2023年山东省济宁市梁山县寿张集中学中考数学模拟试卷（四）（含解析）

2023年山东省济宁市梁山县寿张集中学中考数学模拟试卷（四）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在，，，四个实数中，大于的实数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列式子中正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  下列四个图形中，中心对称图形是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  袁隆平院士被誉为“杂交水稻之父”，经过他带领的团队多年艰苦努力，目前我国杂交水稻种植面积达亿亩，每年增产的粮食可以养活人将这个数用科学记数法可表示为，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知一次函数的图象如图，则二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是(    )
 

A.
B.
C.
D.

6.  若关于，的方程组的解满足，则整数的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

8.  如图，与正五边形的两边，相切于，两点，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，在平行四边形中，的平分线交于点，的平分线交于点，若，，则的长是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，在正方形中，是边上的一点，，，将正方形边沿折叠到，延长交于，连接，现在有如下个结论：；；；其中正确结论的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  计算：______．

12.  分解因式：          ．

13.  如图，四边形为平行四边形，则点的坐标为______．

14.  如图，某一时刻太阳光从窗户射入房间内，与地面的夹角，已知窗户的高度，窗台的高度，窗外水平遮阳篷的宽，则的长度为______结果精确到．

15.  如图，在一次无人机表演中，操作者设计了如下程序：无人机从与轴成角出发，触碰到直线上的点后，与原方向成角折回，再触碰到轴上的点后，与原方向成角折回，依次进行，当无人机行至时，无人机行驶的路程是______．
 

三、解答题（本大题共7小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：．

17.  本小题分
年月日“天宫课堂”第三课开讲“太空教师”陈冬、刘洋、蔡旭哲在中国空间站为广大青少年又一次带来了精彩的太空科普课为了激发学生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下组满分分，组：，组：，组：，组：，组：，并绘制了不完整的统计图，请结合统计图，解答下列问题：

本次调查一共随机抽取了______ 名学生的成绩，频数分布直方图中，所抽取学生成绩的中位数落在______ 组；
补全学生成绩频数分布直方图；
若成绩在分及以上为优秀，学校共有名学生，估计该校成绩优秀的学生有多少人？
学校将从获得满分的名同学其中有两名男生，三名女生中随机抽取两名，参加周一国旗下的演讲，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．

18.  本小题分
反比例函数的图象与直线相交于点，过直线上点作轴于点，交反比例函数图象于点，且．
求的值；
在轴上确定一点，使点到，两点距离之和最小，求点的坐标．

19.  本小题分
随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的型自行车去年销售总额为万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少，求：
型自行车去年每辆售价多少元？
该车行今年计划新进一批型车和新款型车共辆，且型车的进货数量不超过型车数量的两倍．已知，型车和型车的进货价格分别为元和元，计划型车销售价格为元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？

20.  本小题分
如图，在▱中，，点在对角线上，，于点，的延长线交于点点在的延长线上，且，连接．
 

若，，求的长；

求证：．

21.  本小题分
如图，矩形中，点在上，，与相交于点，与相交于点．
若平分，求证：；
找出图中与相似的三角形，并说明理由；
若，，求的长度．

22.  本小题分
如图，已知二次函数的图象经过点，与轴分别交于点，点点是直线上方的抛物线上一动点．
求二次函数的表达式；
连接，，并把沿轴翻折，得到四边形若四边形为菱形，请求出此时点的坐标；
当点运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时点的坐标和四边形的最大面积．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，，，
所以大于的数是，
故选：．
先根据实数的大小比较法则比较大小，再逐个判断即可．
本题考查了实数的大小比较和算术平方根，能熟记实数的大小比较法则是解此题的关键，注意：正数都大于，负数都小于，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
利用完全平方公式，积的乘方的法则，单项式除以单项式的法则，合并同类项的法则进行运算即可．
本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

3.【答案】 

【解析】解：选项A、、都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项B能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

4.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

5.【答案】 

【解析】解：观察函数图象可知：、，
二次函数的图象对称轴，与轴的交点在轴正半轴．
故选：．
根据一次函数图象经过的象限，即可得出、，由此即可得出：二次函数的图象对称轴，与轴的交点在轴正半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论．
本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，根据一次函数图象经过的象限，找出、是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了解一元一次不等式和解二元一次方程组、一元一次不等式的整数解等知识点，能得出关于的不等式是解此题的关键．
方程组中的两个方程相减得出，根据已知得出不等式，求出不等式的解集即可．
【解答】
解：，
得：，
关于，的方程组的解满足，
，
解得：，
的最小整数值为，
故选：．  

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
将原方程变形为一般式，根据根的判别式即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】
解：原方程可变形为．
该方程有两个相等的实数根，
，
解得：．  

8.【答案】 

【解析】

【分析】
先根据五边形的内角和求出，由切线的性质得到，最后利用五边形的内角和即可得出答案．
本题考查了正五边形的内角和、切线的性质，求出正五边形每个内角的度数是解题的关键．
【解答】
解：正五边形的每个内角度数为：，
，
、分别与相切于、两点，
，
，
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
又平分，
，
，
；
同理可得：，
，
，
，
．
故选：．
根据平行四边形的性质证明，，进而可得和的长，然后可得答案．
本题主要考查了平行四边形的性质，解决本题的关键是在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可利用等腰三角形的性质解题．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，连接．

四边形是正方形，
，，
由翻折可知：，，，，
，，，
≌，
，，设，
，故正确，
在中，，
，
，
，
，
，
易知不是等边三角形，显然，故错误，
，
，
，
，，
，
，故正确，
，：：：，
：：，
，故错误，
故选：．
正确．证明，即可．
错误．可以证明，显然不是等边三角形，可得结论．
正确．证明，即可．
错误．证明：：，求出的面积即可．
本题考查翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式

