2024年新高考数学一轮复习 第一章 第二节 常用逻辑用语

课时跟踪检测(二) 常用逻辑用语

1．命题“∀x∈R，x＋|x|≥0”的否定是(　 )

A．∀x∈R，x＋|x|<0  B．∀x∈R，x＋|x|≠0

C．∃x∈R，x＋|x|≥0  D．∃x∈R，x＋|x|<0

解析：选D　因为命题“∀x∈R，x＋|x|≥0”是全称量词命题，所以其否定是存在量词命题，即∃x∈R，x＋|x|<0，故选D.

2．(2022·天津高考) “x为整数”是“2x＋1为整数”的(　 )

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

解析：选A　由题意，若x为整数，则2x＋1为整数，故充分性成立；当x＝时，2x＋1为整数，但x不为整数，故必要性不成立．所以“x为整数”是“2x＋1为整数”的充分不必要条件．

3．已知命题p：∃x∈R，x＝－1或x＝2，则(　 )

A．綈p：∀x∈R，x≠－1或x≠2

B．綈p：∀x∈R，x≠－1且x≠2

C．綈p：∀x∈R，x＝－1且x＝2

D．綈p：∃x∉R，x＝－1或x＝2

解析：选B　存在量词的否定是全称量词，因此綈p是∀x∈R，x≠－1且x≠2.故选B.

4．不等式x>成立是不等式x2<1成立的(　 )

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选B　解不等式x>，得x<1，解不等式x2<1，得－1<x<1，又(－1,1)⊆(－∞，1)，所以不等式x>成立是不等式x2<1成立的必要不充分条件．

5．(多选)在下列命题中，真命题有(　 )

A．∃x∈R，x2＋x＋3＝0

B．∀x∈Q，x2＋x＋1是有理数

C．∃x，y∈Z，使3x－2y＝10

D．∀x∈R，x2>|x|

解析：选BC　A中，x2＋x＋3＝0有Δ＝1－12＝－11<0，所以方程无实数解，假命题；B中，对于∀x∈Q，x2，x,1都是有理数，故它们的和也为有理数，真命题；C中，当x＝4，y＝1时有3x－2y＝10，真命题；D中，当x＝时，有x2<|x|，假命题．

6．(多选)已知集合M，N为R的非空子集，且M≠N，则下列结论中命题p是命题q的充分条件的是(　 )

A．p：a∈M∩N，q：a∈M

B．p：a∈M∪N，q：a∈M

C．p：∁RM⊆N，q：M∪(∁RN)＝M

D．p：M∩(∁RN)＝M，q：∁RM⊆N

解析：选AC　因为由a∈M∩N可推出a∈M，所以p是q的充分条件，A对．因为a∈M∪N不能推出a∈M，所以p不是q的充分条件，B错误．若∁RM⊆N，则∁RN⊆M，则M∪(∁RN)＝M，∴p是q的充分条件，C对．若M∩(∁RN)＝M，则M⊆∁RN，∴N⊆∁RM，∴p不是q的充分条件，D错误．

7．若“∃x∈，tan x<m”是假命题，则实数m的最大值为(　 )

A.  B．－  C.  D．－

解析：选B　若“∃x∈，tan x<m”是假命题，则“∀x∈，tan x≥m”是真命题，

因为∀x∈，tan x≥tan－＝－，

所以m≤－.

8．若x>2m2－3是－1<x<4的必要不充分条件，则实数m的取值范围是(　 )

A．(－∞，－3]∪[3，＋∞)

B．[－3,3]

C．(－∞，－1]∪[1，＋∞)

D．[－1,1]

解析：选D　∵x>2m2－3是－1<x<4的必要不充分条件，∴(－1,4)(2m2－3，＋∞)，∴2m2－3≤－1，解得－1≤m≤1，故选D.

