2.1-y=ax2-2023年升初三人教版暑假衔接教材

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❊2.1 y=ax2的图像与性质
考点先知

知 识
考 点
二次函数的概念
1.二次函数的概念

y=ax2的图像与性质
2.y=ax2的图像与性质
3.y=ax2图像的开口大小
题型精析

知识点一 二次函数的概念


内容
二次函数的概念
形如的函数，叫做二次函数. 其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.
二次函数的一般式
也叫做二次函数的一般形式（即按照x的降幂排列）.
题型一 二次函数的概念

例1

下列函数是二次函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】二次函数的解析式必须是含自变量的整式，二次项系数不为0．
【详解】解：A、是一次函数，故本选项不符合题意；
B、二次项系数a不能确定是否为0，不是二次函数，故本选项不符合题意；
C、是二次函数，故本选项符合题意；
D、是正比例函数，故本选项不符合题意；
故选：C．
例2

下列函数中，二次函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的定义逐项判断即可．
【详解】中，未知数的次数为1次，故A不是二次函数，不符合题意；
，满足二次函数的定义，故B是二次函数，符合题意；
，未知数的次数为1次，故C不是二次函数，不符合题意；
，分母中有未知数，故D不是二次函数，不符合题意．
故选B．
变1
下列函数不属于二次函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】把每个选项中的函数整理成一般形式，根据二次函数的定义即可判定．
【详解】解：A．，是二次函数，不符合题意；
B．，是二次函数，不符合题意；
C．，是二次函数，不符合题意；
D．，不是二次函数，符合题意；
故选D．
变2
下列函数中，一定是二次函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的定义解答即可．
【详解】解：A. ，不是二次函数，故此选项错误；
B. ，当时，不是二次函数，故此选项错误；
C. ，是二次函数，故此选项正确；
D. ，不是二次函数，故此选项错误；
故选：C
例3

已知函数是二次函数，则m=______．
【答案】
【分析】根据二次函数的定义分析即可，二次函数的定义：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数．
【详解】解：∵函数是二次函数，
∴
解得：，
故答案为：．
例4

若关于x的函数是二次函数，则满足条件的m的值为______．
【答案】
【分析】根据二次函数的定义得出，，解方程即可求解．
【详解】解：依题意得，，
即，且，
即，
解得：或（舍去）．
故答案为：．
变3
如果函数是二次函数，那么的值为______．
【答案】
【分析】根据二次函数中未知数的最高次数为2，二次项系数不能为0，可知，，由此可解．
【详解】解：函数是二次函数，
，，
解得：或，
解得：，
，
故答案为：．
变4
如果函数是二次函数，则m的值为______．
【答案】2
【分析】由二次函数的定义进行计算，即可得到答案．
【详解】解：∵是二次函数，
∴，
解得：，
∴；
故答案为：2．
题型二 二次函数的一般形式

例1

设a，b，c分别是二次函数y=-x2+3的二次项系数、一次项系数、常数项，则（ ）
A．a=-1，b=3，c=0
B．a=-1，b=0，c=3
C．a=-1，b=3，c=3
D．a=1，b=0，c=3
【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项作答．
【解答】解：二次函数y=﹣x2+3的二次项系数是a=﹣1，一次项系数是b=0，常数项是c=3；
故选：B．
例2

把化成一般形式后，一次项系数与常数项的和为______.
【答案】1．
【分析】根据多项式乘多项式的运算法则把二次函数化为一般式，根据二次函数的概念写出一次项系数和常数项，计算即可．
【解答】解：y=（3x-2）（x+3）
=3x2+7x-6，
其中一次项系数为7，常数项为-6，
∴一次项系数与常数项的和为：7+（-6）=1，
故答案为：1．
变1
已知二次函数y=1-5x+3x2，则二次项系数a=　 　，一次项系数b=　 　，常数项c=　 　．
【分析】根据二次函数的定义，可得答案．
【解答】解：二次函数y=1﹣5x+3x2，则二次项系数a=3，一次项系数b=﹣5，常数项c=1，
故答案为：3，﹣5，1．
变2
关于函数y=（500-10x）（40+x），下列说法不正确的是（ ）
A．y是x的二次函数
B．二次项系数是-10
C．一次项是100
D．常数项是20000
【分析】根据形如y=ax2+bx+c是二次函数，可得答案．
【解答】解：y=﹣10x2+100x+20000，
A、y是x的二次函数，故A正确；
B、二次项系数是﹣10，故B正确；
C、一次项是100x，故C错误；
D、常数项是20000，故D正确；
故选：C．
知识点二 y=ax2的图像与性质


y=2x2
y=-2x2
作图


【性质1】观察图像，二次函数，若（左图），则函数的____________；若（右图），则函数的____________.
【性质2】观察图像，我们发现二次函数具有顶点，并且顶点都是______. 当（左图），顶点处是该二次函数的最______值；当（右图），顶点处是该二次函数的最______值.
【性质3】观察图像，二次函数的图像关于______对称，说明______是该二次函数的对称轴.（注意：对称轴是一条平行于y轴的直线，必须写作“x=h”的形式）
【性质4】观察图像，请说明这两个二次函数的增减性？
左图：___________________________________________________________.
右图：___________________________________________________________.


