2022-2023学年湖北省襄阳市枣阳市六校联考九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖北省襄阳市枣阳市六校联考九年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在中，，下列等式不一定成立的(    )

A.  B.
C.  D.

2.  如图，在中，，定义：斜边与的对边的比叫做的余割，用“”表示如设该直角三角形的三边分别为，，，则，那么下列说法正确的是(    )

 

A.  B.
C.  D.

3.  如图，在中，，且，，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  若点、都在反比例函数的图象上，则与的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D. 无法确定

5.  如图，正方形内接于，点、在上，点、分别在和边上，且边上的高，，则正方形的边长为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图所示，边长为的正方形中，对角线，交于点，在线段上，连接，作交于点，连接交于点，则下列结论：；；；若，则，正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  题目：“如图，在矩形中，，，，分别是，上的点”张老师要求添加条件后，编制一道题目，并解决，甲、乙两人的做法如下下列判断正确的是(    )
甲：若，则在上存在个点，使与相似；
乙：若，则的最大值为．

A. 甲对乙错 B. 甲错乙对 C. 甲、乙都对 D. 甲、乙都错

8.  如图，点是反比例函数图象上的一点，垂直于轴，垂足为，的面积为若点也在此函数的图象上，则的值是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  方程的根可视为直线与双曲线交点的横坐标，根据此法可推断方程的实根所在的范围是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，正方形的边长为，点在边上，，，点在射线上，且，过点作的平行线交的延长线于点，与相交于点，连接、、下列结论：的面积为；的周长为；其中正确的是(    )

 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）

11.  如图，在平行四边形中，，交于点，则：的比值是______ ．

12.  北京冬奥会开幕式的巨型雪花状主火炬塔的设计，体现了环保低碳理念如图所示，它的主体形状呈正六边形若点，，，，，是正六边形的六个顶点，则的值是______ ．

13.  如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，若，，则点的坐标为______ ．

14.  如图，反比例函数的图象与直线交于，两点点在点右侧，过点作轴的垂线，垂足为点，连接，，图中阴影部分的面积为，则的值为______ ．

15.  如图，长方形在平面直角坐标系中，点、分别在轴、轴的正半轴上，，若、上分别有点、，满足，，点则点的坐标为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
数学测绘社团欲测算平台上旗杆的拉绳的长从旗杆的顶端拉直绳子，绳子末端正好与斜坡的底部重合，此时拉绳与水平线所成的夹角，已知斜坡的高米，坡比为：即：：，米，求拉绳的长结果保留位小数，参考数据：，，

17.  本小题分
如图，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，为的中点，双曲线的一支过，连接，将向右平移至，线段交于点．
求的值；
若：：，求点的坐标．

18.  本小题分
如图，中，，．
求的长：
是边上的高，请你补全图形，并求的长．

19.  本小题分
在平面直角坐标系中，如果点的横坐标和纵坐标相等，则称点为和谐点，例如：点，，都是和谐点．
判断函数的图象上______ 填“是”或“否”存在和谐点；
若二次函数的图象上有且只有一个和谐点
求、的值；
若时，函数的最小值为，最大值为，求实数的取值范围．

20.  本小题分
如图，在中，，，点为边上一动点不与点、重合，过点作射线交于点，使；
求证：；
当为直角三角形时，求线段长度．

21.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于，两点，已知求：


 

和的值；

的面积．

22.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象都经过、两点．
直接写出不等式的解集：______ ．
求反比例函数和一次函数的表达式；
过、两点的直线与反比例函数图象交于另一点，连接，求的面积．

