备战2024高考数学艺体生一轮复习讲义-专题24 立体几何基础提分小题

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1、表面积与体积计算公式
2、斜二测画法
斜二测画法的主要步骤如下:
(1)建立直角坐标系.在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的,建立直角坐标系.
(2)画出斜坐标系.在画直观图的纸上(平面上)画出对应图形.在已知图形平行于轴的线段,在直观图中画成平行于使(或),它们确定的平面表示水平平面.
(3)画出对应图形.在已知图形平行于轴的线段,在直观图中画成平行于轴的线段,且长度保持不变;在已知图形平行于轴的线段,在直观图中画成平行于轴,且长度变为原来的一般.可简化为“横不变,纵减半”.
(4)擦去辅助线.图画好后,要擦去轴、轴及为画图添加的辅助线(虚线).被挡住的棱画虚线.
注: 直观图和平面图形的面积比为.
3、外接球与内切球
类型1：正方体或长方体外接球的球心在其体对角线的中点。
类型2：正棱柱或直棱柱(圆柱)的球心在上下底面外心连线中点处。
推论：垂面模型（一条直线垂直于一个平面）可补成直三菱柱或长方体。
公式：,（R为外接球半径，r为底面外接圆半径，h为棱锥的高，r可根据正弦定理
类型3：正棱锥（圆锥）模型(侧棱相等，底面为正多边形）的球心在其顶点与底面外心连线线段(或延长线）上。
半径公式：（R为外接球半径，r为底面外接圆半径，h为棱锥的高，r可根据正弦定理
类型4：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心。
类型5：锥体的内切球问题
三棱锥是任意三棱锥，求其的内切球半径
方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等
第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；
第二步：设内切球的半径为，建立等式：
第三步：解出
【典例例题】
例1．（2023·江西上饶·高三校联考阶段练习）用一平面去截一长方体，则截面的形状不可能是（ ）
A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形
【答案】D
【解析】
如图，用平面去截正方体时最多和六个面相交得六边形，
因此截面的形状可能有：三角形、四边形、五边形、六边形，
不可能为七边形，
故选:D.
例2．（2023·高三课时练习）圆台的上、下底面半径分别为5cm和12cm，高为24cm，则圆台的母线长为（ ）．
A．25cmB．30cmC．35cmD．36cm
【答案】A
【解析】如图是圆台的轴截面，圆台的上、下底面半径分别为5cm和12cm，高为24cm，
则该圆台的母线长为：；
故选：A．
例3．（2023·吉林长春·高三校考阶段练习）某全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为h（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）.将地球看作是一个球心为O，半径r为的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数.地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为?，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为（单位：km2），若，则S占地球表面积的百分比约为（ ）
A．26%B．33%C．42%D．50%
【答案】B
【解析】设表示卫星，过作截面，截地球得大圆，
过作圆的切线,线段交圆于点，
如图，，
则又因为，
所以，
设地球表面积为，
所以，
故选:B.
例4．（2023·全国·高三专题练习）若水平放置的四边形按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，，，，则原四边形中的长度为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【解析】过点作,垂足为.
因为，，，；
，所以原四边形中的长度为2.
故选：B
例5．（2023·陕西西安·校考模拟预测）“李白斗酒诗百篇，长安市上酒家眠”，本诗句中的“斗”的本义是指盛酒的器具，后又作为计量粮食的工具，某数学兴趣小组利用相关材料制作了一个如图所示的正四棱台来模拟“斗”，用它研究“斗”的相关几何性质，已知该四棱台的上、下底的边长分别是2、4，高为1，则该四棱台的表面积为（ ）
A．B．32C．D．
【答案】C
【解析】根据题意可知：该四棱台的侧面都是上底边长为2，下底边长为4的等腰梯形，
所以侧面的斜高为，则，
上下底底面面积分别为，
所以该四棱台的表面积为，
故选：.
例6．（2023·全国·高三专题练习）在正四棱锥中，，若正四棱锥的体积是8，则该四棱锥的侧面积是（ ）
A．B．C．4D．
【答案】C
【解析】如图，连接AC，BD，记，连接OP，所以平面ABCD.
取BC的中点E，连接.
因为正四棱锥的体积是8，所以，解得.