题型三 y=ax2的图像与性质

类型一 熟练掌握y=ax2的性质

例1

已知二次函数，填空：
（1）作图：
（2）开口______，有最______值，为______；
（3）对称轴______，顶点坐标______；
（4）当满足什么条件时，函数递增？_________；
（5）当满足什么条件时，函数递减？_________；
（6）函数图像是否过点与？______，我们能够发现什么规律？_____________________.
变1
已知二次函数，填空：
（1）作图：
（2）开口______，有最______值，为______；
（3）对称轴______，顶点坐标______；
（4）当满足什么条件时，函数递增？_________；
（5）当满足什么条件时，函数递减？_________；
（6）函数图像是否过点与？______，我们能够发现什么规律？_____________________.
例2

关于抛物线，下列说法错误的是（ ）
A．图象关于直线对称
B．抛物线开口向下
C．随着的增大而减小
D．图象的顶点为原点
【答案】C
【分析】由抛物线解析式可得到开口方向、对称轴、增减性、顶点坐标，可求得答案．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为轴，顶点坐标是，
∴、、选项说法正确，
∵，对称轴为，
∴当时，随的增大而减小，
∴选项说法错误，
故选：．
例3

在同一坐标系中，作、、的图象，它们共同特点是（ ）
A．都是关于轴对称，抛物线开口向上
B．都是关于轴对称，抛物线开口向下
C．都是关于原点对称，顶点都是原点
D．都是关于轴对称，顶点都是原点
【答案】D
【分析】本题的三个抛物线解析式都符合形式，可以从顶点坐标和对称轴找相同点．
【详解】解：因为、、都符合形式，
形式的二次函数对称轴都是y轴，且顶点都在原点，
所以它们的共同特点是：关于y轴对称，抛物线的顶点在原点．
故选D．
变2
对于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数有最小值
B．函数图象开口向下
C．函数图象顶点坐标是
D．y随x增大而减小
、【答案】B
【分析】根据二次函数的性质进行逐项判断即可．
【详解】解：二次函数，开口向下，有最大值，对称轴为y轴，顶点为，
当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小．
故A，C，D不符合题意；B符合题意；
故选B．
变3
抛物线与相同的性质是（　　）
A．开口向下
B．对称轴是y轴
C．有最低点
D．对称轴是x轴
【答案】B
【分析】根据二次函数的性质分析即可．
【详解】抛物线的开口向上，对称轴为轴，有最低点；
抛物线开口向下，对称轴为轴，有最高点；
故抛物线与相同的性质是对称轴都是轴，
故选：B．
例4

已知抛物线的图象开口向下，则的值可能是（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2
【答案】D
【分析】抛物线开口向下，可得到，由此来判断．
【详解】解：∵的图象开口向下，


只有D符合题意
故选D．
变4
已知二次函数的图象开口向下，则m的值是______．
【答案】
【分析】根据二次函数的定义和性质进行求解即可．
【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，
∴，
∴，
故答案为：．
例5

若二次函数的图像经过点，则该图像必经过点（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先确定出二次函数图像的对称轴为y轴，再根据二次函数的对称性解答．
【详解】解：∵二次函数的对称轴为y轴，
∴若图像经过点，则该图像必经过点．
故选：A．
变5
若二次函数的图象经过点，则必在该图象上的点还有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据二次函数的对称性即可判断．
【详解】解：∵二次函数的图象的对称轴为y轴，
∴点关于对称轴的对称点为，
∴点必在该图象上，
故选：A．
例6

已知二次函数有最大值，则a的值为（ ）
A．
B．
C．
D．0
【答案】A
【分析】根据二次函数的定义条件列出方程求解，再根据二次函数有最大值就说明图象开口向下，，分别解得即可．
【详解】解：由二次函数定义可知，
解得，
∵二次函数有最大值，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
变6
已知：是二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而减小，则m的值为（ ）
A．1
B．-2
C．1或-2
D．-1或2
【答案】B
【分析】根据二次函数的定义以及性质，求解即可；
【详解】∵ 是二次函数，
∴ ，
解得m＝1或m＝﹣2，
∵当x＞0时，y随x的增大而减小，
∴抛物线开口向下，即m+1＜0，
∴m＜﹣1，
∴m＝﹣2，
故选：B．

