本题是圆的一个综合题，主要考查了圆的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，第关键在证明三角形全等；第题关键由勾股定理列出方程组．
 

22.【答案】解：由题意可得，
，解得，
答：的值是，的值是；
当时，
，
当时，
，
由上可得，；
当时，，则当时，取得最大值，此时，
当时，，则，
由上可得，当时，取得最大值，此时，
在的条件下，超市在获得的利润额元取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出元，乙种蔬菜每千克捐出元给当地福利院，且要保证捐款后的盈利率不低于，
，
解得，
即的最大值是． 

【解析】根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得、的值；
根据题意，利用分类讨论的方法可以求得与的函数关系式；
根据中的条件，可以求得的最大值，然后再根据题意，即可得到关于的不等式，即可求得的最大值，本题得以解决．
本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和方程的知识解答．
 

23.【答案】解：，，
，
，，
，
∽；
如图，过点作于点，

则，
，，
，
，，
，
，
，
，
∽，
，
又，
，
；
如图，过点作于点，延长，相交于点，

，，
，
设，则，，
，，，
，
，
，
，
在与中，
，
≌，
，，
，，
，
，，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
∽，
． 

【解析】利用同角的余角相等得，即可证明结论；
过点作于点，利用两个角相等证明∽，得，从而得出答案；
过点作于点，延长，相交于点，设，则，，首先利用证明≌，得，，再根据∽，得，，最后根据∽，进而解决问题．
本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，利用前面探索的结论和方法解决新问题是解题的关键．
 

24.【答案】解：，
，
，
，
，
点，
设二次函数的解析式为：，
，
，
；
设点，

如图，当点在第三象限时，作交于，
，，
直线的解析式为：，
当时，，
，
，
抛物线的对称轴为直线，轴，，
点，
，
，
，
，
舍去，，
当时，，
，

如图，当点在第一象限时，
作轴于，交直线于，

，
，
又
，
，舍去，
当时，，
，
综上所述：或；
如图，

作于，交于，
，，
，
，
∽，
，
当时，的最大值为． 

【解析】在中求出的长，从而确定点坐标，将二次函数设为交点式，将点坐标代入，进一步求得结果；
可分为点在第三象限和第一象限两种情形．当点在第三象限时，设点，可表示出的面积，作交于，先求出直线，从而得出点坐标，从而表示出的面积，根据，列出方程，进一步求得结果，当在第一象限，同样的方法求得结果；
作于，交于，根据，，表示出的长，根据，得出∽，从而得出，从而得出的函数表达式，进一步求得结果．
本题考查了二次函数及其图象性质，求一次函数解析式，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．