，
故答案为：．
化简二次根式，然后先算乘法，再算减法．
本题考查二次根式的混合运算，理解二次根式的性质，准确化简二次根式是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了提公因式法与平方差的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
原式提取，再利用平方差公式分解即可．
【解答】
解：原式．
故答案为：．  

13.【答案】 

【解析】解：四边形为平行四边形，且，，
点是点向左平移个单位所得，
，
．
故答案为：．
直接根据平移的性质可解答．
本题考查了平行四边形的性质和平移的性质，属于基础题，解答本题的关键是找出平移的规律．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据图形可知．
，，
在中，，，
．
，，，
，
在中，，，
．
答：的长度约为．
故答案为：．
本题涉及遮阳棚的计算问题，光线是平行光线，所以在直角三角形中，知道一个锐角的度数，一条边的长度，可以运用直角三角形边角的关系解决问题．
考查直角三角形中边角的关系，关键是能正确的选择运用三角函数解决问题．
 

15.【答案】 

【解析】解：一次函数的解析式为，
，
，
，
，是等腰三角形，
，
，
是等边三角形，
，
，
同理可得，，，，
无人机行驶的路程为，
故答案为：．
先由一次函数的解析式得到，由得到，即可得到，是等腰三角形，有，然后由得到是等边三角形，得到，然后得到的长，同理得到，，，从而得到无人机行驶的路程．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是熟知等腰三角形的判定与性质．
 

16.【答案】解：


． 

【解析】先根据绝对值的意义，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，算术平方根定义进行化简，然后再进行计算即可．
本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握绝对值的意义，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，算术平方根定义，是解题的关键．
 

17.【答案】   

【解析】解：本次调查一共随机抽取的学生总人数为：名，
组的人数为：名，
，
故答案为：，；
组的人数为：人，
补全学生成绩频数分布直方图如下：

人，
答：估计该校成绩优秀的学生有人；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果有种，
抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率为．
由组的人数除以所占百分比得出本次调查一共随机抽取的学生成绩，即可解决问题；
求出组的人数，补全学生成绩频数分布直方图即可；
由学校共有学生人数乘以成绩优秀的学生所占的比例即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查了用树状图法求概率以及频数分布直方图和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

18.【答案】解：，轴，
，，
，
，
，
将坐标代入反比例解析式得：；

作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则点为所求点，

理由：为最小，
设直线的表达式为，则，解得，
故AE的表达式为，
当时，，
故点的坐标为 

【解析】，则，，而，故BD，则，将坐标代入反比例解析式得：；
作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则点为所求点，即可求解．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．
 

19.【答案】解：设去年型车每辆售价元，则今年售价每辆为元，由题意，得
，
解得：．
经检验，是原方程的根．
答：去年型车每辆售价为元；
设今年新进型车辆，则型车辆，获利元，由题意，得
，
．
型车的进货数量不超过型车数量的两倍，
，
．
，
，
随的增大而减小．
时，有最大值
型车的数量为：辆．
当新进型车辆，型车辆时，这批车获利最大． 

【解析】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，一次函数的解析式的运用，解答时由销售问题的数量关系求出一次函数的解析式是关键．
设去年型车每辆售价元，则今年售价每辆为元，由卖出的数量相同建立方程求出其解即可；
设今年新进型车辆，则型车辆，获利元，由条件表示出与之间的关系式，由的取值范围就可以求出的最大值．
 

20.【答案】解：如图，，，，
等腰中，，
又，
中，；
如图，连接，过作，交于，连接，

，，
，
垂直平分，
，，
，
是等腰直角三角形，即，
是等腰直角三角形，即，
，
又，
四边形是正方形，
，，
又，
，
，
，
≌，
，
又，
． 

【解析】本题考查了平行四边形的性质，正方形的判定以及全等三角形的判定与性质的运用，属于中档题．
依据，，，可得等腰中，，再根据勾股定理，即可得到中，；
连接，过作，交于，连接，判定四边形是正方形，即可得到，，进而得出≌，依据，，即可得到．
 

21.【答案】证明：如图，

在矩形中，，，，
，，
，
，
又平分，
，
，
，
；
解：与相似的三角形有，，理由如下：
，
，
，，
，
，
又，
∽，
，，
∽，
解：∽，
，
，即，
，
∽，
，
，
，
联立，可得负值舍去，
． 

【解析】根据矩形的性质和角平分线的定义，求得，从而求证；
根据相似三角形的判定进行分析判断；
利用相似三角形的性质分析求解．
本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质以及勾股定理，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．
 

22.【答案】解：将点和点的坐标代入函数解析式，得
，
解得，
二次函数的解析式为；

若四边形为菱形，则点在线段的垂直平分线上，
如图，连接，则，垂足为，

，
，
点的纵坐标，
当时，即，
解得，不合题意，舍，
点的坐标为；

如图，

在抛物线上，设，
设直线的解析式为，
将点和点的坐标代入函数解析式，得
，
解得．
直线的解析为，
设点的坐标为，
．
当时，，
解得，，
，
，



，
当时，四边形的面积最大．
当时，，即点的坐标为
当点的坐标为时，四边形的最大面积值为． 

【解析】根据待定系数法，可得函数解析式；
根据菱形的对角线互相垂直且平分，可得点的纵坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得点坐标；
根据平行于轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案．
本题考查了二次函数综合题，解的关键是待定系数法；解的关键是利用菱形的性质得出点的纵坐标，又利用了自变量与函数值的对应关系；解的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质．