备战2024高考数学艺体生一轮复习讲义-专题40 等差数列、等比数列综合运用

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专题40 等差数列、等比数列综合运用
【典型例题】
例1．（2023春·江苏南京·高三校联考阶段练习）已知数列是等差数列，且，将去掉一项后，剩下三项依次为等比数列的前三项，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在等差数列中，，解得，而，即有公差，
等差数列的通项，则，显然去掉，
成等比数列，则数列的首项为，公比，
所以.
故选：C
例2．（2023秋·青海西宁·高三校考期末）设等比数列的前n项和为Sn，若，，成等差数列，且，则（    ）
A．-1 B．-3 C．-5 D．-7
【答案】B
【解析】∵，，成等差数列，∴，由题意，
∴，可得，所以
∴.
故选: B.
例3．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）下列说法正确的是（    ）
A．已知数列是等差数列，则数列是等比数列
B．已知数列是等比数列，则数列是等差数列
C．已知数列是等差数列且，数列是等比数列，则数列是等比数列
D．已知数列是等比数列且，数列是等差数列，则数列是等差数列
【答案】AC
【解析】设，，故A正确．
中，，但中可能，不成立，故B错误．
设，且，，则，为常数，故C正确．
设，，，则，．
当时，不恒为定值，故D错误．
故选：AC
例4．（2023春·安徽·高二安徽师范大学附属中学校考阶段练习）已知数列为等比数列，且，设等差数列的前n项和为，若，则__________．
【答案】
【解析】因为数列为等比数列，且，
所以，解得或（舍）
即，又因为数列为等差数列，
则.
故答案为:.
例5．（2023·全国·模拟预测）在数列中，a2=5，数列是首项为2，公差为4的等差数列，.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的前n项和Sn.
【解析】（1）由题意得，即，
∴.又，∴.
∵，∴，则，
∴数列是首项为，公比为3的等比数列.
（2）由（1）得，
∴
∴


.
例6．（2023·全国·高二专题练习）已知公差不为0的等差数列满足：①，②成等比数列；③．从①②③中选择两个作为条件，证明另一个成立．
【解析】选①②：
设等差数列的公差为，则，
又因为成等比数列，所以，即，，
联立解得：．
所以．
所以．
选①③：
设等差数列的公差为，则，
，
联立解得：．
所以，，，，
，所以成等比数列．
选②③：
设等差数列的公差为，
因为成等比数列，所以，即，
，
联立解得：，
所以．
所以．
例7．（2023春·云南曲靖·高三统考阶段练习）已知等比数列满足，且，为数列的前项和.
(1)求的通项公式；
(2) （）能否构成等差数列，若能，则求的值；若不能，则说明理由.
【解析】（1）设数列公比为，因为，
所以，即，
又因为，
所以，即，
所以；
（2）假设 能构成等差数列，
则，
化简得，即，又，
因为等号右边为奇数，且为偶数，所以必为奇数，
所以，且，
此时，故能构成等差数列.
例8．（2023·全国·高三专题练习）设{an}是首项为1的等比数列，已知a1，3a2，9a3成等差数列，求等比数列{an}的公比.
【解析】设公比为q，因为数列{an}是首项为1的等比数列，
所以，
且a1，3a2，9a3成等差数列，
所以23a2=a1+9a3，
所以6a1q=a1+9a1q2，
即9q2-6q+1=0，
解得q=.
例9．（2023·全国·高三专题练习）已知数列是一个公比为的等比数列，是数列的前n项和，再从条件①､②､③这三个条件中选择一个作为已知，解答下列问题:条件①:成等差数列;条件②:;条件③:.
(1)求数列的通项公式;
(2)令，求数列的前n项和的最小值.
注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【解析】（1）选①，因为成等差数列，
所以，即，
又，所以，解得或（舍去），
则，
所以数列的通项公式.
选②，当时，，即有，
所以公比，而，则，
所以数列的通项公式.
选③，，即有，解得或（舍去），
则，
所以数列的通项公式.
（2）由（1）知，
所以
所以当时，的最小值为.
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项之积为.
(1)求数列的通项公式;
(2)设公差不为0的等差数列中，，___________，求数列的前项和.
请从①； ②这两个条件中选择一个条件，补充在上面的问题中并作答.
注：如果选择多个条件分别作答，则按照第一个解答计分.
【解析】（1）当 时，
当时，
综上，；
（2）若选①，
设等差数列的公差为，
因为，，
所以，解得
所以，，
所以，，
所以，

