四川省成都市第七中学2022-2023学年高二数学（理）下学期（2024届）零诊模拟考试试卷（Word版附答案）

成都七中高 2024 届零诊模拟考试数学试题(理科)

时间: 120 分钟   满分:150 分

一、单选题：共12道小题，每题5分，共60分.
1.设，则z的虚部为
A.i

B.3i

C.1

D.3
2.直线与直线平行，则a=
A.0

B.1

C.-1

D.1或-1
3.一组数据包括47、48、51、54、55，则这组数据的标准差为
A.

B.

C.10

D.50
4.已知函数在其定义域R上的导函数为，当时，是“单调递增”的
A.充要条件

B.既不充分也不必要条件
C.必要不充分条件

D.充分不必要条件
5.如图所示的算法框图思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减相术”，执行该算法框图，若输入的a、b分别为36、96，则输出的a=（ ）

A.0

B.8

C.12

D.24
6.直线与抛物线交于D、E两点，若，其中O为坐标原点，则C的准线方程为( )
A.

B.

C.

D.
7.函数的图象经过变换后得到函数的图象，则
A.

B.

C.

D.
8.有甲、乙、丙、丁四名学生参加歌唱比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四人，甲说：“是乙或丙获奖.”乙说：“甲、丙都未获奖.”丙说：“我获奖了.”丁说：“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是
A.甲

B.乙

C.丙

D.丁
9.设曲线C的参数方程为(为参数，且)，曲线C上动点P到直线的最短距离为
A.0

B.

C.

D.1
10.关于圆周率，数学史上出现过很多有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验.受其启发，可通过设计如下实验来估计π值：先请100名同学每人随机写下一组正实数对(x，y)，且要求x，y均小于1；再统计x、y和1作为三边长能形成钝角三角形的数对(x，y)的个数m；最后利用统计结果估计π值.假如某次实验结果得到m=28，那么本次实验可以将π值估计为
A.

B.

C.

D.
11.点A、B在以PC为直径的球O的表面上，且，AB=BC=2，已知球O的表面积是12π，设直线PB和AC所成角的大小为α，直线PB和平面PAC所成角的大小为，四面体PABC内切球半径为r，下列说法中正确的个数是
①平面PAB；②平面平面ABC； ③：④
A.1

B.2

C.3

D.4
12.函数在上的零点个数为
A.1

B.2

C.3

D.4
二、填空题:共4道小题,每题5分，共20分.
13.命题“”的否定为_____________.
14.函数的图象在处的切线方程为_____________.
15.某区为了解全区12000名高二学生的体能素质情况，在全区高二学生中随机抽取了1000名学生进行体能测试，并将这1000名的体能测试成绩整理成如下频率分布直方图.根据此频率分布直方图，这1000名学生平均成绩的估计值为____________.

16. 双曲线其左、右焦点分别为，倾斜角为的直线与双曲线H在第一象限交于点P，设内切圆半径为r，若，则双曲线H的离心率的取值范围为______.
三、解答题：共5道大题，共70分.
17.（12分）设函数
(1)求、的值；
(2)求在[0,2]上的最值.

18.（12分)信创产业即信息技术应用创新产业，是一条规模庞大、体系完整的产业链，是数字经济的重要抓手之一.在政府、企业等多方面的共同努力下，中国信创产业市场规模不断扩大，市场释放出前所未有的活力.下表为2018—2022年中国信创产业规模（单位：千亿元），其中2018—2022年对应的代码依次为1~5.

(1)从2018—2022年中国信创产业规模中任取2个数据，求这2个数据都大于10的概率.
（2）由上表数据可知，可用指数型函数模型拟合y与x的关系，请建立关于x的回归方程(a，b的值精确到0.01)，并预测2023年中国信创产业规模能否超过20千亿元.
参考数据:

其中,
参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，
19.（12分）如图，三棱柱中，侧面为矩形，且AB=AC=2,D为的中点，.
(1)证明:平面;
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值

20.（12分）椭圆上顶点为B，左焦点为F，中心为0.已知T为x轴上动点，直线BT与椭圆C交于另一点D；而P为定点，坐标为，直线PT与y轴交于点Q.当T与F重合时，有，且.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设T的横坐标为t，当时，求面积的最大值.
21.(12分）设函数，其中.
(1)讨论函数在上的极值；
(2)若函数f(x)有两零点，且满足，求正实数的取值范围.
22.（10分）在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C和直线的极坐标方程分别为和.且二者交于M，N两个不同点.
(1)写出曲线C和直线l的直角坐标方程；
(2)若点P的极坐标为，求a的值.

理科数学参考答案

一、单选题：共12道小题，每题5分，共60分

二、填空题：共4道小题，每题5分，共20分.
13.，

14.

15.80.5

16.
三、解答题：共5道大题，共70分.
17.
解:(1)由题设知,取，则有,即:
也即，取，则有，即
故,.
(2)由(1)知,,

故,
18.
解：(1)从2018—2022年中国信创产业规模中任取2个数据有(8.1,9.6)，（8.1,11.5)，（8.1,13.8)，（8.1,16.7)，（9.6,11.5)，（9.6,13.8），(9.6,16.7），（11.5,13.8)，（11.5,16.7)，（13.8,16.7)，共10种情况，其中这2个数据都大于10的有(11.5,13.8)，（11.5,16.7)，(13.8,16.7)，共3种情况，所以2个数据都大于10的概率
(2)两边同时取自然对数
得，则.
因为,
所以
，所以
即，所以，
即y关于x的回归方程为.
2023年的年份代码为6，把x=6代入,
得，
所以预测2023年中国信创产业规模不会超过20千亿元.
19.公众号：高中试卷君
解：（1）连接与A、B交于点O，连接OD

为三棱柱，为平行四边形，点O为的中点
又D为的中点，则,
又OD平面,平面平面.
(2)，,AB∩，平面
面，

AB=2，,，∴，即
以A为坐标原点，AB，，AC分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

A(0,0,0)，,B(2,0,0),,,D(-1,2,1)
,
,,
平面，则平面的一个法向量为
设平面的法向量为，则，即
令x=1,y=1,z=-1,∴,
设平面与平面所成二面角的大小为

平面与平面所成二面角的余弦值是
20.
解：(1)设F(-c,0)，由知2(-c）=-2+0，即c=1，
由知，即,
则a=2，故椭圆C的标准方程为
(2)直线BT的方程为,与联立，可得
，且，有，即;
直线PT的方程为,令x=0，可得
由
即，
而，当，即时取等,且
故面积的最大值为
21.
解：(1)由知,
1）当时，且有，，单增，故无极值；
2）当时，有，，单减，而，，单增，故，无极大值.
综上，当时，无极值；
当时，极小值为，无极大值.
（2）由（1）可知当时，，，且，
由零点存在定理可知，而题设可知，消去a可得
，令，且，即,， 将其代入，整理可令得
而,
1)当时，且，有，单增，F(t)>F(1)=0，满足题设；
2)当0<λ<1时，且，有，单减，F(t)<f(l)=0，不满足题设；
综上，的取值范围为.
 

22.解：(1)由，得，
故曲线C的直角坐标方程为，即;
由，得
故直线的直角坐标方程为.
（2）点P的直角坐标为（-2,0），在直线上，而直线的标准参数方程为(t为参数），将其代入，整理可得.
由题设知，解得
又，
当a>-1,且a≠1时，有，则，
解得a=2;
当时，有，则，解
得a=-4.
故a的值为2或-4..