23.  本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．
求函数的表达式；
根据图象写出使一次函数值大于反比例函数值时的取值范围；
点是反比例函数的图象上第一象限内的一个动点，当的面积等于的面积时，求点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，
，故本选项不符合题意；
B、，
，故本选项不符合题意；
C、，
，故本选项符合题意；
D、，故本选项不符合题意；
故选：．
根据三角函数的定义就可以解决．
此题考查直角三角形中互余两角三角函数的关系，熟练掌握三角函数的定义是关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：根据定义得，，故B不符合题意；
，故A不符合题意；
，故C符合题意；
，故D不符合题意；
故选：．
根据余割的定义：斜边与的对边的比进行计算，再选择即可．
本题考查了锐角三角函数的定义，同角三角函数的关系，掌握余割的定义：斜边与的对边的比叫做的余割，用“”表示，是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
∽，
，即，
解得：．
故选：．
由，可得出∽，利用相似三角形的性质即可求出的长．
本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的对应边成比例是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
图象位于第一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小，
点在第三象限，点在第一象限，
，
故选：．
根据，图象位于第一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小即可判断．
本题考查了反比例函数图象的性质，根据当时，图象位于第一、三象限，且在每一象限内，随的增大而减小是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：正方形内接于，边上的高，
．
，，
∽，∽，
，．
设正方形边长为，则，
，，
．
又，
，即，
解得：，
正方形的边长为．
故选：．
根据正方形及三角形高的定义易得∽，∽，再根据对应线段成比例可得，设正方形边长为，则，从而可求出最后根据，可列出关于的方程，解出的值即可．
本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，线段的和与差等知识．解题的关键是根据比例表示出相应线段列方程．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

四边形是正方形，
，，
又，
≌，
，，
，
，
，
又，
，
，
，故正确；
，，
，
，
又，
∽，
，
，故正确；
，，
∽，
，
，
，，
∽，
，
，
，
，故正确；
，，
，，
，
，
又，
∽，
，
，
，故正确，
故选：．
由“”可证≌，可得，，由四边形的内角和定理可证，可得；
通过证明∽，可得；
通过证明∽，可得，通过证明∽，可得，可得结论；
通过证明∽，可得，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：甲：与相似，，
分∽与∽两种情况求解：
当∽时，设，则，
，即，
解得：或，
当∽时，设，则，
，即，
解得：，
综上所述，当，在上存在个点，使与相似，故甲错误；
乙：，
，
，
又，
，
∽，
，
设，则，
即，
，
，
当时，最大，且，故乙正确．
故选：．
由与相似，，分∽与∽两种情况求解：设，则，将各值分别代入与中计算求解即可判断甲的正误；由，可证∽，则，设，则，即，解得，然后求最大值即可判断乙的正误．
本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于根据相似三角形的性质写出等量关系式．
 

8.【答案】 

【解析】解：垂直于轴，的面积为，，
，
，
点也在此函数的图象上，
，
，
故选：．
根据的几何含义可得的值，从而得出反比例函数的解析式，进而把点的坐标代入，从而得出的值．
本题考查了反比例函数的““的几何函数，点和函数图象的关系等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
 

9.【答案】 

【解析】解：依题意得方程的实根是函数与的图象交点的横坐标，
这两个函数的图象如图所示，

它们的交点在第一象限，
当时，，，此时抛物线的图象在反比例函数上方；
当时，，，此时抛物线的图象在反比例函数下方；
当时，，，此时抛物线的图象在反比例函数下方；

的实根所在的范围．
故选：．
首先根据题意推断方程的实根是函数与的图象交点的横坐标，再根据四个选项中的取值代入两函数解析式，找出抛物线的图象在反比例函数上方和反比例函数的图象在抛物线的上方两个点，即可判定推断方程实根所在范围．
此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力．解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，