所以，
若选②，
设等差数列的公差为，
因为，所以，
又因为，所以，解得
所以，，
所以，，
所以，
所以，
例11．（2023秋·湖南湘潭·高三校联考期末）已知等差数列和等比数列满足，.
(1)求数列，通项公式
(2)设数列中满足，求和
【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
则，解得，
，
，解得，
，
即，；
（2）由（1）得，

.
例12．（2023·四川·校联考一模）已知等差数列与正项等比数列满足．
(1)求数列和的通项公式；
(2)记数列的前20项的和为，数列的前n项和为，求满足的n的最小值．
【解析】（1）设等差数列与正项等比数列公差，公比分别为，
因为，
所以，解得，
所以，数列的通项公式为
数列的通项公式为.
（2）由（1）得，，
所以，即为，即为，
因为单调递增，
所以，满足的正整数最小值为

【技能提升训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列和等差数列，满足，则（   ）
A． B．1 C．4 D．6
【答案】D
【解析】设等比数列的公比和等差数列的公差分别为.
因为，所以.
由题意得，
又，解得，
所以，
所以，
故选：D.
2．（2023春·广西南宁·高三南宁三中校考专题练习）设等比数列的前项和为，若，且，，成等差数列，则（    ）
A．7 B．12 C．15 D．31
【答案】C
【解析】设公比为，因为，，成等差数列，所以，
则，解得：或0（舍去）.
因为，所以，故.
故选：C
3．（2023·全国·高三专题练习）在各项均为正数的等差数列中，，若成等比数列，则公差d=（    ）
A．或2 B．2 C．1或 D．1
【答案】B
【解析】由题意可得，即
即
所以
由题意，则，所以
所以，所以
故选：B
4．（2023·全国·高三专题练习）若等差数列和等比数列满足，则的公差为（    ）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【解析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为