类型二 利用增减性比较大小

例1

已知抛物线过，两点，则下列关系式中一定正确的是______．
【分析】函数的开口方向向______，对称轴是______，所以离对称轴越远函数值越______.
【解答】在-2和1，哪个数离对称轴更远？______，所以.
【答案】B
【分析】根据二次函数图象与系数的关系，可知时，抛物线开口向上，对称轴为y轴，再根据点A、B的横坐标离对称轴的距离即可求解．．
【详解】解：，
抛物线的开口向上，对称轴为轴，在对称轴的左侧，在对称轴的右侧，且点A离对称轴的距离大于点离对称轴的距离，
．
故选：B．
例2

已知二次函数的图象上有三个点，则有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由二次函数的解析式可知，此函数的对称轴为，开口向上，当时，随增大而减小，当时，随增大而增大，然后进行判断即可．
【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，，
∴抛物线开口向上，当时，随增大而减小，当时，随增大而增大，
∵点关于的对称点为，且，
∴．
故选：A
例3

已知，点，，都在函数的图象上，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意可得二次函数开口向上，对称轴为y轴，则离y轴越远函数值越大，再求出即可得到答案．
【详解】解：∵二次函数解析式为，
∴二次函数开口向上，对称轴为y轴，
∴离y轴越远函数值越大，
∵，
∴，
∴，
故选D．
变1
已知点在二次函数的图象上，则的大小关系是______．
【分析】函数的开口方向向______，对称轴是______，所以离对称轴越远函数值越______.
【解答】在-2和1，哪个数离对称轴更远？______，所以.
【答案】/
【分析】利用抛物线的对称性及增减性即可完成．
【详解】二次函数的图象关于轴对称，
关于轴的对称点为，
，且时，函数值随自变量的增大而减小，
；
故答案为：．
变2
已知，且点，，都在函数的图象上，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的增减性，进行判断即可．
【详解】解：，，抛物线的开口向下，对称轴为：，
当时，随的增大而减小；
∵，
∴，
∴；
故选C．
变3
已知点，是函数图象上的两点，且当时，有，则m的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由当时，有，可得出，解之即可得出m的取值范围．
【详解】解∶当时，有，


故选∶A．
例4

关于函数，当时，y的取值范围是_______.
【分析】函数的开口方向向______，对称轴是______，所以离对称轴越远函数值越______.
【解答】-2和3谁离对称轴更远？______，所以当x=______时取最______值，为______；
而由于在这个范围内，包含了对称轴，所以当当x=______时取最______值，为______.
【答案】D
【分析】根据二次函数的性质判断顶点是否在该取值范围内，从而判断y的取值范围即可；
【详解】解：由可知，该二次函数的顶点坐标为，
∵，
∴该函数在时取最大值为0，
根据二次函数的对称性，当时，
y在处取得最小值，，
∴当时，y的取值范围是，
故选：D．
变4
已知二次函数，当时，函数值y的取值范围是________．
【分析】函数的开口方向向______，对称轴是______，所以离对称轴越远函数值越______.
【解答】-1和2谁离对称轴更远？______，所以当x=______时取最______值，为______；
而由于在这个范围内，包含了对称轴，所以当当x=______时取最______值，为______.
【答案】
【分析】求得二次函数的对称轴，根据二次函数的性质求解即可．
【详解】解：的对称轴为，，开口向上
又∵
∴当时，最小为，时，最大为
∴
故答案为：
知识点三 y=ax2图像的开口大小


y=x2
y=3x2
作图







y=-x2
y=-3x2
作图


【性质总结】观察图像，我们可以发现，当越大时，二次函数的开口大小越______；当相同时，二次函数的开口大小______.
题型四 y=ax2的开口大小

例1

下列二次函数的图象中，开口最小的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】比较二次项系数的大小，根据“越大，抛物线的开口越小”即可得出结论．
【详解】解：，
二次函数的开口最小．
故选：D．
例2

在同一坐标系中画出的图象，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据二次函数开口大小和方向与a的关系，易分析得出答案．
【详解】解：当时，、、的图象上的对应点分别是，，，
可知，其中有两点在第一象限，一点在第四象限，排除B、C；
在第一象限内，的对应点在上，的对应点在下，排除A．
故选：D．
变1
已知抛物线与的形状相同，则的值是（ ）
A．4
B．
C．
D．1
【答案】C
【分析】根据二次函数的图像形状相同，二次项系数的绝对值相等，即可求解．
【详解】解：∵抛物线与的形状相同，
∴=．
故选C．
变2
已知四个二次函数的图象如图所示，那么的大小关系是（ ）