在正方形中，，，，
，
，
，
，
．
，
．
，
≌，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
在中，，，
，
，故正确；
过点作于，交于，
，
四边形是矩形，
，
矩形是正方形，
，
同理：四边形是矩形，
，，，，
，
∽，
，
，
，
，
在中，根据勾股定理得，，
的周长为，故正确；
，
，
，
，
，故错误，
正确的有，
故选：．
先判断出，进而求出进而判断出≌，得出，，判断出是等腰直角三角形，再用勾股定理求出，即可得出正确；
先判断出四边形是矩形，进而判断出矩形是正方形，得出，同理：四边形是矩形，得出，，，，再判断出∽，得出，求出，再根据勾股定理求得，即的周长为，判断出正确；
先求出，进而求出，再求出，判断出错误，即可得出结论．
此题主要考查了正方形的性质和判断，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，求出是解本题的关键．
 

11.【答案】： 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
∽，
：：．
，
：：，
：：．
故答案为：：．
证明∽，然后利用相似三角形的性质即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，证明∽是解答本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，连接、、，
点，，，，，是正六边形的六个顶点，
，垂直平分，
是等边三角形，
，
，
故答案为：．
由正六边形的性质得，垂直平分，再由等边三角形的性质得，即可得出结论．
本题考查了正六边形的性质、等边三角形的判定与性质以及特殊角的锐角三角函数，熟练掌握正六边形的性质和等边三角形的性质是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：在中，
，
，
，
，
、两点在函数上，
将、代入得：
，解得：，
，
设，过点作轴，垂足为，则，
∽，

，
又，
，
即，则，即，
，
，
，
，
；
联立，解得：，
，
故答案为：．
根据，可得出点的坐标，运用待定系数法即可求出的解析式；设，过点作轴，垂足为，则，得出∽，根据相似三角形的性质解出点的坐标，可得反比例函数表达式，联立反比例函数与一次函数即可求解．
本题考查反了反比例函数和一次函数的交点，涉及到相似三角形的性质与判定等，熟练运用反比例函数的性质是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图所示，设，，直线与轴交点记为点，与的交点记为点，作轴，垂足为点，

，，，
，，
，
又阴影部分面积为，
，
，
，
直线解析式为，
令，则，
，
，
，
设直线的解析式为：，
代入点坐标后得：，
，
，，
，
，
，
，
，
由，可得：，
其中，
，
，，
，
化简得：，
平方后得：，
将代入可得：，
，
由，
解得：，
的值为．
故答案为：．
先设出点和点的坐标，利用反比例函数的性质，得到，再由阴影面积也是，得出，分别表示出点、的坐标后，将和表示出来，建立关于和的方程，联立与得到关于的一元二次方程后，利用求根公式法得到和的含的表达式，代入方程求解即可．
本题属于反比例函数与一次函数的综合题，考查了反比例函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、三角形面积公式、用坐标表示距离、解一元二次方程等知识，要求学生熟记相关概念、性质以及公式，能在不同的三角形之间进行面积的转换，找出其中包含的关系，并通过建立方程求解，对学生的综合能力由一定的要求，蕴含了数形结合的思想方法等．
 

15.【答案】 

【解析】解：延长，交于，作于，设，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
∽，
：：，
：：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点的坐标是．
故答案为：．
延长，交于，作于，设，由勾股定理求出的长，由相似三角形的性质求出的长，由锐角的正切求出，得到的长，由勾股定理求出的长，即可点的坐标．
本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，坐标与图形的性质，关键是作辅助线构造相似三角形．
 

16.【答案】解：如图，延长交于，则四边形为矩形，
米．
斜坡的高米，坡比为：即：：，
米，
米．
在中，，米，，
米．
故拉绳的长约为米． 

【解析】延长交于，则四边形为矩形，那么米．解，求出米，得出米．解，即可求出拉绳的长．
本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

17.【答案】解：把代入得：
，
点的坐标为，
把代入得：
，
解得：，
点的坐标为，
为的中点，
点的坐标为，
把代入得：
．
过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示：
将向右平移至，点的坐标为，
，
：：，
，
轴，轴，
，
∽，
，
，
点的纵坐标为，
把代入得：
，
解得：，
点的坐标为． 