，又

又
，
故选：A
5．（2023·全国·高三专题练习）已知是等差数列，是各项均为正数的等比数列，且，，，则（    ）
A．7 B．4 C．1 D．–2
【答案】C
【解析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由题意可得：，则，即，解得或（舍去），
故.
故选：C.
6．（2023·全国·高三专题练习）等比数列的公比为，且，，成等差数列，则的前10项和为（    ）．
A． B． C．171 D．
【答案】A
【解析】由于，，成等差数列，
所以，
即，
解得，
所以.
故选：A
7．（2023·全国·高三专题练习）已知公差不为0的等差数列，满足，，成等比数列，的前n项和为，则的值为（    ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【解析】设等差数列的公差为，且，
又满足，，成等比数列，即，可得，
所以，
则，所以.
故选：B.
8．（2023秋·广东·高三校联考阶段练习）已知等差数列与各项均为整数的等比数列的首项分别为，且，.将数列，中所有项按照从小到大的顺序排列成一个新的数列（重复的项只计一次），则数列的前40项和为（    ）
A．1843 B．2077 C．2380 D．2668
【答案】B
【解析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由，，
得到，解得，，，
根据题意，，，，故，，可与一起排列，故
：，
故数列的前40项和为：
.
故选：B
9．（2023·全国·高三专题练习）已知数列为等差数列，为等比数列的前n项和，且，，，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设等差数列的公差为d，由得，解得，
则，所以，，
设等比数列的公比为q，则，
则，
故选：D．
10．（2023·全国·高三专题练习）已知数列是等比数列，且，，成等差数列，则公比（    ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】因为，，成等差数列，
所以，
所以，
所以，所以，所以.
故选：C
11．（2023·全国·高三专题练习）已知在等比数列中，，等差数列的前项和为，且，则（    ）
A．96 B．102 C．118 D．126
【答案】B
【解析】在等比数列中，，
，
，
在等差数列中，
，
，
，
故选：B．
12．（2023·全国·高三专题练习）已知数列为等差数列，且，3，成等比数列，则为（    ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【解析】设数列的公差为，
因为，3，成等比数列，所以，
所以+，
所以，
故选：A.
13．（2023·全国·高三专题练习）已知1，，，4成等比数列，1，，，，4成等差数列，则的值是（　　）
A． B． C．2 D．1
【答案】B
【解析】∵1，，，4成等比数列，1，，，，4成等差数列，
∴，，，
则．
故选：B．
二、多选题
14．（2023春·安徽阜阳·高三阜阳市第二中学校考阶段练习）下列命题正确的是（    ）
A．若均为等比数列且公比相等，则也是等比数列
B．为等比数列，其前项和为，则也成等比数列
C．为等差数列，则为等比数列
D．的前项和为，则“”是“为递增数列”的充分不必要条件
【答案】CD
【解析】对于，均为等比数列且公比相等，当时,数列不是等比数列，故选项错误；
对于，当等比数列为时，当为偶数时，，则不能构成等比数列，故选项错误；
对于，设等差数列的公差为，则常数，所以为等差数列，则为等比数列，故选项正确；
对于，数列中，对任意,，则；所以数列是递增数列，充分性成立；
当数列是递增数列时，，即，所以时，，如数列；不满足题意，所以必要性不成立，则“”是“为递增数列”的充分不必要条件，故选项正确，
故选：.
15．（2023·全国·高三专题练习）关于等差数列和等比数列，下列四个选项中正确的有（    ）
A．若数列的前n项和（a，b，c为常数），则数列为等差数列
B．若数列的前n项和，则数列为等比数列
C．数列是等差数列，为前n项和，则，，，…仍为等差数列
D．数列是等比数列，为前n项和，则，，，…仍为等比数列
【答案】BC
【解析】根据题意，依次分析选项：
对于选项A：因为，，
当时，，
所以，所以只有当时，数列成等差数列，故A错误；
对于选项B：因为，，
当时，，当时，，符合上式，
所以，则数列成等比数列，故B正确；
对于选项C：数列是等差数列，为前项和，则，，，是公差为（为的公差）的等差数列，故C正确；
对于选项D：令，则，，，是常数列，显然不是等比数列，故D错误.
故选：BC.
16．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的公差和首项都不等于0，且，，成等比数列，则下列说法正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】由题设，若的公差和首项分别为，而，
∴，整理得，又公差和首项都不等于0，
∴，故D正确，C错误；
∵，
∴，故A正确，B错误.
故选：AD
17．（2023·全国·高三专题练习）在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是　　
A．
B．数列是等比数列
C．
D．数列是公差为2的等差数列
【答案】ABC
【解析】，，，，公比为整数．
解得．
，．
，数列是公比为2的等比数列．
．
．数列是公差为的等差数列．
综上可得：只有ABC正确．
故选：ABC．
三、填空题
18．（2023春·江苏镇江·高三校考开学考试）在等差数列中，公差不为，，且，，成等比数列，当______时，数列的前项和有最大值.
【答案】5
【解析】依题意，，即，整理得，而，解得，
于是得，显然数列是递减等差数列，，
所以当时，数列的前项和有最大值.
故答案为：5.
19．（2023·全国·高三专题练习）已知是等差数列，，公差，为其前n项和，若，，成等比数列，则________．
【答案】
【解析】因为，，成等比数列
，即
解得 或（舍）

