【高考真题】2023年普通高等学校招生全国统一考试(全国甲卷)文科数学

【高考真题】2023年普通高等学校招生全国统一考试(全国甲卷)文科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(共12题；共60分)

1．（5分）设全集，集合，则（　　）

A． B．

C． D．

2．（5分）（　　）

A． B．1 C． D．

3．（5分）已知向量，则（　　）

A． B． C． D．

4．（5分）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（　　）

A． B． C． D．

5．（5分）记为等差数列的前项和．若，则（　　）

A．25 B．22 C．20 D．15

6．（5分）执行下边的程序框图，则输出的（　　）

A．21 B．34 C．55 D．89

7．（5分）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（　　）

A．1 B．2 C．4 D．5

8．（5分）曲线在点处的切线方程为（　　）

A． B． C． D．

9．（5分）已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆交于A，B两点，则（　　）

A． B． C． D．

10．（5分）在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，则该棱锥的体积为（　　）

A．1 B． C．2 D．3

11．（5分）已知函数．记，则（　　）

A． B． C． D．

12．（5分）函数的图象由的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.(共4题；共20分)

13．（5分）记为等比数列的前项和．若，则的公比为　     　．

14．（5分）若为偶函数，则　     　．

15．（5分）若x，y满足约束条件，则的最大值为　     　．

16．（5分）在正方体中，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是　         　．

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(共7题；共80分)

17．（12分）记的内角的对边分别为，已知．

（1）（6分）求；

（2）（6分）若，求面积．

18．（12分）如图，在三棱柱中，平面．

（1）（6分）证明：平面平面；

（2）（6分）设，求四棱锥的高．

19．（12分）一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）．试验结果如下：

对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为

15.2  18.8  20.2  21.3  22.5  23.2  25.8  26.5  27.5  30.1

32.6  34.3  34.8  35.6  35.6  35.8  36.2  37.3  40.5  43.2

试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为

7.8  9.2  11.4  12.4  13.2  15.5  16.5  18.0  18.8  19.2

19.8  20.2  21.6  22.8  23.6  23.9  25.1  28.2  32.3  36.5

（1）（6分）计算试验组的样本平均数；

（2）（6分）（ⅰ）求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表

（ⅱ）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？

附：，

20．（12分）已知函数．

（1）（6分）当时，讨论的单调性；

（2）（6分）若，求的取值范围．

21．（12分）已知直线与抛物线交于两点，．

（1）（6分）求；

（2）（6分）设为的焦点，为上两点，且，求面积的最小值．

22．（10分）已知点，直线（为参数），为的倾斜角，与轴正半轴、轴正半轴分别交于，且．

（1）（5分）求；

（2）（5分）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程．

23．（10分）已知．

（1）（5分）求不等式的解集；

（2）（5分）若曲线与轴所围成的图形的面积为2，求．

答案解析部分

1．【答案】A

【知识点】并集及其运算；补集及其运算

【解析】【解答】，
故选：A
【分析】先计算补集，再求并集即得答案.

2．【答案】C

【知识点】复数代数形式的混合运算

【解析】【解答】，
故选：C
【分析】利用复数乘法运算计算由得出答案。

3．【答案】B

【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

【解析】【解答】，，，，
，，，

故选：B
【分析】由，，向量坐标运算分别计算，，，再利用公式得出答案。

4．【答案】D

【知识点】古典概型及其概率计算公式；分步乘法计数原理

【解析】【解答】从4名学生中随机选2人组织文艺汇演共有种情况，
这2名同学来自不同年级的有种情况，
2名同学来自不同年级的概率为。
故选：D
【分析】利用古典概型分别求出基本事件总数和满足条件的基本事件个数，得出答案。

5．【答案】C

【知识点】等差数列；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和

【解析】【解答】为等差数列，
有，，
，
，

故选：C
【分析】利用等差中项公式逐步分析，由需求转化成求。

6．【答案】B

【知识点】循环结构

【解析】【解答】

故选：B
【分析】根据程序框图流程列表，得出答案。

7．【答案】B

【知识点】椭圆的简单性质

【解析】【解答】由题意知，，
，，

故选：B
【分析】利用椭圆定义和勾股定理得出，和与乘积的关系，利用完全平方公式间的公式转化求解。

8．【答案】C

【知识点】导数的运算

【解析】【解答】，
，
即此时该切线方程的斜率为，
曲线在点处的切线方程为，即
故选：C
【分析】利用导数求出在的值，即为点处切线的斜率，由直线点斜式方程得出答案.

9．【答案】D

【知识点】直线与圆相交的性质；双曲线的定义

【解析】【解答】双曲线定义知，，
渐近线方程为，渐近线与圆有交点，即与圆有交点
圆心到渐近线距离或（舍去），
弦长。
故选：D
【分析】根据题意结合双曲线定义求出渐近线方程，再利用点到直线距离公式求出弦长公式求。

10．【答案】A

【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面之间的位置关系

【解析】【解答】
取中点O，连接，
是边长为2的等边三角形，，
且，
，
又，，
，
.

故选：A
【分析】通过证明，得出PO为棱锥的高，进而利用体积公式求解。

11．【答案】A

【知识点】函数奇偶性的性质；指数型复合函数的性质及应用

【解析】【解答】，
关于对称，
又在单调递增，在单调递增，在单调递减，
由复合函数可知在单调递增，在单调递减，
由关于对称得
，，
由在单调递增得
故选：A
【分析】对二次函数对称性分析得出复合函数单调性，利用对称性将c转化与a、b同一单调性，从而利用单调性比较函数值大小。

12．【答案】C

【知识点】正弦函数的图象；诱导公式

【解析】【解答】由题意得
作出和草图如下：

，
此时在直线上，当时，
，
此时在直线上，当时，
，
此时在直线上，当时，

由图形及分析可知和的交点个数为3.
故选：C
【分析】求出变换后的函数解析式，画图分析值域范围得出交点个数.