【解析】先根据一次函数解析式求出点、的坐标，根据中点坐标求出点的坐标，把点的坐标代入求出的值即可；
过点作轴于点，过点作轴于点，根据，：：，求出，将代入得出，即可得出点的坐标．
本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合应用，求反比例函数解析式，中点坐标公式，平行线分线段成比例定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握中点坐标公式．
 

18.【答案】解：过点作于，
．
，
．
，
．
补全图形，
，
，
．
于，，
．
 

【解析】过点作，垂足为，利用等腰三角形的性质可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义可求出的长，从而进行计算即可解答；
利用的结论可得，然后中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

19.【答案】否 

【解析】解：不存在和谐点，理由如下，
函数的和谐点为，可得，
任何数的平方大于等于，
函数的图象上不存在和谐点，
故答案为：否；
点是二次函数的和谐点，
，
，
二次函数的图象上有且只有一个和谐点，
有且只有一个根，
，
，；
由可知，
抛物线的对称轴为直线，
当时，，
当时，，
当时，，
函数的最大值为，最小值为；
当时，函数的最大值为，最小值为．
设函数的和谐点为，可得，求解即可；
将点代入，再由有且只有一个根，，两个方程联立即可求、的值；
由可知，当时，，当时，，当时，，则时满足题意．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，并与二次函数的性质结合是解题的关键．
 

20.【答案】证明：，
．
，，
，
∽，
；
解：∽，为直角三角形，
为直角三角形．
当时，如图所示．
，
；
当时，如图所示．
，
，
．
综上所述：当为直角三角形时，点、之间的距离为或． 

【解析】根据可得出，由三角形的内角和定理结合平角等于，即可找出，进而即可证出∽；
根据相似三角形的性质可得出为直角三角形，分及两种情况考虑，当时，根据等腰三角形的性质可求出的长度；当时，利用解直角三角形可求出的长度．综上即可得出结论．
本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及解直角三角形，解题的关键是：通过角的计算找出；分及两种情况考虑．
 

21.【答案】解：直线与双曲线相交于，两点，已知，
，．
解得：，．

如图，过作轴于，过作轴于，

．
，，
，．
由得：或，
点坐标为．
．
设直线与轴交于点．
点坐标为．
．
，
．
． 

【解析】由直线与双曲线相交于，两点，，即可得到结论；
过作轴于，轴于根据，，得到，，求出，然后根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点，三角形面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．
 

22.【答案】或 

【解析】解：由图象可知，不等式的解集为或；
故答案为：或；
将，两点代入中，得，
解得，，
反比例函数的表达式为；
将和代入中得，
解得，
一次函数的表达式为：；
设与轴交于点，连接，
由题意可知，点与点关于原点对称，
．
在中，当时，，
，
垂直轴于点，
．
根据图象求得即可；
把，两点的坐标代入中可计算和的值，确定点的坐标，根据待定系数法即可求得反比例函数和一次函数的解析式；
如图，设与轴交于点，证明轴于，根据即可求得．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，函数与不等式的关系，三角形的面积等，数形结合是解题的关键．
 

23.【答案】解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，
，，
，
，，
，
；
由图象可知：
当或时，直线在双曲线上方，
一次函数值大于反比例函数值时的取值范围为：或；
的面积等于的面积，
点到直线的距离等于点到直线的距离，
将直线向上或向下平移个单位，得到直线，，直线，与双曲线在第一象限的交点即为点，
如图：

，
：，：，
联立，
解得：或不合题意，舍去；
；
联立，
解得：或不合题意，舍去；
；
综上：点的坐标为：或． 

【解析】点，在一次函数上，求出，的值，待定系数法求出的表达式即可；
找到直线在双曲线上方时，的取值范围即可；
的面积等于的面积，得到点到直线的距离等于点到直线的距离，根据平行线间的距离处处相等，将直线向上或向下平移个单位，得到直线，，直线，与双曲线在第一象限的交点即为点，进行求解即可．
本题考查反比例函数与一次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．