故答案为：
20．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的公差不为零，且，，成等比数列，则________．
【答案】
【解析】因为等差数列的公差d不为零，则由，
知，，．
故答案为：.
21．（2023·全国·高三专题练习）等差数列的公差为2，前n项和为，若，，构成等比数列，则___________.
【答案】
【解析】由题设，，则，可得，
所以，故.
故答案为：
22．（2023·全国·高三专题练习）已知正项等差数列的前n项和为，且，若成等比数列，则等差数列的通项公式________．
【答案】
【解析】等差数列中，
设公差为d，，
∴，
解得或（舍），
∴．
故答案为：
23．（2023·全国·高三专题练习）公比不为1的等比数列中，若成等差数列，则数列的公比为__________.
【答案】
【解析】由题意：为等比数列，成等差数列，则，，
，又因为等比数列的公比不为1，
故答案为：.
24．（2023·全国·高三专题练习）已知数列是等差数列，数列是等比数列，，，则______.
【答案】
【解析】由题意得，
所以，
，
所以，
所以，
所以.
故答案为：
25．（2023·全国·高三专题练习）写出同时满足以下三个条件的数列的一个通项公式______．①不是等差数列，②是等比数列，③是递增数列．
【答案】
【解析】因是等比数列，令，当时，，，是递增数列，
令是互不相等的三个正整数，且，若，，成等差数列，则，
即，则有，显然、都是正整数，，都是偶数，
于是得是奇数，从而有不成立，即，，不成等差数列，数列不成等差数列，
所以.
故答案为：
26．（2023·全国·高三专题练习）等差数列的公差为2，若，，成等比数列，则______．
【答案】4
【解析】由题意，.
故答案为：4.
27．（2023秋·北京石景山·高三统考期末）等比数列中，，，成等差数列，若，则公比 __________．
【答案】
【解析】因为，，成等差数列，
所以，
可得，
因为，所以，
解得：，
故答案为：.
28．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列的前n项和，且成等差数列，则的值为___________.
【答案】-2
【解析】因为等比数列的前n项和，
当时；；
当时，，
所以①，
.又成等差数列，
所以，即②
.由①②解得，
所以.
故答案为：-2
29．（2023春·北京·高三北京二中校考开学考试）等差数列中，且，，成等比数列，数列前20项的和____
【答案】200或330
【解析】设数列的公差为，则，
，
由成等比数列，得，
即，
整理得，解得或，
当时，；
当时，，
于是，
故答案为200或330.
30．（2023春·天津·高三校联考阶段练习）等比数列中，各项都是正数，且,,成等差数列，则=_________．
【答案】
【解析】等比数列中，各项都是正数，且，，成等差数列，故公比为正数且不等于1．
，即，
即为，解得，
，
故答案为：．
四、解答题
31．（2023春·上海普陀·高三曹杨二中校考阶段练习）设为数列的前项和，已知.
(1)证明：是等差数列；
(2)若，，成等比数列，求的最小值.
【解析】（1）证明：因为，即 ①，
当时， ②
得，，
即，
即,
所以，且，
所以是以1为公差的等差数列.
（2）由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，
所以，
所以当或时，取得最小值，.
32．（2023秋·江苏无锡·高三统考期末）已知等差数列的前n项和为，公差，是，的等比中项，．
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，，求．
【解析】（1）设公差为d，
由题意得，
解得，∴．
（2），①
，②
②－①得，，
∵，∴．
∴
．
33．（2023秋·重庆·高三统考学业考试）已知等差数列的前项和为，，且、、成等比数列.
(1)求；
(2)求数列的前项和.
【解析】（1）设等差数列的公差为，
由得，解得，
因为，，整理可得，解得，
所以，.
（2）当时，；当时，.
所以，数列的前项和为.
34．（2023·全国·高三专题练习）已知数列，，，数列为等比数列，满足，且，，成等差数列.
(1)求数列和的通项公式；
(2)记数列满足：，求数列的前项和.
【解析】（1）由题意，，，，令得，又数列为等比数列，所以，即数列为公比为等比数列.
所以由可得即，数列是首项为，公差为的等差数列，
数列的通项公式：.
由，，成等差数列，得：，，，有.
（2）由（1）知，数列的奇数项是首项为3，公差为4的等差数列，偶数项是以首项为4，公比为4的等比数列.

.
35．（2023秋·河北唐山·高三统考期末）已知是等差数列，是公比不为1的等比数列，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若集合，且，求中所有元素之和.
【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
依题意，解得，.
所以.
（2）设，即，即，
因为，所以，即，
由于，所以，解得，，
所以中所有元素之和为.
36．（2023秋·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知等比数列的首项，公比为，前项和为，且，，成等差数列.
(1)求的通项；
(2)若，求的前项和.
【解析】（1）若，而首项，则，不合题意，故.
则由可得，，所以，
则.
（2）由（1）可得
对，其奇数次项依次构成一个首项为1，公比为4的等比数列，而偶数次项依次构成一个首项为，公差为的等差数列，
当为偶数时，
当为奇数时，
综上，
37．（2023秋·江西吉安·高三统考期末）设数列为等差数列，，数列为等比数列，其中．
(1)求，的通项公式；
(2)若，求的前n项和．
【解析】（1）设数列的公差为d，则，
由数列为等比数列可得即，∴，或，
当时，，
等比数列的公比，所以；
当时，
等比数列的公比，所以；
（2）若，由（1）可得，则，又，
∴，
∴．
38．（2023·重庆·统考一模）已知数列是各项均为正数的等比数列，设.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)设数列的前5项和为35，，求数列的通项公式.
【解析】（1）设的公比为，
∴
故，所以，
故是以为公差的等差数列；
（2）∵数列的前5项和为35，
∴，又，故的公差2，
故，即，
即，
故且，
从而，或，
所以或.
39．（2023·全国·高三专题练习）已知数列是等差数列，且，前四项的和为16，数列满足，，且数列为等比数列.
(1)求数列和的通项公式：
(2)求数列的前项和.
【解析】（1）设等差数列的公差为，的前项和为，
因为，所以，整理得，解得，
所以，
所以，，又，，则，
因为数列为等比数列，设其公比为，
则，故，
所以.
（2）由（1）得，，
所以.