9．下面四个条件中，使a>b成立的充分不必要的条件是(　 )

A．a>b＋2  B．<  C．a2>b2  D．2a>2b

解析：选A　a>b＋2⇒a>b，且a>b a>b＋2，故a>b成立的充分不必要的条件是a>b＋2，A正确；当a＝－2，b＝1时，此时满足<，而不满足a>b，故<不是a>b成立的充分不必要的条件，B错误；a2>b2，解得a>b>0或a<b<0，故a2>b2是a>b成立的必要不充分条件，故不合题意，C错误；2a>2b，解得a>b，故2a>2b是a>b成立的充要条件，不合题意，D错误．

10．“∀x∈[1,2]，ax2＋1≤0”为真命题的充要条件是(　 )

A．a≤－1  B．a≤－

C．a≤－2  D．a≤0

解析：选A　∵“∀x∈[1,2]，ax2＋1≤0”为真命题，

∴a≤－对任意的x∈[1,2]恒成立，由于函数y＝－在区间[1,2]上单调递增，则ymin＝－1，∴a≤－1.

11．已知向量a，b不共线，则“|a－b|＝|a|”是“a，b夹角为锐角”的(　 )

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选A　设a，b夹角为θ，由|a－b|＝|a|得|a－b|2＝|a|2⇒a2－2a·b＋b2＝a2⇒2a·b＝b2，由于a，b不共线，则a，b均为非零向量，且夹角不为0和π，因此|b|>0，|a|>0，进而2a·b＝|b|2>0⇒cos θ>0⇒θ∈，而若“a，b夹角为锐角”，不一定能满足2a·b＝b2，因此|a－b|，|a|不一定相等，故“|a－b|＝|a|”是“a，b夹角为锐角”的充分不必要条件．

12．已知以下三个陈述句：

p：存在a∈R且a≠0，对任意的x∈R，都有f(2x＋a)＜f(2x)＋f(a)恒成立；

q1：函数y＝f(x)是减函数，且对任意的x∈R，都有f(x)＞0；

q2：函数y＝f(x)是增函数，且存在x0＜0，使得f(x0)＝0.

用这三个陈述句组成两个命题，命题S：“若q1，则p”；命题T：“若q2，则p”．关于命题S，T，以下说法正确的是(　 )

A．只有命题S是真命题

B．只有命题T是真命题

C．两个命题S，T都是真命题

D．两个命题S，T都不是真命题

解析：选C　命题S：若q1，则p.因为y＝f(x)是减函数，且对任意x∈R，都有f(x)＞0，若a＜0，则a＜0＜2x＋a，故f(a)＞f(2x＋a)，又f(2x)＞0，故f(2x＋a)＜f(2x)＋f(a)；若a＞0，则2x＋a＞2x，故f(2x＋a)＜f(2x)，又f(a)＞0，故f(2x＋a)＜f(2x)＋f(a)．综上，存在a∈R且a≠0，对任意x∈R，都有f(2x＋a)＜f(2x)＋f(a)，所以命题S为真命题．命题T：若q2，则p.因为y＝f(x)是增函数，且存在x0＜0，使得f(x0)＝0，取a＝x0＜0，则f(a)＝0，故f(2x＋a)＜f(2x)＝f(2x)＋f(a)，所以命题T为真命题．故选C.

13．已知命题p：∃x∈R，x2>2，则命题p的否定为_______．

解析：∵命题p：∃x∈R，x2>2，∴命题p的否定为∀x∈R，x2≤2.

答案：∀x∈R，x2≤2

14．能够说明“存在两个不相等的正数a，b，使得a－b＝ab是真命题”的一组有序数对(a，b)为________．

解析：答案不唯一，如，，都符合题意．

答案：(答案不唯一)

15．直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点的充要条件是________．

解析：直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点等价于<，解得－1<k<3.

答案：－1<k<3

16．若f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，∀x1∈[－1,2]，∃x0∈[－1,2]，使g(x1)＝f(x0)，则实数a的取值范围是________．

解析：设f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)在[－1,2]上的值域分别为A，B，则A＝[－1,3]，B＝[－a＋2,2a＋2]，由题意可知∴a≤，又∵a>0，∴0<a≤.

答案：