因为，所以在直角三角形中,，
则的面积为，
故该四棱锥的侧面积是.
故选：C
例7．（2023·上海静安·统考一模）“阳马”，是底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥．《九章算术》总结了先秦时期数学成就，是我国古代内容极为丰富的数学巨著，对后世数学研究产生了广泛而深远的影响．书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺．问积几何？” 其意思为：“今有底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为尺和尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（ ）平方尺.
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
如图所示，这个四棱锥的外接球和长方体的外接球相同，所以外接球的半径为，外接球的表面积.
故选：C.
例8．（2023·甘肃兰州·高三兰化一中校考阶段练习）已知P，A，B，C，D是球O的球面上的五个点，四边形ABCD为梯形，AD//BC，AB=DC=AD=1，BC=PA=2，PD⊥平面ABCD，则球O的表面积为（ ）
A．6πB．7πC．4πD．8π
【答案】B
【解析】如图：
由题可知，四边形为等腰梯形，取的中点，
连接，则
且，所以四边形为平行四边形
故
所以四边形为菱形，
连接，因为且
所以四边形为平行四边形，即
，
所以到的距离相等，
故为球小圆的圆心.
取的中点，作，且
又因为平面
所以四边形为矩形，
因为,
所以
在直角三角形中，球的半径为：

故球的表面积为：
故选：B.
例9．（2023·山西太原·高三山西大附中校考阶段练习）一个圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则此圆锥的内切球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设圆锥底面半径为，则，解得：；
圆锥的轴截面是边长为的正三角形，
此正三角形内切圆的半径为，即圆锥内切球半径，
圆锥内切球的表面积.
故选：C.
例10．（2023·全国·高三专题练习）长方体的三个相邻面的面积分别是8，8，16，则该长方体外接球的体积为（ ）
A．24πB．32πC．36πD．48π
【答案】C
【解析】设长方体的长、宽、高分别为、、，则，，，解得，，所以长方体外接球的半径为，所以外接球的体积为.
故选：C.
例11．（2023·广东·高三统考学业考试）如果两个球的表面积之比为4∶9，那么这两个球的体积之比为（ ）
A．2∶3B．4∶9C．8∶27D．16∶81
【答案】C
【解析】设两球的半径分别为，则，∴，所以两球的体积比为；
故选：C.
例12．（2023·全国·高三专题练习）在直三梭柱中，，且三梭柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】三棱柱的侧棱垂直于底面，，，，
可将棱柱补成长方体，且长方体的长宽高分别为3,4,12.
长方体的对角线，即为球的直径.
球的半径，
球的表面积为.
故选：C．
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2023春·安徽·高三校联考开学考试）已知圆锥的母线长为10，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】记圆锥的底面半径为r，则，解得，
∴圆锥的高，
∴该圆锥的体积为．
故选：D．
2．（2023·四川成都·统考一模）若圆锥的侧面展开图为一个半圆面，则它的底面面积与侧面面积之比是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设圆锥的底面圆的半径为，扇形的半径为，由题意可得，，
所以，该圆锥的侧面积为，底面积为，
所以，该圆锥的底面面积与侧面面积之比是.
故选：D.
3．（2023·高三课时练习）如图，圆柱的高为2，底面周长为16，四边形ACDE为该圆柱的轴截面，点B为半圆弧CD的中点，则在此圆柱的侧面上，从A到B的路径中，最短路径的长度为（ ）．
A．B．C．3D．2
【答案】B
【解析】圆柱的侧面展开图如图所示，由题得,
所以.
所以在此圆柱的侧面上，从A到B的路径中，最短路径的长度为.
故选：B
4．（2023·河北唐山·高三开滦第二中学校考期末）在古希腊数学家欧几里得的著作《几何原本》中，把轴截面为等腰直角三角形的圆锥称为直角圆锥.在直角圆锥中，点与底面圆都在同一个球面上，若球的表面积为，则圆锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】圆锥的轴截面为等腰直角三角形，如图所示：
在直角圆锥中，点与底面圆都在同一个球面上，由，所以为球的直径，
若球的表面积为，由，球的半径，
则圆锥底面半径，圆锥母线长，
所以圆锥的侧面积为.