A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据二次函数中的绝对值越大开口越小,开口向上，开口向下，进行判断即可求解．
【详解】解：如图所示：①的开口小于②的开口，则，
③的开口大于④的开口，开口向下，
则，
故．
故选：A．
课后强化

1.观察：①y=6x2；②y=-3x2+5；③y=200x2+400x+200；④y=x3-2x；⑤；⑥y=（x+1）2-x2．这六个式子中，二次函数有______．（只填序号）
【分析】根据二次函数的定义可得答案．
【解答】解：这六个式子中，二次函数有：①y=6x2；②y=﹣3x2+5；③y=200x2+400x+200；
故答案为：①②③．
2.若函数是关于x的二次函数，则m=（ ）
A．
B．3
C．3或
D．2
【答案】A
【分析】根据二次函数的定义进行求解即可．
【详解】解：∵函数是关于x的二次函数，
∴，
∴，
故选A．
3.当m为何值时，函数是二次函数．
【答案】
【分析】根据二次函数的定义，即可求解．
【详解】解：∵函数是二次函数，
∴且，
解得：，
即当为时，函数是二次函数．
4.把抛物线化成一般式是______．

5.关于四个函数，，，的共同点，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上
B．都有最低点
C．对称轴是轴
D．随增大而增大
【答案】C
【分析】根据a值得函数图象的开口方向，从而判定A；根据a值得函数图象的开口方向，即可得出函数有最高点或电低点，从而判定B；根据函数的对称轴判定C；根据函数的增减性判定D．
【详解】解：A．函数与的开口向下，函数与开口向上， 故此选项不符合题意；
B．函数与的开口向下，有最高点；函数与开口向上，有最低点， 故此选项不符合题意；
C．函数，，，的对称轴都是y轴，故此选项符合题意；
D．函数与，当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小；函数与，当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大；故此选项不符合题意．
故选：C．
6.若二次函数的图象经过点，则该图象必经过点（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先确定出二次函数图象的对称轴为y轴，再根据二次函数的对称性解答．
【详解】解：∵二次函数的对称轴为y轴，
∴若图象经过点，则该图象必经过点．
故选：A．
7.抛物线的顶点坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质即可得到答案．
【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标为．
故选：C．
8.已知二次函数开口向上，且，则______．
【答案】5
【分析】根据二次函数开口朝上，得到，然后化简，即可求得a的值．
【详解】∵二次函数开口向上，
∴，
∵
∴或
∴或
又∵
∴．
故答案为：5．
9.下列函数中，当x＜0时，y值随x值的增大而增大的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据抛物线的图象的性质即可判断
【详解】根据抛物线的图象的性质，当a＜0时，在对称轴（x=0）的左侧，y值随x值的增大而增大，
故选B
10.已知点、、都在函数的图象上，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先求得抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数图象对称性和增减性即可判断．
【详解】解：，
抛物线的开口向下，对称轴为y轴，
点关于y轴的对称点为，且，
∴，
故选：B．
11.点，都在抛物线上．若，则的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】分别把点，代入抛物线解析式，再由，列出不等式，即可求解．
【详解】解：∵点，都在抛物线上，
∴，，
∵，
∴，
即，
∴
解得：．
故选：D
12.已知点，，都在的数的图像上，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由函数的开口方向向下,对称轴是y轴，再根据二次函数上的点距离对称轴越远,函数值越小即可解答．
【详解】解：∵
∴函数图像开口方向向下,对称轴是y轴
∵点到y轴的距离为1，点到y轴的距离为2，点到y轴的距离为3，
∴．
故选： D．
13.当时，二次函数的最大值是______．
【答案】0
【分析】根据二次函数的性质，时，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，即可得解．
【详解】解：∵，，对称轴为：，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
∵，
∴当时，函数值最大，最大值为：；
故答案为：0．
14.关于函数的图象，下列叙述正确的是（ ）
A．的值越大，开口越大
B．的绝对值越大，开口越大
C．的绝对值越大，开口越小
D．的值越小，开口越小
【答案】C
【分析】抛物线的开口方向由a的符号确定，开口大小由确定，据此回答．
【详解】解：因为越大，抛物线的开口越小；
越小，抛物线的开口越大．
故选：C．
15.二次函数，，，的图象中开口最大的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据二次项系数的绝对值越小，函数图象的开口越大可得答案．
【详解】解：∵二次项系数的绝对值，
∴二次函数，，，的图象中开口最大的是，
故选：C．