13．【答案】

【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和

【解析】【解答】当时，显然 ， 不满足题意；
当时，
，，即，
，解得
故答案为：
【分析】利用等比数列公式代入求解。

14．【答案】2

【知识点】偶函数

【解析】【解答】，
∵为偶函数
为使为偶函数，只需为偶函数，
，即
故答案为：2
【分析】先利用诱导公式化简，由三角函数部分为偶函数，故只需二次函数部分为偶函数，从而得出的值。

15．【答案】15

【知识点】简单线性规划

【解析】【解答】由得，
故当直线：截距最大时，取得最大值，

根据题意画出可行域如上图，易得当直线过点A时，取得最大值，
联立，解得，即

故答案为：15
【分析】利用约束条件画出可行域，由目标函数分析求截距最大值。

16．【答案】

【知识点】球的性质

【解析】【解答】当球是正方形棱切球时，即分别与，，，中点，，，相切球横截面如下图：此时为直径，半径最小为

当球是正方形外接球时，即球过正方体各个顶点，此时为直径，半径最大为.

综上所述：球半径
故答案为：
【分析】分析得当球是正方形棱切球时半径最小，是正方形外接球时半径最大。

17．【答案】（1）由余弦定理知，又，
∴2bccosA=2cosA
.

（2）在三角形中有
由正弦定理知，
，即，

，即，
 

【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；余弦定理的应用

【解析】【分析】(1)由已知条件联想利用余弦定理化简即得答案。
(2)根据已知条件结合正弦定理将边统一化成角，结合内角和与和差角公式消去角C，整理即得，再结合面积公式求解。

18．【答案】（1），即，
又平面，平面，
，
由，平面，
平面，
平面，
平面平面

（2）由(1)可知，，两两垂直，
由平面平面，平面平面知：
四棱锥的高即为到边上的高，
，即，
，
又，，
由三棱锥知，，，
由，
故，
在中有，解得
四棱锥的高为1

【知识点】平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算

【解析】【分析】(1)要证面面垂直即正线面垂直，由已知条件分析易证平面即可证明.
(2)结合线面垂直等多个垂直条件，易分析得出四棱锥的高为到边上的高，根据两个含公共边的直角三角形，由得到，由已知条件结合三棱柱结构特点分析解三角形并逐步计算得出结果.

19．【答案】（1）试验组样本平均数：

（2）（i）依题意将40只小白鼠体重数据重新排列得：
7.8   9.2   11.4   12.4  13.2  15.2  15.5  16.5  18.0  18.8
18.8  19.2  19.8  20.2  20.2  21.3  21.6  22.5  22.8  23.2
23.6  23.9  25.1  25.8  26.5  27.5  28.2  30.1  32.3  32.6
34.3  34.8  35.6  35.6  35.8  36.2  36.5  37.3  40.5  43.2
中位数

列联表为：

（ii）由(i)知，
能有的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异。

【知识点】众数、中位数、平均数

【解析】【分析】(1)利用求平均数公式直接代入数据进行计算；
(2)(i)利用中位数定义将数据重新排列求m；
(ii)根据m值完成列联表代入计算，再根据附表数值进行得出结论。

20．【答案】（1）当时，，
则，
在单调递减；

（2）令
则，
，又，
，解得.
检验当时，，有，
即在上单调递减，
，符合题意，
 

【知识点】导数的运算；利用导数研究函数的单调性

【解析】【分析】(1)对求导，利用导数判断单调性；
(2)构造，结合，将问题转化为并验证得出答案。

21．【答案】（1）由题意可设，，
联立，消y整理得：，其中，
解得或，

，，


，解得或（舍去），
∴．

（2）由(1)得，C： ，，如图，

设：，，，
直线与x轴交点为，
联立，消y整理得，，
∴，，，
，，，
，
化简得
代入上式整理得，即
解得或
则
，
当且仅当时，即m=0时，取得最小值.

【知识点】抛物线的应用；直线与圆锥曲线的综合问题

【解析】【分析】(1)联立利用弦长公式化简得出关于p的方程，计算可得p值；
(2)为方便联立及避开分类，可设直线，利用，找出的关系并求出取值范围，表示出进而根据范围可求得最小值。

22．【答案】（1）由参数方程，
∴，
由②÷①消参数t得：，整理为
设，则，直线过定点

易得，
则，
由 ，则，解得，
由 与轴正半轴、轴正半轴分别交于 ，故k<0，
∴，解得；

（2）由(1)代入得直角坐标方程为，
根据，得直线极坐标方程.

【知识点】点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程

【解析】【分析】(1)将参数方程转化成直角坐标方程利用 建立等量关系求解 ；
(2)由(1)即得直角坐标方程，由，得出极坐标方程。

23．【答案】（1）依题意去绝对值得

①当时， 由，即 ，解得，∵a>0，∴此时
②当时，由，即，解得，∵a>0，∴此时
综上的解集是；

（2）令，解得或，
当时，
∵a>0，此时，且，故其函数图象大致为

，，
，解得

【知识点】绝对值不等式的解法

【解析】【分析】(1)根据和分段去绝对值求解不等死；
(2)结合a>0分析画出草图利用面积建立等量关系求出a。