故选：A
5．（2023·全国·高三专题练习）如图，是水平放置的△AOB的直观图，但部分图象被茶渍覆盖，已知为坐标原点，顶点、均在坐标轴上，且△AOB的面积为12，则的长度为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】画出△AOB的原图为直角三角形，且，
因为，所以，
所以.
故选：B.
6．（2023·全国·高三专题练习）如图，梯形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，，则原图形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题得,
所以.
故选：B．
7．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知一个圆柱体积为，底面半径为，则与此圆柱同底且体积相同的圆锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设圆锥的高为，所以圆锥的体积为，所以，
所以圆锥的母线，
得圆锥的侧面积为，
故选：B.
8．（2023春·江苏常州·高三校联考开学考试）已知正三棱柱与以的外接圆为底面的圆柱的体积相等，则正三棱柱与圆柱的侧面积的比值为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】D
【解析】设的边长为，外接圆半径为，，
由正弦定理得，则，，
设圆柱的高为，V圆柱，，
正三棱柱的侧面积S棱柱，圆柱的侧面积S圆柱，
正三棱柱与圆柱的侧面积的比值为
故选：D.
9．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）中国某些地方举行婚礼时要在吉利方位放一张桌子，桌子上放一个装满粮食的升斗，斗面用红纸糊住，斗内再插一杆秤、一把尺子，寓意为粮食满园、称心如意、十全十美．下图为一种婚庆升斗的规格，把该升斗看作一个正四棱台，忽略其壁厚，则该升斗的容积约为（ ）（参考数据：，参考公式：）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意，正四棱台中，设棱台的高为，则，
故.
故选：B
10．（2023·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）若棱长均相等的正三棱柱的体积为，且该三棱柱的各个顶点均在球O的表面上，则球O的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设该正三棱柱棱长为，底面三角形的外接圆半径为，则，则底面三角形的外接圆的半径为.
设三棱柱的外接球半径为，则.
故选：D
11．（2023·福建·统考一模）在正四棱台中，，且各顶点都在同一球面上，则该球体的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】如图所示的正四棱台，，取上下两个底面的中心，连接，，，过点作底面的垂线与相交于点，
因为四棱台为正四棱台，所以外接球的球心一定在上，在上取一点为球心，连接，则，设，
因为，所以，
，
在中，，即，
在中，，即，
解得，所以，
故选：A.
12．（2023·四川成都·统考一模）已知侧棱长为的正四棱锥各顶点都在同一球面上．若该球的表面积为，则该正四棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设四棱锥为 ，底面 的中心为O，
设外接球的半径为R，底面正方形的边长为2a，四棱锥的高为 ，则 ， ，
当外接球的球心在锥内时为 ，在 中， ，
即…① ，在 中， ，即 …②，
联立①②，解得 （舍）；
当外接球的球心在锥外时为 ，在 中，，
即…③，在 中， ，即 …④，
联立③④解得 ，四棱锥的体积 ；
故选：D.
13．（2023·全国·高三专题练习）一个正方体的顶点都在同一个球的球面上，该正方体的棱长为a，则球的表面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】正方体的对角线是球的直径，所以，则，
所以球的表面积
故选：D.
14．（2023·全国·高三专题练习）已知四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，底面ABCD是矩形，，若四棱锥P-ABCD外接球的表面积为，则四棱锥P-ABCD的体积为（ ）
A．3B．2C．D．1
【答案】D
【解析】设四棱锥P-ABCD外接球的半径为R，则，即．
由题意，易知，得，
设，得，解得，
所以四棱锥P-ABCD的体积为．
故选：D
15．（2023·黑龙江哈尔滨·高三校考阶段练习）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．
故选：A．
16．（2023春·河南·高三商丘市回民中学校联考开学考试）如图，青铜器的上半部分可以近似看作圆柱体，下半部分可以近似看作两个圆台的组合体，已知，则该青铜器的表面积为（ ）（假设上、下底面圆是封闭的）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为，，
所以该青铜器的表面积.
故选：A.
