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    2024年新高考数学一轮复习 第四章 第六节 第一课时 正弦定理和余弦定理第六节 第一课时 正弦定理和余弦定理 试卷课件

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    课时跟踪检测(三十一) 正弦定理和余弦定理一、全员必做题1.(2023·石家庄模拟)ABC中,角ABC所对的边分别为abc,若b=5,cos A,sin B,则a=(  )A8  B.6  C.5  D.3解析B 在ABC因为cos A所以sin A由正弦定理解得a=6.2.(2023·福建模拟)ABCABC所对的边分别为abcsin Asin Bsin C=245,cos B=(  )A.  B.C.-  D.解析A 因为abc=sin Asin Bsin C=245,a=2tb=4tc=5t(t>0),cos B.3.(2023·昌平模拟)ABC中,B=45°c=4,只需添加一个条件,即可使ABC存在且唯一.条件:a=3b=2cos C=-中,所有可以选择的条件的序号为(  )A.  B.①②C.②③  D.①②③解析:选B 对于c=4,B=45°a=3,所以b2a2c2-2accos B=10,得b,此时,ABC存在且唯一,符合题意;对于c=4,B=45°b=2,所以,解得sin C,因为c<b,所以C<B,所以C为锐角,此时,ABC存在且唯一,符合题意;对于c=4,B=45°,cos C=-,所以<C<π,得sin C,进而,可得b,明显可见,c<b,与C>B矛盾,故不符合题意.故可以选择的条件序号为①②.4.设ABC的内角ABC所对的边分别为abc.若bc=2a,3sin A=5sin B,则C=(  )A.  B.  C.  D.解析:选B 3sin A=5sin B由正弦定理可得3a=5b,即ab.bc=2acbcos C=-=-.C(0,π),C.5.ABC的内角ABC的对边分别为abc且满足acos Bbcos A=2ccos C,且sin A=sin B,则ABC的形状是(  )A.直角三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形解析:选B 由acos Bbcos A=2ccos C,利用正弦定理可得sin Acos B+sin Bcos A=2sin Ccos C,整理得sin(AB)=sin C=2sin Ccos C,0<C<π,则sin C0,化简得cos C,故C,在ABC中,由于sin A=sin B,所以AB(不可能ABπ),故ABC.所以ABC为等边三角形.6.(2023·泸州模拟)ABC的内角ABC的对边分别为abc,已知csin Aacos Cc=2ab=8,则ab的值是(  )A6  B.8  C.4  D.2解析:选A 因为csin Aacos C,根据正弦定理得sin Csin Asin Acos Csin A0,故tan CC(0,π),C,再由余弦定理得cos C,代入c=2ab=8,得ab=6.故选A.7.在ABC中,内角ABC所对的边分别是abc,已知a=3,b=4,sin B,则A=______.解析:因为a=3,b=4,sin Ba<b,所以A为锐角,由正弦定理可得sin A,所以A.答案:8.在ABC中,若a=2,b=5,cos C,则ABC的面积为______.解析:因为在ABC中,cos C,0<C<π所以sin C,故SABC×2×5×=3.答案:39.(2023·朔州模拟)已知ABC中角ABC所对的边分别为abc,若c=3,ABC的面积Sabtan C,则=________.解析:依题意Sabtan C,即absin Cab·cos C>0,所以C为锐角,sin C.由正弦定理得=5.答案:10.在锐角ABC中,角ABC所对的边分别为abc,若cos Bb=4,SABC=4,则ABC的周长为________.解析:由cos B,得sin B,则由三角形面积公式可得acsin Bac·=4,则ac=12 ,由b2a2c2-2accos B,可得16=a2c2-2×12×,则a2c2=24 ,联立①②可得ac=2,所以ABC的周长为4+4.答案:4+411.在ABC中,角ABC的对边分别为abc.设cos2A+sin Asin B=sin2B+cos2C.(1)求C(2)若DAB中点,CDAB=2,求ABC的面积.解:(1)cos2A+sin Asin B=sin2B+cos2C1-sin2A+sin Asin B=sin2B+1-sin2C即sin Asin B-sin2A=sin2B-sin2C由正弦定理得aba2b2c2,即cos C0<C<πC.(2)DAB中点,=-·abcos Cab=()·()=CD2DA2=7-3=4,ab=8,SABCabsin C×8×=2.12.在锐角ABC中,角ABC的对边分别为abcABC的面积为S,若4Sb2c2a2b.(1)求A(2)若________,求ABC的面积S的大小.2cos2B+cos 2B=0,bcos Aacos B+1,这两个条件中任选一个,补充在横线上并解答.解:(1)因为4Sb2c2a2,所以4×bcsin Ab2c2a2,所以,于是sin A=cos A,故tan A=1,因为0<A<,所以A.(2)选,因为2cos2B+cos 2B=0,所以cos2B,所以cos B±.因为0<B<,所以B.根据正弦定理,得,所以a=2.所以Sabsin C×2××sinπ.,由bcos Aacos B+1,b×a×+1,整理得c+1,所以Sbcsin A××(+1)×sin.二、重点选做题1.(2023·广州模拟)(多选)在ABC中,角ABC的对边分别是abc.下面四个结论正确的是(  )A.a=2,A=30°,则ABC的外接圆半径是4B.若,则A=45°C.若a2b2<c2,则ABC一定是钝角三角形D.若A<B,则cos A<cos B解析:选BC 由正弦定理知=4=2R,所以外接圆半径是2,故A错误;由正弦定理及可得,=1,即tan A=1,由0<A<180°,知A=45°,故B正确;因为cos C<0,所以C为钝角,所以ABC一定是钝角三角形,故C正确;若AB,显然cos A>cos B,故D错误.2.已知ABC中,角ABC的对边分别为abc,满足,则sin A=________.解析:根据正弦定理,由k(k>0),所以tan A=2k,tan B=3k,tan C=6k,因为ABCπ,所以ABπC,因此有tan(AB)=tan(πC)=-tan C=-6k,解得k(负值舍去),因此tan A=2×因此有sin A(负值舍去).答案:3.在ABC中,AB=3,AC=4,DEBC上两点且BDDEEC,若AD,则AE的长为________.解析:由题意,在ADB中,由余弦定理得cosADB,在ADC中,由余弦定理得cosADC.又ADCADBπcosADC+cosADB=0,即=0.又AB=3,AC=4,ADBDDEECBC=5,∴∠BACcos C.易知CEBC.在AEC中,由余弦定理得AE2AC2CE2-2·AC·CE·cos C=16+-2×4××AE.答案:4.在ABC中,已知c·sin(AB)=b·sin(AC).其中ABC为内角,它们的对边分别为abc.(1)判断ABC的形状;(2)若a=5,cos A,求ABC的面积.解:(1)因为c·sin(AB)=b·sin(AC),所以sin C·sin(AB)=sin B·sin(AC),所以sin C·(sin Acos B-cos Asin B)=sin B·(sin Acos C-cos Asin C),所以sin Csin Acos B-sin Ccos Asin B=sin Bsin Acos C-sin Bcos Asin C即sin Csin Acos B=sin Bsin Acos C因为sin A0,所以sin Ccos B=sin Bcos C即sin Bcos C-cos Bsin C=0,所以sin(BC)=0,所以BC=0,即BC,所以ABC是等腰三角形.(2)由(1)可知bc,又a2b2c2-2bccos A所以25=b2b2-2b2×,所以b2因为cos A,0<A<π,所以sin A所以SABCbcsin Ab2sin A××.

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