二、多选题
17．（2023·浙江杭州·高三浙江省桐庐中学期末）下列命题正确的是（ ）
A．两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
B．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形
C．用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形
D．棱柱的面中，至少有两个面互相平行
【答案】BD
【解析】对A，棱台指一个棱锥被平行于它的底面的一个平面所截后，截面与底面之间的几何形体，其侧棱延长线需要交于一点，故A错误；
对B，棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形，故B正确；
对C，用平面截圆柱得到的截面也可能是椭圆，故C错误；
对D，棱柱的面中，至少上下两个面互相平行，故D正确；
故选：BD
三、填空题
18．（2023·高三课时练习）一个正方体的展开图如图所示，为原正方体的顶点，则在原来的正方体中，与的位置关系为______．
【答案】异面直线
【解析】由正方体的展开图复原正方体的直观图如图：
则在原来的正方体中，与的位置关系为异面直线，
故答案为：异面直线
19．（2023·高三课时练习）已知一个正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为，则该正三棱锥的高为______．
【答案】3
【解析】如图，正三棱锥中，底面是边长为3的等边三角形，
侧棱长为，
设O为的中心，
取中点D，连结，则O在上，为三棱锥的高，
则，，
故，
∴正三棱锥的高为3，
故答案为：3
20．（2023·高三课时练习）若△OAB的斜二测直观图为如图所示的，则原△OAB的面积为______．
【答案】6
【解析】因为，，，
所以，，
所以的面积为，
故答案为：6
21．（2023·全国·高三校联考阶段练习）如图，梯形ABCD是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，，则原图形的面积为______．
【答案】
【解析】因为，， ，
所以，，
所以．
故答案为：．
22．（2023·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考期末）已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，，，则球O的体积是___________.
【答案】
【解析】根据余弦定理得，故，
根据正弦定理得，故，其中为三角形外接圆半径，
设为三棱锥外接球的半径，则，故，
则球的表面积.
故答案为：
23．（2023·全国·高三专题练习）已知三棱锥中， 面， 则三棱锥的外接球的体积为___________.
【答案】
【解析】
由题可知,该三棱锥在长方体中，且三棱锥的四个顶点为长方体的四个顶点，
所以三棱锥的外接球即为长方体的外接球，
由图可知长方体的长宽高分别为，
所以体对角线长，
所以外接球的体积等于.
故答案为:.
24．（2023·高三课时练习）已知某球体的体积与其表面积的数值相等，则此球体的半径为_________．
【答案】
【解析】假设球体的半径为，由已知条件球体的体积与其表面积数值相等，
得，解得.
故答案为：
25．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，是同一球面上的四个点，其中是正三角形，平面，，，则该球的表面积为______.
【答案】
【解析】由题意，的外接圆直径，且的外接圆直径，与外接球直径构成勾股定理，所以外接球直径满足.
故外接球表面积.
故答案为：
26．（2023·全国·高三专题练习）已知长方体的三条棱长分别为1，，，则该长方体外接球的表面积为___．（结果用含的式子表示）
【答案】
【解析】由题意得，长方体的体对角线即为外接球直径，设外接球半径为，则，则外接球的表面积为.
故答案为：.
27．（2023·全国·高三专题练习）已知直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若，则此球的表面积为_________．
【答案】
【解析】设的外心分别为 ,连接，可知外接球的球心为的中点，连接
在，由正弦定理可得的外接圆的半径 ,在直角三角形 中，外接球的半径 ,所以外接球的表面积为
故答案为：
28．（2023·江苏南京·高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考期末）已知正四棱台的上、下底面的顶点都在一个半径为3的球面上,上、下底面正方形的外接圆半径分别为1和2,圆台的两底面在球心的同侧,则此正四棱台的体积为_____．
【答案】
【解析】解:由题知,正四棱台的上、下底面的顶点都在一个半径为3的球面上,
取正四棱台上底面一点为,正方形中心为,
下底面一点为,正方形中心为,
正四棱台外接球球心为,
连接如图所示:
记正四棱台高,,
在直角三角形中,,
所以有,解得,
在直角三角形中,,
所以有,
解得,即,
因为四棱台上、下底面正方形的外接圆半径分别为1和2,
所以四棱台上、下底面正方形的边长分别为:,,
所以,,
故正四棱台体积为:.
故答案为:
表面积
柱体
为直截面周长
椎体
台体
球
体积
柱体
椎体
台体
球